ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

ĐINH THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ
ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

ĐINH THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ
ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102


.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh
Bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . .
Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Volterra
Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

17

.
.
.
.

22
22
25
31
36

3 Dáng điệu tiệm cận của phương trình tiến hóa tuyến tính và
ứng dụng
3.1 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hóa . . . . . . .
3.1.1 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và
họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và
họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt . . . . . . . . . .
3.1.3 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hoá . . .
3.2 Một số ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học . . . . . . . .
3.2.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi
3.2.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào
tuổi và sự phân bố dân cư . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

41
41

đó đưa ra mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi ([3, 4, 11, 13]).
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng
Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
2


điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm
ơn phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục
học tập và bảo vệ luận văn.
Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những
sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời
gian qua.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh
thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Đinh Thị Hạnh

3


Chương 1

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử

4


(Tl (t)f )(s) = f (t + s), ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

và
(Tr (t)f )(s) = f (s − t), ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

Khi đó (Tr (t))t≥0 và (Tl (t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0 , được gọi
tương ứng là nửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0 .
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường
hợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự.
Trước hết ta chứng minh (Tl (t))t≥0 là một nửa nhóm.
Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có:
(Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s),

suy ra Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h).
Tiếp theo chứng minh tính liên tục mạnh của (Tl (t))t≥0 ; Tức là, ta cần chỉ ra
với mọi f ∈ C0 thì
lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+

t→0+ s∈R

Vì f ∈ C0 suy ra f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim f (s) = 0 nên f
s→±∞

liên tục đều trên R.
Do đó: ∀ǫ > 0, ∃δ > 0 sao cho : ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ ta có: |f (s1 ) − f (s2 )| < ǫ.

(b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X.
t→0

(c) Tồn tại δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X sao cho:
i.||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ],
ii. lim T (t)x = x, ∀x ∈ D.
t→0+

Chứng minh.
(a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach
nên ta có: lim+ T (t)x = T (0)x = x, ∀x ∈ D (D trù mật trong X ).
t→0

(a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0

thỏa mãn ||T (δn )|| → ∞ khi n → ∞. Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X
thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị chặn. Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục
tại t = 0 (do (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh).
(c) ⇒ (b) Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ
đến 0. Khi đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|K x là liên tục ∀x ∈ D.
Do đó, áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là:
lim T (tn )x = x,

n→∞

∀x ∈ X.

Vì (tn )n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh.
(b) ⇒ (a) Giả sử t0 > 0 và x ∈ X . Khi đó:
lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0,

Xét trong trường hợp đặc biệt:
- Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn.
- Nếu w = 0 và M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co.
- Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm
đẳng cự.
Ví dụ 1.2. Theo đinh lý (1.2) ta luôn có ω < +∞ nhưng có thể ω0 = −∞. Chẳng
hạn: Trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi:
T (t)f (s) =

f (t + s) nếu s + t ≤ 1

nếu s + t > 1.

0

Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1.
1
Với mọi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1, ta có ||T (t)f || = || 0 T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||.
Từ đó suy ra ||T (t)|| ≤ 1.
Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω . Khi đó:
||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt , ∀t ≥ 0.

Vậy ω0 = −∞.

1.2

Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

1.2.1


(x − T (−h)x) − ξ˙x (0)
h
h
+ T (t + h)ξ˙x (0) − T (t)ξ˙x (0).

(1.2)

Khi h → 0− hạng tử đầu tiên của vế phải hội tụ đến 0 vì ||T (t + h)|| bị chặn.
Phần còn lại cũng hội tụ đến 0 do tính liên tục mạnh của (T (t))t≥0 . Do đó ξx
khả vi bên trái trên R+ .
Vậy ξx (.) liên tục trên R+ và
ξ˙x (t) = T (t)ξ˙x (0), ∀t ≥ 0.

(1.3)

Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử
1
Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x),
h→0 h

(1.4)

xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }.

(1.5)

Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X
mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó:

T (s)xds ∈ D(A).
0

(iv) ∀t ≥ 0, ta có:
t

(1.8)

T (s)xds nếu x ∈ X,

T (t)x − x = A
0
t

(1.9)

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Chứng minh.
(i) ∀α, β ∈ R và x, y ∈ X, ta có:
A(αx + βy) = lim

h→0+

1
[(T (h)(αx + βy) − (αx + βy)] = αAx + βAy.
h

1
T (h)
h

T (s)xds −

0

0
t

t+h

=

1
h

T (s)xds −
h

1
h

1
T (s)xds =
h

t


0


hội tụ đến T (t)x − x khi h → 0+ . Do đó:
t

T (s)xds ∈ D(A)
0

(iv) Theo chứng minh trong (iii) khi h → 0+ , ∀x ∈ X ta có (1.8) đúng.

Nếu x ∈ D(A) thì hàm
(T (h)x − x)
h
hội tụ đều trên [0, t] đến hàm s → T (s)Ax khi h → 0+ .
s → T (s)

Do đó, ta có:
t

1
lim (T (h) − I)
+
h→0 h

t

t

1

T (s)Axn ds, ∀t ≥ 0.
0

Do tính hội tụ đều của T (.)Axn trên [0, t] khi n → ∞ ta có:
t

T (t)x − x =

T (s)yds.
0

Nhân cả hai vế với

1
và lấy giới hạn khi t → 0+ ta được:
t
t

lim

t→0+

T (t)x − x
t

1
= lim
t→0+ t

T (s)yds,

với nửa nhóm (T (t))t≥0 . Khi đó, ∀x ∈ D(A) và t > 0, xét ánh xạ:
s → ηx (s) = T (t − s)S(s)x, ∀0 ≤ s ≤ t.

Với s cố định tập
Ta có:

S(s + h)x − S(s)x
: h ∈ (0, 1) ∪ {AS(s)x} là compact.
h

1
1
(ηx (s + h) − ηx (s)) = T (t − s − h) (S(s + h)x − S(s)x)
h
h
1
+ (T (t − s − h) − T (t − s)) S(s)x.
h

Khi đó:

d
ηx (s) = T (t − s)AS(s)x − AT (t − s)S(s)x = 0.
dt

Suy ra ηx (s) là một hằng số.
Do ηx (0) = T (t)x và ηx (t) = S(t)x nên T (t)x = S(t)x với mọi x trong miền trù
mật D(A).
Như vậy: T (t) = S(t), ∀t ≥ 0. Định lý được chứng minh.
1.2.2

||(tA)n ||

n!
n=0
n+1
n+1
t ||A||
(n + 1)!

(tA)n
, ∀t ≥ 0.
n!

||(tA)n ||
tn ||A||n
≤
n!
n!
n
n
t ||A||
t||A||
= lim
= 0.
n→∞ n + 1
n!

hội tụ vì
:


=
n=0 k=0
∞

=
n=0

∞

k=0

sk Ak
k!

tn−k .An−k sk Ak
.
(n − k)!
k!

(t + s)n .An
= e(t+s)A = T (t + s).
n!

Suy ra T (t) = etA là nửa nhóm trong không gian Banach X .
Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều. Thật vậy, ta có:
∞

T (t) − I =
n=1


(tA)n
= (tA)
n!

+∞

n=1

(tA)n−1
.
n!

Do vậy:
T (t) − I
− A = A.
t

12

+∞

n=2

(tA)n−1
.
n!


Từ đây suy ra
T (t) − I

t

1
t

||I −

T (s)ds|| = ||
0

≤

t

1
t

1
t

(I − T (s))ds||
0
t

||I − T (s)||ds → 0, (t → 0+ ).
0

1 t
T (s)ds|| < 1. Khi đó, toán tử
t 0

T (s + h)ds −

t

T (s)ds −

T (s)ds =
0

h

T (s)ds
0

0
t+h

1
h

h

T (s)ds −
t

T (s)ds .
0

−1
1

Vậy lim+
h→0

1
h

h
T (s)ds
0

0

1
T (s)ds − I|| ≤
h

h

||T (s) − I||ds < ǫ.
0

= I.

Tương tự với 0 < h < δ, ta có:
1
||
h

t+h
t


∈ L(X).

0

Vậy toán tử A bị chặn. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.6. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian
Banach X với toán tử sinh (A, D(A)). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(a) Toán tử sinh A là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 thỏa mãn:
||Ax|| ≤ M||x||, ∀x ∈ D(A).

(b) Miền D(A) là tất cả các phần tử của X.
(c) Miền D(A) đóng trong X.
(d) Nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục đều.
Trong mỗi trường hợp nửa nhóm được cho bởi
∞
tA

T (t) = e

=
n=0

tn An
, t ≥ 0.
n!

Chứng minh.
(a) ⇔ (d) được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.5.
(b) ⇒ (a) A đóng nên A bị chặn.


∀t ≥ 0.

Khi đó ta có các tính chất sau:
+∞
(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds tồn tại ∀x ∈ X thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A) = R(λ).
(ii) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ(A) và giải thức R(λ, A) được cho bởi tích phân trong
(i).
(iii) ||R(λ, A)|| ≤

M
, với mọi λ thỏa mãn Reλ > w.
Reλ − w

Khi đó: R(λ, A)x =

+∞

e−λs T (s)xds được gọi là biểu diễn tích phân của giải

0

thức. Tích phân này là tích phân Riemann suy rộng
t

(1.12)

e−λs T (s)xds, ∀x ∈ X.


∞

∞

1
T (s + h)xds −
h

1
=
h
0
∞

1
=
h

T (s)xds
0

∞

1
T (s)xds −
h
0

h



T (s)xds = lim

t→∞ 0

0

T (s)xds = R(0)x

T (s)Axds = R(0)Ax (theo Định lý 1.3(iv)).

Vì theo Định lý 1.4, toán tử A đóng nên R(0)Ax = AR(0)x = −x.
Từ đó suy ra R(0) = (−A)−1 .
(ii) và (iii) được suy ra từ (i) và từ ước lượng sau:
t

t

e−λs T (s)ds|| ≤ M

||
0

e(w−Reλ)s ds.
0

Với Reλ > w vế phải hội tụ đến

M
khi t → +∞. Định lý được chứng minh.

(Reλ − w)n

Chứng minh. Từ hệ thức Hilbert đối với giải thức:
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).

Với n = 2, λ = µ, ta có:
R(λ, A) − R(µ, A)
= −R(λ, A)R(µ, A).
λ−µ

Cho µ → λ thì ta được:
dR(λ, A)
= −R(λ, A)2
dλ

và

∞

d
dR(λ, A)
=
dλ
dλ

∞

e−λs T (s)xds = −
0


=

M
||x||, ∀x ∈ D(A).
(Reλ − w)n

(1.17)

Ví dụ 1.4. a) Các nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ không
gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi
S(t) = V −1 T (t)V, trong đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.
Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1 AV với miền xác định
D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm
(T (t))t≥0.
Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của B là: R(λ, B) = V −1 R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A).
b) Các nửa nhóm điều chỉnh: Nửa nhóm điều chỉnh (eµt T (αt))t≥0 , µ ∈ C, α > 0
có toán tử sinh là B = αA + µI với miền xác định D(B) = D(A).
Thật vậy, với mọi x ∈ D(A) ta có:
Bx = lim

t→0+

eµt T (αt)x − x
= lim
t
t→0+

eµt α

T (αt)x − x eµt x − x


λ−µ
I −A
α

−1

λ−µ
I −A
α

= I.

Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Định lý 1.8. Định lý toán tử sinh (Hille -Yosida)
Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương:
17


(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ(A)
đồng thời
||λR(λ, A)|| ≤ 1.
(1.18)
(c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈ C mà Reλ > 0,
ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời
||R(λ, A)|| ≤



R(n,A)||t

≤ e−nt ent = 1, ∀t ≥ 0.

Áp dụng định lý cơ bản của tích phân đối với hàm
s → Tm (t − s)Tn (s)x, 0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m, n ∈ N.

Ta có:
t

d
(Tm (t − s)Tn (s)x)ds
ds

Tn (t)x − Tm (t)x =
0
t

Tm (t − s)Tn (s)(An x − Am x)ds.

=
0

18

(1.21)


Suy ra


(1.23)

(b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A)
đồng thời
||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1.
(1.24)
(c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈ C mà Reλ > w ,
ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời
||R(λ, A)|| ≤

1
.
Reλ − w

Nửa nhóm thỏa mãn ( 1.23) được gọi là nửa nhóm tựa co.

19

(1.25)


Định lý 1.9. Định lý toán tử sinh (Feller, Miyadera, Phillips)
Giả sử (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X và
w ∈ R, M ≥ 1 là các hằng số. Khi đó các tính chất sau là tương đương:
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh thỏa mãn
||T (t)|| ≤ Mewt , t ≥ 0.

(1.26)


(v) ||x||λ ≤ ||x||µ, với 0 < λ ≤ µ.
Dựa vào các tính chất này ta có thể xây dựng một chuẩn như sau:
|||x||| = sup ||x||µ,
µ>0

chuẩn này có các tính chất:
(vi) ||x|| ≤ |||x||| ≤ M||x||.
(vii) |||λR(λ, A)||| ≤ 1, ∀λ > 0.
20

(1.29)


Do đó, toán tử sinh (A, D(A)) thỏa mãn điều kiện (1.18) đối với |||.||| tương
đương và do định lí 1.8,(A, D(A)) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh (T (t))t≥0
với chuẩn|||.|||. Từ (vi) suy ra ||T (t)x|| ≤ |||T (t)x||| ≤ M||x||.
Như vậy: ||T (t)|| ≤ M. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.1. Qua các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
ta thấy:
- Đối với nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để thành nửa nhóm bị chặn.
- Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm một chuẩn tương đương để đối với chuẩn
này nửa nhóm trở thành nửa nhóm co.

21


Chương 2

Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên
tục mạnh


Mệnh đề 2.1. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0. Khi đó, với mọi x ∈ D(A), hàm u : t → u(t) = T (t)x là nghiệm (cổ
điển) duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.
Định nghĩa 2.2. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm đủ tốt của bài toán
t
Cauchy trừu tượng nếu 0 u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
t

u(t) = A

u(s)ds + x.
0

Mệnh đề 2.2. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0. Khi đó, với mọi x ∈ X , ánh xạ quỹ đạo u : t → T (t)x là nghiệm đủ tốt
duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.
t

Chứng minh. Theo Định lý 1.3 ta có 0 T (t)xds ∈ D(A) với mọi x ∈ X và
t
T (t)x − x = A 0 T (s)xds với mọi x ∈ X . Suy ra u(t) = T (t)x là nghiệm đủ tốt của
(ACP ).

Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm 0 ứng với giá trị ban đầu x = 0. Giả sử
u là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy trừu tượng với x = 0, t > 0. Khi đó với
mỗi s ∈ (0, t), ta có:
d
(T (t − s)
ds

n=1 ⊂ D(A) : lim xn = 0, tồn tại nghiệm u(t, xn )
n→∞

sao cho: lim u(t, xn ) = 0 đều trên [0, t0 ].
n→∞

Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) (theo mệnh đề 2.1).
(ii) ⇒ (iii) Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt
23