mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy học môn Toán
nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nớc ta hiện nay.
Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung
và phơng pháp dạy học. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc chỉ rõ
trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nớc và ngành Giáo dục nớc ta.
Có thể dẫn ra một vài văn bản đã đợc ban hành trong những năm qua nh sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với
đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: ...Góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng, t
duy hàm; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy linh hoạt, độc lập, sáng
tạo.
Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi mới phơng pháp
đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởng nhiều
của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ. Nhận định về vấn đề này đã có
không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho ngành Giáo
dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến nh vậy:
- ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện
trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy
để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán ch-
ờng".
1
- ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Kiến thức, t duy, tính cách con
ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy
và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung
dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt
trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong
[24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm
hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình môn Toán bậc THPT.
Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:
- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậc Phổ
thông Trung học;
- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên
cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những hàm số đối số tự
nhiên;
- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác còn phần công
thức đợc giảm nhẹ;
Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến hình, t tởng về sự tơng
ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm.
Những đặc trng về t duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Ch-
ơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ ra trong [25].
Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu
cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợng dạy học
nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán đợc
trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển t duy hàm cho
học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến
thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lợng
dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng trình. Nhiều công trình nghiên cứu về
3
phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ
thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn
luyện kỹ năng giải toán phơng trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơ với
vấn đề phát triển t duy hàm.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ...
5.3. Thực nghiệm s phạm.
6. đóng góp của luận văn
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng
trình với phát triển t duy hàm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có
3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phơng pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh
1.3.1. T duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình
1.4. Kết luận chơng 1
Chơng 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển
t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn Toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phơng trình
5
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duy
hàm
2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu
2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình
trình lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic. Đồng thời
nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các cấp, các
lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp
thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12.
- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo
kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toán khó
nên còn thiếu tính s phạm. SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích cực.
Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài liệu
khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô đọng, đầu
tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng
minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán.
Theo định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và hớng dẫn nh thế nào đó để cho
nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cố nhiên là khó khăn
và vất vả hơn.
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên
có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,
học sinh đợc suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm giúp
học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hớng cho
những suy nghĩ của họ Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đa ra câu
trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt
những suy luận quá hình thức, quá trừu tợng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu
7
là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính chất
quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ nêu
những trờng hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh.
SGK theo tinh thần mới tăng cờng những nội dung thực tiễn, thiết thực,
những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trờng hợp có thể. Chẳng
hạn, trong phần véctơ, có thể đa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp
lực, phân tích lực
nấy".
Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: Cách
dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích,
chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu
chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán,
chứng minh.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán
nản ".
Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",
thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói đợc
coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận giữa
thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh trong bài
giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến thức
cũng nh hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm soát đợc
việc học. Do đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định là một trong
những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các ph-
ơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt lõi
của đổi mới dạy và học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm
sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn,
hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền thống truyền thụ
một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo viên cần phát huy
9
tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng vận dụng vào thực
tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, tạo đợc sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng đợc công nghệ mới nhất
áp dụng trong dạy và học.
mới mà còn hình thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy học không có
nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phơng pháp truyền thống mà cần kế
thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen
thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng pháp mới, theo quan
điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở n-
ớc ta.
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán
học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp) để giải quyết một nhiệm
vụ mới [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm vụ
mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể.
Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối t-
ợng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến
thức và đối tợng. Sở dĩ nh vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở
nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Do
đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành động,
11
+ =
ữ+ =
ữ
Nh vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
A A=
, phơng trình đã cho có dạng:
2 2
1 3 1
cos x cos x
4 4 2
+ + =
. Việc lột
bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa
trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ
nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn
bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
12
( ) ( ) ( )
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 2 3 1+ + + =
Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phơng trình, từ
đó mới phát hiện đợc mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:
( )
2
1
2 2x 1 x 0
2
+ =
Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thờng học sinh sẽ chỉ nghĩ đến việc
khai triển rồi đơn giản đa ra phơng trình bậc hai:
( )
2
1
4 2x 4 2 1 x 2 0
2
+ + + =
và tìm nghiệm theo công thức quen
thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:
13
( ) ( )
2
12
1
4 2 1 4 2 1 4.4 2 2
2
x
2.4 2
+ + +
ữ
= =
=
Nh vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho t duy trở nên cứng
nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện đợc phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ
không đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các ngành
khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt
động tơng ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng
là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã
đợc nhiều tác giả đề cập nh:
Suy nghĩ tức là hành động ( J. Piaget)
Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm ( Kant)
Học để hành, học và hành phải đi đôi ( Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
14
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng t duy và tính cách cho học sinh ( Nguyễn
Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một
trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh
hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trờng phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học
sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dỡng các phẩm chất trí
tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập,
ơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế trái là một số không
đổi:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + + =
Và vế trái của (1) có dạng a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
trong bất đẳng thức
Bunhiakốpxki.
Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết bài
toán: Nếu ta xem
1 2 3 1 2 3
a 1 x; a 2x 3; a 50 3x; b b b 1= + = = = = =
thì ta
có:
( )
( )
2 2 2
1. 1 x 1. 2x 3 1. 50 3x 1 1 1 48
toán khá độc đáo.
Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:
x 1
3 3 50
x x
2 2 3
50
x
3
Đặt:
( )
( )
( ) ( ) ( )
u x 1, 2x 3, 50 3x
v 1, 1, 1
u.v x 1 2x 3 50 3x
u x 1 2x 3 50 3x 48
v 3
làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phơng pháp sẵn. Đòi
hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x
2
5x + 3)(2x
2
+ 5x 1) = (x
2
+ 5x + 3)(2x
2
5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thờng học sinh nhân các số hạng với nhau,
sau đó đơn giản rồi giải, nh vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú ý đến
đặc điểm phơng trình, các hệ số có mặt ở hai vế phơng trình, nghĩ tới cách học
cấp phơng trình,dùng phơng pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x
2
- 5x + 3; b = 2x
2
+ 5x -1.
Phơng trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b 10x)
Rút gọn đợc: - 100x
2
+ 10x(b a) = 0
Suy ra : x = 0; b a = 10x
2
x 2
x 4 0
x 2
ữ đợc
2 2 2 2
2x 6 4x 2 x 3 2x 1
10x 10x x x
+ +
= =
Giải đợc:
x 0; x 2; x 2= = =
18
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện
kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dỡng t duy toán học
cho học sinh.
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho
học sinh
1.3.1. T duy hàm
Trớc hết hãy bàn về thuật ngữ t duy hàm, t duy hàm tất nhiên không phải
là thuật ngữ toán học, t duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái niệm
toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự tơng
ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất, chính thức về t duy
hàm. Theo Koliagin định nghĩa t duy hàm nh sau: T duy hàm là một loại hình t
duy đặc trng bởi việc nhận thức đợc tiến trình những sự tơng ứng riêng và chung
giữa các đối tợng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ năng vận
dụng chúng) [30].
Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: T duy hàm là các
hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tơng ứng giữa các phần tử của một, hai hay
thái tĩnh tại, rời rạc. Cha thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan
hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên
cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây
cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một
số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận
các bài toán phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dục
các thành tố t duy hàm:
- Xác lập sự tơng ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,
phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
20
1. Học sinh không biết cách phân chia các trờng hợp riêng khi đứng trớc
một bài toán cụ thể;
2. Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trờng hợp riêng thích hợp cho
việc giải quyết bài toán;
3. Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phơng trình, bất phơng
trình, hệ phơng trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số...
Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phơng trình, bất phơng trình, hệ
phơng trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:
- Lập sự tơng ứng giữa các đối tợng, quan hệ... trong Toán học;
- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp về t duy hàm;
- Hoạt động gợi động cơ.
Một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình:
Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập
nghiệm khi biến đổi phơng trình. Sau khi biến đổi phơng trình thì tập nghiệm
của phơng trình ban đầu và tập nghiệm của phơng trình thu đợc có quan hệ với
nhau nh thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?
x 2
x 4
x 2
+ = +
=
=
=
Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phơng trình
Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc thờng là hệ quả của ph-
ơng trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho đều là
nghiệm của phơng trình mới nhận đợc, nh vậy phép biến đổi phơng trình không
làm mất nghiệm, tập nghiệm của phơng trình đã cho là tập con của tập nghiệm
của phơng trình thu đợc, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào phần mở
rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phơng trình:
x 5 x 1 =
2
x 5 x 2x 1 = =
2
x 3x 4 0 =
2
x 3x 4 0 =
t tg (x k )
2
= +
Khi đó (1) trở thành:
2
2 2
2.2t 1 t
1
1 t 1 t
=
+ +
1 1
t x 2arctg( ) 2k
2 2
= = +
Do thu hẹp tập xác định từ
Ă
thành
Ă \
{ }
k +
; do đó nếu không thử:
x k= +
vào (1), ta sẽ gặp hiện tợng mất nghiệm
x k= +
. Thật vậy: thay
x k= +
vào (1) ta đợc
2sin( k ) cos( k ) 1 1 1 + + = =
x
t tg (x k )
2
= +
ta đợc:
2
2 2
2t 1 t
1 t(t 1) 0
1 t 1 t
+ = =
+ +
(4)
Kiểm tra
x k= +
không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và
(4) là hai phơng trình tơng đơng.
Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi
Đối với loại biến đổi này phơng trình thu đợc vừa có khả năng thêm
nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phơng trình đã cho. Do vậy cần
vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem các
nghiệm của phơng trình thu đợc có phải là nghiệm của phơng trình đã cho
không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của phơng
trình thu đợc nhng lại là nghiệm của phơng trình đã cho.
Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phơng trình, ở đây là các phép
biến đổi tơng đơng mà học sinh đã đợc học. Nắm vững các định lý này không
những giúp học sinh định hớng, biến đổi phơng trình thành phơng trình tơng đ-
ơng đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối quan hệ giữa các tập
nghiệm của các phơng trình trong quá trình biến đổi. Đây là một trong những
đúng, từ đó
biết đợc diễn biến của các tập nghiệm sau từng bớc biến đổi, dẫn đến xác định
đợc tập nghiệm của phơng trình đầu dựa vào tập nghiệm của phơng trình cuối.
Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phơng trình cần
quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phơng diện ngữ nghĩa và cú
pháp.
1.4. Kết luận chơng 1
Trong chơng này, Luận văn đã sơ lợc trình bày quan điểm đổi mới nội
dung và phơng pháp dạy học. Phân tích, minh họa khái niệm t duy hàm, kỹ
năng cũng nh vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn
mạnh một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình. Làm cơ sở đề xuất
quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với việc phát triển
t duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn.
Chơng 2
25
Copyright: Tài liệu đại học ©