mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy học môn Toán
nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nớc ta hiện nay.
Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung
và phơng pháp dạy học. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc chỉ rõ
trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nớc và ngành Giáo dục nớc ta.
Có thể dẫn ra một vài văn bản đã đợc ban hành trong những năm qua nh sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: Ph ơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn .
- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: ...Góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng, t
duy hàm ; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy linh hoạt, độc lập,
sáng tạo .
Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi mới phơng pháp
đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởng nhiều
của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ. Nhận định về vấn đề này đã có
không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho ngành Giáo
dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến nh vậy:
- ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện
trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy
để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán ch-
ờng".
www.vnmath.com
1
- ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Kiến thức, t duy, tính cách con
ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy
và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

tố của phép tính vi phân và tích phân.
ở Việt Nam, chơng trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chơng
trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong
[24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm
hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình môn Toán bậc THPT.
Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:
- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậc Phổ
thông Trung học;
- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên
cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những hàm số đối số tự
nhiên;
- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác còn phần công
thức đợc giảm nhẹ;
Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến hình, t tởng về sự tơng
ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm.
Những đặc trng về t duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Ch-
ơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ ra trong [25].
Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu
cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợng dạy học
nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán đợc
trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển t duy hàm cho
học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến
thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lợng
dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng trình. Nhiều công trình nghiên cứu về
www.vnmath.com
3
phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ

5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục
học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục ... có liên
quan đến đề tài.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ...
5.3. Thực nghiệm s phạm.
6. đóng góp của luận văn
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng
trình với phát triển t duy hàm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có
3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phơng pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh
1.3.1. T duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình
1.4. Kết luận chơng 1
Chơng 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển
t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn Toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phơng trình
www.vnmath.com

1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
Chơng trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi về
nội dung và cách trình bày nh:
- Đa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chơng trình
THPT, nh Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất Sắp xếp nội dung chơng trình
theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn nh phần toạ độ trong mặt phẳng ở chơng
trình lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic. Đồng thời
nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các cấp, các
lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp
thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12.
- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo
kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toán khó
nên còn thiếu tính s phạm. SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích cực.
Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài liệu
khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô đọng, đầu
tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng
minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán.
Theo định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và hớng dẫn nh thế nào đó để cho
nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cố nhiên là khó khăn
và vất vả hơn.
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên
có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,
học sinh đợc suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm giúp
học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hớng cho
những suy nghĩ của họ Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đa ra câu
trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt
những suy luận quá hình thức, quá trừu tợng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu
www.vnmath.com
7

hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ,
www.vnmath.com
8
dạy nội dung gì chứ cha nghĩ đến cách dạy nh thế nào? Phần lớn khi giảng dạy
họ coi mọi đối tợng học sinh là nh nhau nên giảng cùng một nội dung, cùng
một phơng pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu đánh giá và thi
cử đã ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử nh thế nào
thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học
nấy".
Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: Cách
dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích,
chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu
chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán,
chứng minh .
GS. Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán
nản ".
Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",
thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói đợc
coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận giữa
thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh trong bài
giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến thức
cũng nh hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm soát đợc
việc học. Do đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định là một trong
những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các ph-
ơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt lõi
của đổi mới dạy và học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm

Việc đổi mới phơng pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm lý
học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh đợc hình thành
và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức. Do đó để đạt đợc
mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động
trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mà nắm đợc
www.vnmath.com
10
kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm đợc phơng pháp "làm ra" những kiến
thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ và phát huy tiềm
năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh đợc kiến thức
mới mà còn hình thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy học không có
nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phơng pháp truyền thống mà cần kế
thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen
thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng pháp mới, theo quan
điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở n-
ớc ta.
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán
học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp ) để giải quyết một nhiệm
vụ mới [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm vụ

2
4 2
2
4 2
1 1 1
cos x cos x cosx
16 2 4
9 3 3
cos x cos x cosx
16 2 4

+ =
+ = Nh vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
A A=
, phơng trình đã cho có dạng:
2 2
1 3 1
cos x cos x
4 4 2
+ + =
. Việc lột
bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa
trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.

kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hởng đến sự hình
thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ
dàng hình thành kỹ năng, còn ngợc lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý
là một trở ngại thờng gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói
quen tâm lý đó là t duy của con ngời có tính phơng hớng. Một loại kiến thức
hoặc phơng pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tợng sâu làm cho học sinh không
bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen t duy cũ để mở ra một hớng suy nghĩ
mới.
Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận
thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán
cụ thể.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
( )
2
1
2 2x 1 x 0
2
+ =
Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thờng học sinh sẽ chỉ nghĩ đến việc
khai triển rồi đơn giản đa ra phơng trình bậc hai:
( )
2
1
4 2x 4 2 1 x 2 0
2
+ + + =
và tìm nghiệm theo công thức quen
thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:
www.vnmath.com
13

2x 1 2 2x 1 0
1
2
2 2x 1 0
2
=
=



=


=


Nh vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho t duy trở nên cứng
nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện đợc phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ
không đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các ngành
khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt
động tơng ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng
là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã
đợc nhiều tác giả đề cập nh:
Suy nghĩ tức là hành động ( J. Piaget)
Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm ( Kant)

Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.
Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cờng hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn
thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan
tâm chú trọng những vấn đề sau:
www.vnmath.com
15
* Cần hớng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hớng cho học sinh
biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình
( ) ( ) ( )
x 1 2x 3 50 3x 12+ + +
(1)
Nếu giải bài toán này theo phơng pháp thông thờng, tức dùng biến đổi t-
ơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế trái là một số không
đổi:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + + =
Và vế trái của (1) có dạng a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a

của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các
cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán
www.vnmath.com
16
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình
( ) ( ) ( )
x 1 2x 3 50 3x 12+ + +
Nếu để ý mối liên hệ:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + + =
là một
hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hớng. Có thể xem vế trái là tích của hai véc tơ
còn vế phải là tích các độ dài của chúng. Với hớng suy nghĩ này, lời giải bài
toán khá độc đáo.
Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:
x 1
3 3 50
x x
2 2 3
50
x
3






u.v u . v
r r r r
. Đây là một bất đẳng thức đúng với
tích vô hớng của hai véc tơ. Vậy nghiệm của bất phơng trình là những giá trị
của x mà bất phơng trình có nghĩa tức là:
3 50
x
2 3

.
Nh vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng
bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn
sâu trong bài toán.
www.vnmath.com
17
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Học
sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phơng pháp và các bớc
làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phơng pháp sẵn. Đòi
hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x
2
5x + 3)(2x
2
+ 5x 1) = (x
2
+ 5x + 3)(2x
2
5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thờng học sinh nhân các số hạng với nhau,

lệ:
2 2
2 2
x 5x 3 2x 5x 1
x 5x 3 2x 5x 1
+
=
+ + +
(2)
Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ thức để giải phơng trình này đợc không?
Với hớng suy nghĩ này, ta có lời giải bài toán khá độc đáo:
áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
b c a b c d
a d b a c d
+ +

= =
đợc
2 2 2 2
2x 6 4x 2 x 3 2x 1
10x 10x x x
+ +
= =

Giải đợc:
x 0; x 2; x 2= = =
www.vnmath.com

www.vnmath.com
19
bay thấp thì ma, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm thể hiện sự tơng ứng giữa
độ cao và thời tiết.
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học
phơng trình
Trong dạy học toán học ở trờng việc phát triển t duy hàm cho học sinh
không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về t duy hàm. Nhiệm vụ t duy hàm
không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát triển t
duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên cơ sở đó
tìm ra giải pháp phát triển t duy hàm cho học sinh, phát triển t duy hàm là mục
đích kép.
Thực tiễn giáo dục t duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó khăn
nh : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lợng kiến thức nhiều
trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức về hoạt
động t duy hàm không đợc qui định rõ ràng trong chơng trình nên không đợc
giảng dạy một cách tờng minh. Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về t
duy hàm cha đầy đủ và cũng cha thấy đợc tầm quan trọng của nó trong dạy học.
Trong dạy học việc xem xét các đối tợng toán học một cách cô lập, trong trạng
thái tĩnh tại, rời rạc. Cha thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan
hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên
cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây
cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một
số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận
các bài toán phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dục
các thành tố t duy hàm:
- Xác lập sự tơng ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,

nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phơng trình về một phơng
trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phơng trình thay đổi
www.vnmath.com
21
Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc tơng đơng với phơng
trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phơng trình mới thu đợc
là tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho. Mặc dù vậy, ta vẫn hình thành cho
học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phơng trình (dù trong trờng
hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp
phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả công
việc, một trong những đức tính cần thiết của ngời lao động trong thời đại mới.
Ví dụ 1: Phơng trình:
2 2
2 2
log (x 5) log (2x 1)+ = +

2 2
2
x 5 2x 1
x 2
x 4
x 2
+ = +
=

=

=

thử phải loại bỏ "nghiệm này").
Khi giải phơng trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta
cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này không
chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi làm bài
mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
www.vnmath.com
22
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phơng trình
Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tợng mất nghiệm của phơng
trình đầu, phơng trình đầu là hệ quả của phơng trình cuối cùng thu đợc. Khi đó,
tập nghiệm của phơng trình thu đợc là tập con của phơng trình đầu, phép biến
đổi phơng trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi vào
phần thu hẹp của tập xác định.
Trong trờng hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác
định vào phơng trình đã cho để khắc phục hiện tợng thiếu nghiệm. Tuy nhiên,
không có quy tắc tổng quát cho mọi trờng hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà
ta có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
2sin x cos x 1 =
(1)
Đặt
x
t tg (x k )
2
= +
Khi đó (1) trở thành:
2
2 2
2.2t 1 t
1


x 3 3 =
hay
x 6=
Do thu hẹp tập xác định từ R thành
{ }
3\Ă
nên ta cần thử x = 3 vào (2)
để tránh mất nghiệm.
Nh vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của ph-
ơng trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần
phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phơng trình ban đầu tránh làm mất
nghiệm.
www.vnmath.com
23
Lu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là
nghiệm của phơng trình đã cho, thì tập nghiệm của phơng trình ban đầu trùng
với tập nghiệm của phơng trình thu đợc. Khi đó, ta nói hai phơng trình này tơng
đơng với nhau.
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
sin x cos x 1+ =
(3)
Đặt
x
t tg (x k )
2
= +
ta đợc:
2
2 2

f (x) f (x) (f (x) 0)=

sang phơng trình:
k(x) g(x)=
làm mất nghiệm (nếu có) của phơng trình ban
đầu.
Ví dụ 7: Phép chuyển từ phơng trình:
www.vnmath.com
24
log f (x) log g(x)
k(x) k(x)
=
(5)
sang phơng trình:
f (x) g(x)=
(6)
và phép chuyển ngợc lại từ (6) sang (5).
- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập
nghiệm
- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập
nghiệm.
Tóm lại: Khi dạy học giải phơng trình, ta cần hình thành cho học sinh lập
luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa các
phơng trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu
" "," "," "
đúng, từ đó
biết đợc diễn biến của các tập nghiệm sau từng bớc biến đổi, dẫn đến xác định
đợc tập nghiệm của phơng trình đầu dựa vào tập nghiệm của phơng trình cuối.
Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phơng trình cần
quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phơng diện ngữ nghĩa và cú