B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

LÊ N H Ậ T G IA N G

LÝ THUYẾT LIÊN PH Â N s ố
VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N

C huyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. N guyễn Văn Hào

H À N Ộ I - 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung
học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn
thành luận văn.


1 . 2 . Khái niệm liên phân số

10

1.3. Một số ví dụ

12

1.4. Một số tiêu chuẩn hội tụ

17

/

1.4.1. Định lý Sleszynski-Pringsheim

17

1.4.2. Định lý Worpitzky

21

0

0

Chương 2. A p dụng liên phân sô trong việc giải phương trình
vi phân


khái niệm liên phân số như ngày nay. Có lẽ để nói đến nguồn gốc của
khái niệm này, chúng ta hãy bắt đầu từ việc biểu diễn xấp xỉ của \/Ĩ3
được cho bởi nhà Toán học Bombelli năm 1572 như sau
4

V ũ = 3+

4’
6

Đây là trường hợp riêng của công thức
y/a2 + b = a H----------—
2a +
b
2a -ị- ...
Trường hợp riêng thứ hai của công thức này được cho bởi Cataldi năm
1613 dưới dạng (dấu + được ông thay bởi dấu & )
\ / Ĩ 8 = 4 & --------^--------.
8 &
8

&

-

8

Ông viết gọn biểu thức trên dưới dạng như sau
4 &2&2&2
1

_______= 29 + — — — —
2640858
2 + 2+1 + 4 + '”'
Người đầu tiên đưa ra sự khai triển liên phân số vô hạn là Brouncker.
Khoảng năm 1659, ông đã trình bày trước hội Toán học Hoàng gia
London biểu diễn sau
4
00
f (2n
- = 1+ K 1 v
7Ĩ

n=l \

—

2

1)'
1

Tuy nhiên, ông không đưa ra phép chứng minh công thức này và có lẽ
ông nhận được nó từ công thức tích vô hạn của Wallis đối với —. Bắt
đầu từ năm 1737, Euler là người đưa ra được sự trình bày một cách hệ
thống về liên phân số. Các công trình của ông đã làm sáng tỏ rằng lý
thuyết liên phân số được sử dụng trong cả lĩnh vực lý thuyết số và lý
thuyết giải tích.
Đến nay, lý thuyết liên phân số đã đem lại áp dụng trong nhiều lĩnh vực
của Toán học cũng như các vấn đề thực tiễn khác. Được sự định hướng


6. Đ ón g góp của đề tài
Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số và giới thiệu cách áp dụng liên phân
số để giải một số phương trình vi phân xuất hiện trong các lĩnh vực kĩ
thuật, vật lý,...

4


Chương 1
Liên phân số
1.1. Lời dẫn khái niệm liên phân số
Để dẫn tới khái niệm liên phân số một cách tự nhiên, chúng tôi giới thiệu
một số khái niệm quen thuộc. Cho {tn} là dãy số phức. Khi đó, tổng vô
hạn
00

” tn = ti + h + ts + ... + tn +
Tl—1

(1.1)

được gọi là một chuỗi số phức (sau này ta chỉ gọi là chuỗi s ố ). Tổng
hữu hạn

n

Tn = ^ tk:
k=1
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi ( 1 .1 ) hay còn được viết dưới dạng
truy hồi

hoặc viết dưới dạng truy hồi
P n + 1

Pĩl-Vn+1-

Sự hội tụ của tích vô hạn ( 1 .2 ) là sự hội tụ của dãy tích riêng {Pn} tới
số phức p / ũ. Khi đó, ta cũng nói tích vô hạn (1.2) hội tụ đến p và
viết là
00

Ỵ[pn = p
71= 1

Tiếp đến, như các khái niệm về tổng và tích vô hạn đã giới thiệu trên
đây, người ta đưa ra khái niệm liên phân số như sau. Cho {an} là dãy
các số phức khác 0 và dãy { /n} trong c = c

u

{oo} được xác định bởi

/i = dị
ữi
/2

1+

ãí

/3

Người ta gọi một liên phân số xác định từ dãy {an} được kí hiệu và
xác định bởi
ữi

00

К K / 1) =
n=1
1+

(1.3)

Й2
аз

1+

1+

Sự hội tụ của liên phân số (1.3) được hiểu theo nghĩa sự hội tụ của dãy
xấp xỉ riêng {/n}. Tuy nhiên, khác với nghĩa hội tụ của chuỗi hay tích
vô hạn, đối với liên phân số ta vẫn có thể nói về sự hội tụ đến oo.
V í dụ 1 . 1 . Đối với liên phân số
00

К (6 / 1)
71= 1

л


bk + w

nên nó cũng chính là một biến đổi phân tuyến tính không suy biến.
Chúng ta có những giá trị đặc biệt sau

s„(0) = ỉn = ^ , s„(00) = /„_! = 4 ^ -£>n

Ta gọi các ;4n,

-Dn-1

lần lượt là các tử số và mẫu số tổng quát thứ n. Một

tính chất quan trọng liên quan tới các số A n, B n được xác định qua công
thức sau
Ai-Sn-I —A n- i B n = (—1 )
k= l

1.3. M ột số v í dụ
V í dụ 1.2. Từ đẳng thức
n/2 - 1 = --------^ -----2 + {V 2 -l)
ta nhận được các đẳng thức sau
y / 2 - 1 = - --------ị=-----2+ 2 + ( V 2 - l )
_

1

1

1


2 + ...+ 2 +...

Chúng ta thấy
l + i = 1.5

1+

1

= 1.41379...

1
+

-

1
-

1
-

1

1
-

-


y '/y
1

+ y"/y'" ’

y(n)

l

—---= 2 -ị------------------------------.
y ( n + 1)
y { n + 1) Ị y { n + 2 )
14


Từ đó, ta suy ra rằng
1

1

y/l + X — 1 =

X
2 + ( \ / ĩ + X — 1)

Từ ví dụ L2 ở phần này ta có
X

X X
X
2 _|_2 _|_^_|_2 _|_2 + (■ỰY+1Ẽ — 1 )'
15


Điều này gợi ý tới việc xem xét các xấp xỉ của liên phân số
X X

X

X

nghĩa là bởi các hàm hữu tỷ sau
X X X
2 ’2_|_2

2x
X X X
x + 4 ĩ 2 _|_2 _|_2

X2 + Ax


2

4

3

5

6

sn 0.4800 0.3648 0.4201 0.3869 0.4092 0.3932
ỉn

7
0.4053

0.4800 0.3871 0.4022 0.3996 0.4001 0.4000 0.40000

Dĩ nhiên điều đó không chứng tỏ được vấn đề gì. Tuy nhiên, trong một
số trường hợp có thể khai triển liên phân số hội tụ nhanh hơn khai triển
chuỗi lũy thừa.

1.4. M ột số tiều chuẩn hội tụ
1.4.1. Đ ịnh lý Sleszynski-P ringsheim
Liên phân số K ( a n/bn) hội tụ nếu, với mọi n ta có
I I ^ 1 I “t” 1 Ị

(1.9)


ì

M



B n- 1

B n- 2

ta có, với n > 1
|-®n|

\^n-^n—1 “I”

—2 I

^ l^nl l ^ - l l

|®n| \Bn. 2\

> (|ữn| + 1 )— |ữn| \Bn—21
Từ đó, ta suy ra
\B n \

— \ B n - i \ > Ịan | (Ị.0n_i| — Ị 5 n_2Ị)

Đến đây, ta nhận được bất đẳng thức
n

\Bn\ — |-0n_i1 >

|ữfc| > 0
k=ĩ

và số hạng tổng quát trong ( 1 . 1 2 ) thỏa mãn

Chú ý. Nếu bất đẳng thức (Ị1.9Ị) được thỏa mãn, thì từ chứng minh trên
19


ta cũng suy ra rằng, với mọi |iü| < 1
\S{w)\ < 1
và
Sn{w) -> f
sự hội tụ này là hội tụ đều với mọi |ги| < 1 .
V í dụ 1.5. Cho z là một số phức và giả sử rằng \an\ < 1; với mọi n .
Khi đó, liên phân số
an

К —
71=1

2

hội tụ với mọi ịz\ > 2 . Trong trường hợp đặc biệt khi an = 1 với mọi n
ta thấy rằng giá trị của f ( z ) được xác định như sau

m = z + Ị1{ z Ỵ
Từ đó, suy ra
y/ Z1 + 4 - z

m =— f —

Liên phân số K ( l / z ) là một trường hợp đặc biệt sẽ được trình bày ở
phần sau. Trong ví dụ này biểu thức căn bậc hai được lựa chọn sao cho
f ( z ) —»• 0 khi z —> oo tức là


2

Chứng m inh. Cho

ũr

dị Ũ2

(1.13)

như vậy |an| < —với mọi n . Dễ thấy rằng, dãy những giá trị xấp xỉ của
liên phân số
2ữi

4ữ2

4:drt

(1.14)

hoàn toàn giống như dãy những giá trị xấp xỉ (1.13).
Từ
.

.

lữ n |