MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và chương trình SGK đang được
thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn Quốc nhằm đáp ứng mục tiêu:
“Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao
động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và
sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội”
(Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII của Đảng cộng sản Việt Nam).
Nghị quyết số 40/2000/QH10, ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc
hội khoá X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định: “Đảm
bảo sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục; tăng
cường tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo
dục đại học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc dân để tạo sự
cân đối về nguồn nhân lực, ”
1.2. Trong sự phát triển của Toán học thì: “Động lực phát triển của
Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan. Một là nguồn bên
ngoài do việc cần thiết phải dùng các phương tiện toán học để giải những bài
toán nằm ngoài phạm vi của Toán học, các bài toán của khoa học khác, của kĩ
thuật, kinh tế, ; chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử. Nguồn thứ hai là
nguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã
được khám phá, giải thích các mối quan hệ giữa chúng với nhau, hợp nhất
chúng lại bằng các quan niệm khái quát thành lí luận, phát triển lí luận đó theo
các quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tới
chỗ tách toán học thành một khoa học” [22, tr. 17]
Tuy vậy “Khó có thể phát biểu một dấu hiệu phân biệt Toán học lí thuyết
với Toán học ứng dụng một cách tường minh và rạch ròi, bởi vì mọi ngành Toán
học, xét cho cùng, đều được xây dựng và phát triển nhằm giải quyết những vấn
1
đề nào đó của cuộc sống thực, tức là nhằm mục đích ứng dụng trực tiếp hay gián
tiếp. Trong lịch sử phát triển của toán học, có rất nhiều công trình nghiên cứu
hoặc thành tựu lúc đầu được coi là thuần tuý lí thuyết, về sau hoá ra lại là những

điểm vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 và
chương trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nước trên thế
giới, Xác suất đã được dạy từ cấp THCS). Trong các kì thi mang tính chất
quyết định thì cho đến thời điểm hiện tại cũng chưa có những bài toán về Xác
suất. Ít ra thì phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này
trong một chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ.
1.6. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán Tổ hợp luôn là một dạng
toán khó đối với học sinh. Chẳng hạn, học sinh thường lúng túng không biết khi
nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp. Khi bắt tay vào giảng dạy Xác suất,
nhiều giáo viên chưa hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần này. Trong khi đó
không nhiều GV ý thức được sự cần thiết phải dạy Tổ hợp và Xác suất ở chương
trình phổ thông. Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra là
vấn đề quan trọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quan
tâm lắm. Để dạy, học Tổ hợp và Xác suất có hiệu quả, đòi hỏi người GV phải đề
ra được những biện pháp hợp lí về cách thức lựa chọn nội dung và phương pháp.
Trong lần thí điểm chuyên ban trước đây ở Việt Nam, cũng như trong
nhiều công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục trên thế giới, đã xuất hiện
những phương án đưa Xác suất vào trường phổ thông. Tuy nhiên giữa các
nghiên cứu còn có sự sai khác nhất định, điều này nói lên rằng: Dạy những gì về
Tổ hợp và Xác suất, dạy để làm gì và dạy như thế nào? là những câu hỏi đã và
3
đang được nhiều người quan tâm. Tuy nhiên chưa có một phương án duy nhất tối
ưu.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Nghiên
cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phương pháp dạy học chủ đề
Tổ hợp và Xác suất trong môn Toán trường THPT”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp và Xác suất được
trình bày trong một số SGK (những năm trước đây và hiện tại); đồng thời nghiên
cứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp dạy học.

1.1. Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư
cách là khoa học).
1.2. Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất
vào môn Toán trường phổ thông.
1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông ở
một số nước trên thế giới.
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chưong trình Toán phổ thông của Việt
Nam hiện tại và những năm vừa qua.
1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất.
1.6. Kết luận Chương 1.
Chương 2. Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ
đề Tổ hợp và Xác suất.
2.1. Nghiên cứu về mục đích dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác xuất
5
2.2. Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp
và Xác suất.
2.3. Kết luận Chương 2.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CỦAVIỆC ĐƯA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÀO MÔN
TOÁN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG.
1.1.Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết Xác suất
(với tư cách là khoa học).

riêng lẻ ngẫu nhiên mà có,
nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k phép thử T, ta đều thấy: Trung bình
cộng
∑
=
=
k
i
i
x
k
x
1
1
là bằng hằng số 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể”.
Ta thấy quy luật trên là quy luật thống kê dạng đơn giản. Có thể phân
tích thêm về quy luật đó như sau: Khi thực hiện k phép thử T (với k đủ lớn),
gọi A
i
là hiện tượng: “số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i thực hiện phép thử
T bằng x
i
”, chúng ta có A
i
, với i = 1,2, ,k, là biến cố ngẫu nhiên (ứng với
phép thử T). Do đó, ở đây chúng ta có một số đông các biến cố ngẫu nhiên
cùng loại là Q = (A
1
, A
2

hay quá trình được xét độc lập với cái ngẫu nhiên.
Tuy nhiên, “Quy luật động lực và quy luật thống kê đều biểu thị những
mối liên hệ tất yếu. Nhưng giữa chúng có một sự khác biệt cơ bản, thể hiện ở
“cách đối sử” của mỗi loại quy luật đối với cấu trúc bên trong của cái tất yếu
được phản ánh trong nội các quy luật đó. Các quy luật thống kê phản ánh cái
tất yếu trong cấu trúc của nó, ghi nhận cái tất yếu như là “kết quả trung bình
tất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. Do đó
trong các quy luật thống kê, tất yếu được hiện ra trong mối liên hệ biện chứng
với ngẫu nhiên: “tất yếu xây cho mình con đường xuyên qua đám đông các
biến cố ngẫu nhiên, còn ngẫu nhiên bổ sung cho tất yếu là hình thức thể hiện
8
của tất yếu” [22, tr. 15]. Còn quy luật động lực phản ánh cái tất yếu trong “sự
đơn giản hoá”, sự bỏ qua cấu trúc bên trong của cái tất yếu.
Như đã nói, động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồn
tại khách quan. Hai hướng phát triển của Toán học ứng với hai nguồn đó được
gọi là hướng ứng dụng và hướng lí thuyết. Đồng thời trong sự phát triển của
Toán học theo hai hướng trên, hai khía cạnh của Toán học cũng đã được hình
thành: Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng.
“Toán học ứng dụng là một khía cạnh của toán học ra đời trong những
ứng dụng của nó, có thể quan niệm rằng đó là khoa học về phương pháp giải
tối ưu, mà về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán Toán học nảy sinh
từ bên ngoài Toán học. Và Toán học lí thuyết là một khía cạnh của Toán học
ra đời trong sự phát triển của Toán học theo hướng lí thuyết” [22, tr. 18]. Tuy
nhiên, “về nhiều mặt thì Toán học ứng dụng phức tạp hơn Toán học lí thuyết,
bởi vì bên cạnh việc có trình độ lí luận sâu sắc, còn cần phải có trình độ hiểu
rộng lớn, có óc nhạy bén về ứng dụng, phải nắm được không những cách tư
duy suy diễn mà cả cách tư duy hợp lí nữa . . .” [22, tr. 18]
Nhắc lại rằng, việc tách Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng chỉ
mang tính chất tương đối. Theo cách hiểu hiện nay, phổ biến ở các trường đại
học trong và ngoài nước, toán học ứng dụng bao gồm các môn giải tích số,

là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựa
trên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuất
hiện những khẩu hiệu như “khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên” và “thiên nhiên
không chơi trò gieo xúc xắc”. Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, người đã phát
minh nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhất
10
như sau “Vâng điều đó đúng - Khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên, nhưng ta phải
nghiên cứu kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó”[39, tr. 15].
Ví dụ 2: Luật Măng đen trong di truyền học
Giả sử một dấu hiệu nào đó của cơ thể sống (chẳng hạn hoa trắng hay
hồng) được xác định bởi một cặp gen: Gen trội A và gen lặn a. Cây có cặp gen
aa có hoa mầu trắng, còn cây có cặp gen AA, Aa, aA có hoa mầu hồng. Nếu
một trong bố mẹ có cặp gen aa, còn cây kia có cặp gen AA thì các con ở thế
hệ thứ nhất nhận một gen từ bố và một gen từ mẹ sẽ có cặp gen aA. Sang thế
hệ thứ 2 mỗi cá thể sẽ nhận được một cách ngẫu nhiên một gen a hoặc A từ bố
mẹ. Tất cả có 4 khả năng aa, aA, Aa, AA; tính lặn chỉ xuất hiện trong cá thể
có cặp gen aa, còn các cá thể khác có tính trội. Xác suất xảy ra cặp aa bằng
4
1
;
các cặp còn lại xuất hiện với xác suất
4
3
.
Nếu số cá thể trong thế hệ thứ 2 lớn, thì từ đó suy ra rằng tỉ số giữa tần
suất của các cá thể với tính lặn và cá thể với tính trội là 1: 3. Đó là luât Măng
đen, được kiểm chứng trong rất nhiều thực nghiệm. Trong thí dụ này xác suất
cũng xuất hiện như trong các trò chơi cờ bạc. Vì vậy có thể nói rằng thiên
nhiên đôi khi cũng “chơi trò gieo xúc xắc”.
Lí thuyết xác suất, “sau khi sinh ra như là một ngành khoa học “ứng

“Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các
ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và
tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao
động: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, . . .” [22, tr. 29]. V.I. Lenin
12
đã đánh giá cao giá trị của thống kê, Người đã dạy rằng: “Thống kê kinh tế - xã
hội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội”.
Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toán học và Giáo dục học trên
thế giới đã nhận thấy sự cần thiết phải cho học sinh học một số yếu tố của Lí
thuyết xác suất. Nhiều hội nghị Quốc tế về Toán học và Giáo dục học đều có sinh
hoạt thảo luận vấn đề đó trong tiêu chuẩn về dạy học, chẳng hạn như các hội nghị:
- Năm 1969 ở Lyon (Pháp)
- Năm 1972 ở Exeter (Anh)
- Năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hoà liên bang Đức)
- Năm 1980 ở Berlby (Mỹ)
- Năm 1982 ở Seffin ( Anh)
Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toán
học trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sau
đây để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốc
tế): tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệ
không gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất.
Trong việc tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở trường phổ thông -
một vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, “là một yêu cầu có tính
nguyên tắc, nhằm phản được tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà một
trong những phương hướng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng. Đặc biệt trong
giai đoạn hiện nay, do nhu cầu của quá trình tự động hoá trong sản xuất,
những ngành liên quan tới 3 hướng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những
yếu tố phát triển mạnh nhất của toán học hiện đại” [1, tr. 18].
Lí thuyết xác suất là một trong những môn của Toán học ứng dụng, sau
đây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất:

14
quả nghiên cứu của các nhà toán học và sư phạm trên thế giới đã khẳng định
một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào
học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của các
lĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông” [31, tr. 248].
TSKH Vũ Đình Hoà khẳng định: “Sự chuyển hướng xây dựng Toán
học hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX.
Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết
tính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong
hình học tổ hợp , . . .”. Các bài toán tổ hợp “là một bộ phận quan trọng của toán
học có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ
thuật cũng như trong đời sống hàng ngày của chúng ta”. Và “Ngày nay, trong
các kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắng bóng các bài toán tổ hợp,
nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán. Thông thường đây là các bài toán
khó không chỉ đối với học sinh Việt nam mà cả với học sinh quốc tế nói
chung.” [24, tr. 3].
Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu của
B.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà sư phạm và toán học Xô Viết khác
đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây:
- Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống kê
toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông
- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường phổ
thông là: “Phát triển có hệ thống ở học sinh những tư tưởng về sự tồn tại trong
tự nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiên
nhiên của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt. Đó chính là những
quy luật thống kê.”
- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thức
thống kê - xác suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của các
15
môn học khác [22, tr. 37]. Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất là

kê toán và Lí thuyết xác suất đã chính thức được đưa vào môn Toán của
trường phổ thông, trong chương trình bắt buộc hay tự chọn.
“Năm 1973, khi tổng kết phong trào cải cách giáo dục trên thế giới
UNESCO Pari đã nêu rõ rằng Thống kê và Xác suất là một trong 9 quan điểm
chủ chốt để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở trường phổ thông trong
phạm vi quốc tế. Đặc biệt có ý nghĩa trong International Encylopedia tion
1985 có nêu ra những luận điểm để bảo vệ cho khẳng định trên” [31, tr. 248].
Cụ thể ở một số nước:
Ở Nhật Bản: Trong chương trình phổ thông các yếu tố của Thống kê toán
và Lí thuyết xác suất đã được rải ra từ lớp 3 của bậc tiểu học đến các lớp cuối
của bậc cao trung. Bậc cao trung gồm 3 năm học, học sinh được học về Xác suất
và Thống kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II. Chủ đề Xác suất và
Thống kê toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp, xác suất của
các biến cố sơ cấp, tính độc lập của các biến cố, các định lí cộng và nhân xác
suất, đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất, phân phối nhị thức và phân
phối chuẩn, phương pháp mẫu, vận dụng Thống kê toán và Lí thuyết xác suất
vào nghiên cứu các hiện tượng và các quá trình trong các giáo trình kĩ thuật.
Ở Cộng hoà Pháp: Bậc cao trung bao gồm 3 năm học. Trong năm đầu
học sinh học chương trình chung. Đến năm thứ hai hoặc năm thứ 3 thì học sinh
học theo phân ban với 3 hướng lớn: Cao trung phổ thông, cao trung công nghệ,
cao trung nghề nghiệp. Về nội dung Tổ hợp và Xác xuất học sinh được học ở
lớp kết thúc (tức năm thứ 3 cao trung - tương đương với lớp 12 của Việt Nam):
- Xắp xếp các dữ kiện; tổ hợp; bản số của toán Đề các của các tập hợp
hữu hạn; bản số của tập A (tập hợp của các tập hợp gồm p phần tử của tập hợp
17
A); chỉnh hợp và hoán vị; kí hiệu n!; tổ hợp
n
C
p
; hệ thức

của các bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên
suốt quá trình dạy học như là những phương tiện để truyền thụ tri thức cũng
như thực hành và luyện tập các chủ đề này. Nghĩa là, các bài toán có nội dung
thực tiễn thể hiện được mục đích kép (vừa lĩnh hội tốt kiến thức, rèn luyện
được kỹ năng vừa rèn luyện được thói quen ứng dụng Toán học vào thực tiễn)
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chương trình môn Toán phổ thông
của Việt Nam hiện tại và những năm vừa qua.
Do xu thế hội nhập trên thế giới hiện nay. Hoà chung với xu thế đổi
mới tiến bộ trên thế giới trong lĩnh vực chương trình SGK phổ thông cũng là
một trong những yêu cầu cần thiết. Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX,
18
nhiều quốc gia đã chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo
dục phổ thông mà trọng điểm là cải cách chương trình và SGK phổ thông.
Chương trình của các nước đều hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáo
dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng nguồn nhân lực, nâng cao chất
lượng sống của con người; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng
gây mất hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh; . . .
Cùng với trào lưu đó, chương trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt
Nam luôn được cải cách, chỉnh lí. Quá trình cải cách được tiến hành qua nhiều
lần, do đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, phương pháp trình bày.
1.4.1. Sơ lược về nội dung Tổ hợp và Xác suất trong chương trình
Toán phổ thông.
Đã nói đến cải cách và chỉnh lí thì tất nhiên sẽ có sự thay đổi về nội
dung, chương trình. Chúng ta nhìn lại nội dung chủ dề Tổ hợp và Xác suất
trong chương trình Toán phổ thông từ khi nền Giáo dục Việt Nam có chương
trình phân ban thí điểm.
Bộ SGK dành cho cấp phổ thông trung học phân ban thí điểm đầu tiên
của nhóm tác giả: Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Trần Văn Hạo (1996). Ở
đây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất được trình bày trong chương cuối
sách Giải tích 12, bao gồm:

§1.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
§2.Công thức nhị thức Niutơn
Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ sách của hai nhóm
tácgiả, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào chương trình Đại số và
Giải tích 11, dạy học cho tất cả học sinh của các ban, tuy nhiên mức độ yêu
cầu của
20
các ban là khác nhau:
- Bộ sách của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) gồm các bài sau:
§1. Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)
§2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (4 tiết)
§3. Công thức nhị thức Niutơn (1 tiết)
§4. Biến cố và xác suất của biến cố (3 tiết)
§5. Các quy tắc tính xác suất (3 tiết)
§6. Xác suất có điều kiện (2 tiết)
§7. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết)
§8. Kỳ vọng, phương sai (1 tiết)
- Bộ sách của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), có các bài sau:
§1. Quy tắc đếm (2 tiết)
§2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết)
§3. Xác suất của biến cố (4 tiết)
§4. Xác suất có điều kiện (3 tiết)
§5. Biến ngẫu nhiên (2 tiết)
§6. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên (3 tiết)
Hiện tại trên toàn Quốc học sinh được học chung một bộ sách theo
chương trình cải cách giáo dục, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào
chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, về lượng kiến thức là như nhau đối
với tất cả các ban nhưng khác nhau về mức độ yêu cầu. Bao gồm:
§1. Hai quy tắc đếm cơ bản
§2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

định nghĩa kiểu như vậy thì đặc điểm của hoán vị không được thấy rõ ở chỗ:
Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự
22
nhất định. Còn nhóm tác giả Phan Đức Chính (1999), thì khái niệm Hoán vị
được định nghĩa đầu tiên: “Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần
tử đó được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một
lần”, ở đây cũng không nói được n thuộc tập nào. Sách phân ban thí điểm
(1996) thì định nghĩa: “Cho tập hợp A gồm n phần tử, n
≥
1. Một hoán vị của
n phần tử của A là một bộ - n sắp thứ tự của các phần tử này, mỗi phần tử có
mặt đúng một lần”, định nghĩa này tương đối chặt chẽ tuy nhiên có sử dụng
khái niệm “bộ - n sắp thứ tự” đã được định nghĩa ngay bài đầu của chương.
Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, định nghĩa Hoán vị: “Cho tập hợp A gồm n
phần tử (n
≥
1). Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một
hoán vị của n phần tử đó”, định nghĩa này không nêu lên được sự khác nhau
của các phần tử trong tập hợp A. Trong sách phân ban thí điểm lần này thì học
sinh có thể nắm khái niệm một cách dễ dàng nhờ sử dụng ngôn từ dễ hiểu:
“Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi
là một hoán vị của n phần tử đó” (Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)); “Cho tập
hợp A có n phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một
hoán vị các phần tử của tập A” (Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) 2002), tuy
nhiên trong hai định nghĩa này n cũng không được chỉ rõ thuộc tập nào. Nếu
như vậy thì n = 0 thì có hoán vị không? một hoán vị theo định nghĩa đó là một
cách xếp thứ tự mà n = 0 tức là không có phần tử nào dẫn đến không có sự
sắp thứ tự.
Khái niệm Chỉnh hợp cũng có nhiều điều cần bình luận: Sách của Ngô
Thúc Lanh (1999) định nghĩa: “Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi tập con

hợp có một chi tiết rất đáng chú ý là khi đưa ra công thức tính số chỉnh hợp
chập k của n phần tử, tức tính
k
n
A
thì có hai công thức:
k
n
A
= n(n-1)(n-2) (n-
k+1) (1) và
k
n
A
=
)!(
!
kn
n
−
(2); với công thức (1) đúng với mọi 1
≤
k
≤
n, còn
công thức (2) với k = n thì dẫn đến
!0
!n
k
n

cho cả k = 0. Vậy công thức (2) đúng với 0
≤
k
≤
n”, công thức (2) đúng với
k = 0 mang ý nghĩa gì? phải chăng sự rút ra kết luận như vậy để nhằm mục
đích khi đưa ra công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử thông qua công
thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử
!k
k
n
A
k
n
C =
(3), thế nhưng cũng
trong cuốn sách này định nghĩa tổ hợp với 1
≤
k
≤
n: “Cho một tập hợp A có
n phần tử và số nguyên k với 1
≤
k
≤
n. Mỗi tập con của A có k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A” và sau đó đưa ra công thức
!k
k
n

n như sau: Cho tập hợp A gồm n
phần tử. Mỗi tập con gồm k (0
≤
k
≤
n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử đã cho. Khi đã định nghĩa như vậy thì k = 0 là thuộc vào
định nghĩa nên không cần phải chú thích như ở trong sách của Trần Văn Hạo
(2002) nữa.
25