mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy học môn
Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nớc ta
hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới
nội dung và phơng pháp dạy học. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã
đợc chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nớc và ngành
Giáo dục nớc ta. Có thể dẫn ra một vài văn bản đã đợc ban hành trong những
năm qua nh sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: Góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng,
t duy hàm; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy linh hoạt, độc lập,
sáng tạo.
Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi mới phơng pháp
đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởng
nhiều của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ. Nhận định về vấn đề này
đã có không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho
ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến
nh vậy:
- ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện
trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy
để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán
chờng".
- ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Kiến thức, t duy, tính cách con
ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy
và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

ở Việt Nam, chơng trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chơng
trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số.
Trong [24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái
niệm hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình môn Toán bậc
THPT. Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:
- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậc
Phổ thông Trung học;
- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp
nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những hàm số đối số tự
nhiên;
2
- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác còn phần công
thức đợc giảm nhẹ;
Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm
số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến hình, t tởng về sự t-
ơng ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm.
Những đặc trng về t duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Ch-
ơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ ra trong
[25]. Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là
yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợng
dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn
Toán đợc trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển t
duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và
ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lợng
dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng trình. Nhiều công trình nghiên cứu
về phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức
cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề

dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục có
liên quan đến đề tài.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra
5.3. Thực nghiệm s phạm.
6. đóng góp của luận văn
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán ph-
ơng trình với phát triển t duy hàm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phơng pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh
1.3.1. T duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình
1.4. Kết luận chơng 1
Chơng 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển
t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn Toán THPT
4
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phơng trình
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duy
hàm

THPT, nh Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất Sắp xếp nội dung chơng trình
theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn nh phần toạ độ trong mặt phẳng ở chơng
trình lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic. Đồng thời
nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các cấp, các
lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp
thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12.
- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo
kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toán
khó nên còn thiếu tính s phạm. SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích
cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài
liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô
đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính
chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và
các bài toán. Theo định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và hớng dẫn nh thế
nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cố
nhiên là khó khăn và vất vả hơn.
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên
có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,
học sinh đợc suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm
giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hớng
cho những suy nghĩ của họ Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đa
ra câu trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt
những suy luận quá hình thức, quá trừu tợng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ
yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính
chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ
nêu những trờng hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh.
SGK theo tinh thần mới tăng cờng những nội dung thực tiễn, thiết thực,
những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trờng hợp có thể. Chẳng
hạn, trong phần véctơ, có thể đa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp

cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế ấy, dạy và học theo
kiểu "Thi gì - học nấy".
Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:
Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi
giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định
lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để
tính toán, chứng minh.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản ".
Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",
thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói đ-
ợc coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận
7
giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh trong
bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến
thức cũng nh hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm
soát đợc việc học. Do đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định là
một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các
phơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt
lõi của đổi mới dạy và học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm
trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ
nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền
thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo
viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng
vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, tạo đợc sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng đợc

phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh
đợc kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy học không có
nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phơng pháp truyền thống mà cần
kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen
thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng pháp mới, theo quan
điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở
nớc ta.
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán
học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp) để giải quyết một nhiệm
vụ mới [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể.
Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối
tợng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa
kiến thức và đối tợng. Sở dĩ nh vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái
niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành


+ =
ữ+ =
ữ

Nh vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
A A=
, phơng trình đã cho có dạng:
2 2
1 3 1
cos x cos x
4 4 2
+ + =
. Việc lột
bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa
trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ
nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn
bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

( ) ( ) ( )
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 2 3 1+ + + =
Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phơng trình,
từ đó mới phát hiện đợc mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

Ví dụ 3: Giải phơng trình:
( )
2
1
2 2x 1 x 0
2
+ =
Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thờng học sinh sẽ chỉ nghĩ đến việc
khai triển rồi đơn giản đa ra phơng trình bậc hai:
( )
2
1
4 2x 4 2 1 x 2 0
2
+ + + =
và tìm nghiệm theo công thức quen
thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:
( ) ( )
2
12
1
4 2 1 4 2 1 4.4 2 2
2
x
2.4 2

+ + +
ữ

= =


=


Nh vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho t duy trở nên cứng
nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện đợc phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ
không đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các ngành
khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt
động tơng ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều
này đã đợc nhiều tác giả đề cập nh:
Suy nghĩ tức là hành động ( J. Piaget)
Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm ( Kant)
Học để hành, học và hành phải đi đôi ( Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng t duy và tính cách cho học sinh
( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,
giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trờng phổ thông, đồng thời rèn
luyện cho học sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dỡng
các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài

ơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế trái là một số
không đổi:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + + =
Và vế trái của (1) có dạng a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
trong bất đẳng thức
Bunhiakốpxki.
Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết
bài toán: Nếu ta xem
1 2 3 1 2 3
a 1 x; a 2x 3; a 50 3x; b b b 1= + = = = = =
thì ta có:
( )
( )
2 2 2
1. 1 x 1. 2x 3 1. 50 3x 1 1 1 48
1 x 2x 3 50 3x 12

Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:
x 1
3 3 50
x x
2 2 3
50
x
3












Đặt:
( )
( )
( ) ( ) ( )
u x 1, 2x 3, 50 3x
v 1, 1, 1
u.v x 1 2x 3 50 3x
u x 1 2x 3 50 3x 48
v 3
u . v 12

Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x
2
5x + 3)(2x
2
+ 5x 1) = (x
2
+ 5x + 3)(2x
2
5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thờng học sinh nhân các số hạng với nhau,
sau đó đơn giản rồi giải, nh vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú ý đến
đặc điểm phơng trình, các hệ số có mặt ở hai vế phơng trình, nghĩ tới cách học
cấp phơng trình,dùng phơng pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x
2
- 5x + 3; b = 2x
2
+ 5x -1.
Phơng trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b 10x)
Rút gọn đợc: - 100x
2
+ 10x(b a) = 0
Suy ra : x = 0; b a = 10x
2
x 2
x 4 0
x 2
=

ữ đợc
2 2 2 2
2x 6 4x 2 x 3 2x 1
10x 10x x x
+ +
= =

Giải đợc:
x 0; x 2; x 2= = =
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dỡng t duy
toán học cho học sinh.
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho
học sinh
1.3.1. T duy hàm
Trớc hết hãy bàn về thuật ngữ t duy hàm, t duy hàm tất nhiên không
phải là thuật ngữ toán học, t duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái
niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự
tơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất, chính thức về t duy
hàm. Theo Koliagin định nghĩa t duy hàm nh sau: T duy hàm là một loại hình
t duy đặc trng bởi việc nhận thức đợc tiến trình những sự tơng ứng riêng và
chung giữa các đối tợng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ
năng vận dụng chúng) [30].
Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: T duy hàm là các
hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tơng ứng giữa các phần tử của một, hai hay
nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của

thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải
quyết các bài toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn
hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một
số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận
các bài toán phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dục
các thành tố t duy hàm:
- Xác lập sự tơng ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,
phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
1. Học sinh không biết cách phân chia các trờng hợp riêng khi đứng tr-
ớc một bài toán cụ thể;
2. Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trờng hợp riêng thích hợp
cho việc giải quyết bài toán;
3. Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phơng trình, bất phơng
trình, hệ phơng trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số
Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phơng trình, bất phơng trình, hệ
phơng trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:
- Lập sự tơng ứng giữa các đối tợng, quan hệ trong Toán học;
- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp về t duy hàm;
17
- Hoạt động gợi động cơ.
Một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình:
Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập
nghiệm khi biến đổi phơng trình. Sau khi biến đổi phơng trình thì tập nghiệm
của phơng trình ban đầu và tập nghiệm của phơng trình thu đợc có quan hệ với
nhau nh thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả

x 4
x 2
+ = +
=

=

=

Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phơng trình
Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc thờng là hệ quả của
phơng trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho đều là
18
nghiệm của phơng trình mới nhận đợc, nh vậy phép biến đổi phơng trình
không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phơng trình đã cho là tập con của tập
nghiệm của phơng trình thu đợc, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào
phần mở rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phơng trình:
x 5 x 1 =

2
x 5 x 2x 1 = =

2
x 3x 4 0 =

2
x 3x 4 0 =
2
= +
Khi đó (1) trở thành:
2
2 2
2.2t 1 t
1
1 t 1 t

=
+ +
1 1
t x 2arctg( ) 2k
2 2
= = +
Do thu hẹp tập xác định từ
Ă
thành
Ă \
{ }
k +
; do đó nếu không
thử:
x k= +
vào (1), ta sẽ gặp hiện tợng mất nghiệm
x k= +
. Thật vậy:
19
thay
x k= +

(3)
Đặt
x
t tg (x k )
2
= +
ta đợc:
2
2 2
2t 1 t
1 t(t 1) 0
1 t 1 t

+ = =
+ +
(4)
Kiểm tra
x k= +
không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và
(4) là hai phơng trình tơng đơng.
Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi
Đối với loại biến đổi này phơng trình thu đợc vừa có khả năng thêm
nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phơng trình đã cho. Do vậy cần
vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem các
nghiệm của phơng trình thu đợc có phải là nghiệm của phơng trình đã cho
không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của phơng
trình thu đợc nhng lại là nghiệm của phơng trình đã cho.
Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phơng trình, ở đây là các
phép biến đổi tơng đơng mà học sinh đã đợc học. Nắm vững các định lý này
không những giúp học sinh định hớng, biến đổi phơng trình thành phơng trình

các phơng trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu
" "," "," "
đúng,
từ đó biết đợc diễn biến của các tập nghiệm sau từng bớc biến đổi, dẫn đến
xác định đợc tập nghiệm của phơng trình đầu dựa vào tập nghiệm của phơng
trình cuối.
Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phơng trình cần
quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phơng diện ngữ nghĩa và cú
pháp.
1.4. Kết luận chơng 1
Trong chơng này, Luận văn đã sơ lợc trình bày quan điểm đổi mới nội
dung và phơng pháp dạy học. Phân tích, minh họa khái niệm t duy hàm, kỹ
năng cũng nh vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn
mạnh một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình. Làm cơ sở đề xuất
quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với việc phát
triển t duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn.
21
Chơng 2
Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình
với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong
môn toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
Bàn về khái niệm phơng trình, khác với một số sách giáo khoa (SGK)
trớc đây khái niệm phơng trình theo SGK Đại số 10, Chuẩn phát biểu: Phơng
trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng:
( ) ( )=f x g x
(1)
Trong đó
( )f x

f g
D D D
, mệnh đề
chứa biến f(x) = g(x) đ ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn)
và D gọi là tập xác định của phơng trình. Số x
0
thuộc D gọi là tập nghiệm của
phơng trình f(x) = g(x) nếu f(x
0
) = g(x
0
) là mệnh đề đúng .
Cả hai cách định nghĩa phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắc phục
đợc hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trờng hợp cụ thể phù hợp với trình độ
học sinh cũng nh thoả mãn với cả các phơng trình phải tìm nghiệm lẫn cả
những phơng trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phơng trình biểu
diễn đờng.
Trớc đây khi cho phơng trình thờng gắn với tập xác định, dù phơng
trình đó có tập xác định là
Ă
cũng phải ghi rõ nhng theo tinh thần SGK mới,
cụ thể SGK 10 Nâng cao đã hớng dẫn học sinh đến việc làm đơn giản là chỉ
cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện)
của phơng trình. Trong trờng hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiện
của phơng trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có
22
nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện đợc áp đặt cho ẩn vì lý do nào
đó (nh x nguyên,
x a, x 0 >
).

. Thực tế, học
sinh đã mất cảnh giác khi nhân hai vế của phơng trình (1) với
f (x) x 1=
,
mà không quan tâm tới dấu của f(x) (điều này ảnh hởng trực tiếp đến chiều
của bất phơng trình) dẫn đến kết quả bài toán sai.
Nh vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phơng trình, bất phơng trình
là quan trọng và cần thiết, lần đa ra những bài tập để học sinh vận dụng các
phép biến đổi tơng đơng này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhau giữa
phép biến đổi tơng đơng phơng trình với phép biến đổi tơng đơng bất phơng
trình, tránh sai lầm khi áp dụng. Thật vô nghĩa nếu yêu cầu học sinh thuộc
lòng các định lý về các phép biến đổi tơng đơng hoặc các phép biến đổi tơng
đơng áp dụng cụ thể đối với các dạng phơng trình, bất phơng trình. Chẳng
hạn, các phép biến đổi tơng đơng khi bình phơng hai vế các phơng trình, bất
phơng trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đối nh:

f (x) g(x); f (x) g(x); f (x) g(x) ; f (x) g(x) ; f (x) g(x) = > = =
sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức.
Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách
ghép thành từng lớp bài toán giải đợc bằng cùng một phơng pháp là một việc
làm cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa và
23
một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phơng pháp giải phơng
trình, bất phơng trình nh sau:
- Phơng pháp biến đổi tơng đơng
- Phơng pháp đặt ẩn phụ
- Phơng pháp hàm số
- Phơng pháp đồ thị
- Phơng pháp xét điều kiện cần và đủ
- Phơng pháp đánh giá

đều sai. Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ
khác nhau.
Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo những
hớng sau:
+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả
trong trờng hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ớc
chừng
+ Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tập
luyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp.
+ Từ bỏ việc tính toán với những phơng tiện đã lỗi thời
Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán phơng
trình thể hiện ở các mặt sau:
+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh
rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số không
cần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đa về hằng đẳng thức
(tính nhanh)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 2007x
2
2006x - 1 = 0
Nhẩm thấy: a + b + c = 0, không cần giải kết luận phơng trình có 2 nghiệm x
= 1 và x= -
1
2007
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
1
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
+ + + + + =
+ + + + +