BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ NHẬT GIANG

LÝ THUYẾT LIÊN PHÂN SỐ
VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung
học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn
thành luận văn.

1.1. Lời dẫn khái niệm liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Khái niệm liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Một số tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

´
1.4.1. Định lý Sleszy´
nski-Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2. Định lý Worpitzky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Áp dụng liên phân số trong việc giải phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Khái niệm liên phân số, có thể nói rằng có nguồn gốc lịch sử từ rất sớm.
Những người học và làm Toán đều biết đến thuật toán Euclide từ thời
toán học cổ đại Hy lạp. Tuy nhiên, không có bằng chứng nào để có thể
khẳng định rằng thời đó các nhà Toán học đã sự dụng nó để hình thành
khái niệm liên phân số như ngày nay. Có lẽ để nói đến nguồn gốc của
√
khái niệm này, chúng ta hãy bắt đầu từ việc biểu diễn xấp xỉ của 13
được cho bởi nhà Toán học Bombelli năm 1572 như sau
√

13 = 3 +

4

4
6+
6
Đây là trường hợp riêng của công thức
a2 + b = a +

.

b
b
2a +
2a + ...

.

Trường hợp riêng thứ hai của công thức này được cho bởi Cataldi năm

=
233

1

.

1

1+

1

3+
6+

1
4+

1
2

Còn Huygens đã đưa ra biểu diễn (những dấu + dưới ta hiểu là phép
cộng được thực hiện ở mẫu của phân số đứng ngay trước nó )
1 1 1 1
77708431
= 29 +
....
2640858
2+ 2+ 1+ 4+

Chương 1. Được giành cho việc trình bày về lý thuyết liên phân số; các
khái niệm liên quan lý thuyết liên phân số; một số tiêu chuẩn hội tụ và
các ví dụ minh họa.
Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp sử
dụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai, phương trình Riccati.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về liên phân số và áp dụng của
nó trong việc giải một số phương trình vi phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân
tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết liên phân số và cách áp dụng liên phân số giải phương trình
vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati.

3


5. Phương pháp nghiên cứu
Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề thông qua việc phân tích, tổng hợp các
tài liệu được thu thập, và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.

6. Đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số và giới thiệu cách áp dụng liên phân
số để giải một số phương trình vi phân xuất hiện trong các lĩnh vực kĩ
thuật, vật lý,...

truy hồi
Tn+1 = Tn + tn+1 ; n = 1, 2, ....
Sự hội tụ của chuỗi (1.1) được định nghĩa qua sự hội tụ của dãy tổng
riêng {Tn } đến số phức T . Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ đến tổng T và viết
là

∞

tn = T.
n=1

Tương tự như vậy, chúng ta cũng có khái niệm về tích vô hạn
∞

pn = p1 p2 ...pn ...,
n=1

5

(1.2)


trong đó tất cả các pn là các số phức khác 0. Tương ứng, ta cũng có các
khái niệm về tích riêng thứ n của tích vô hạn (1.2) như sau
n

pk ,

Pn =
k=1

fn =
1+
1+

.

1+
...
+an
6


Người ta gọi một liên phân số xác định từ dãy {an } được kí hiệu và
xác định bởi
∞

K (an /1) =

n=1

a1
a2
1+
a3
1+
1+

.

(1.3)


6
6
= ; f3 =
1+6 7

6
1+

6
1+6

=

42
; ....
13

Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy xấp xỉ riêng được xác định bởi
công thức
(−3)n − 2n
fn = −6
.
(−3)n+1 − 2n+1
Như thế, liên phân số trên hội tụ về 2.

7


Tương tự, từ dãy số phức {bn } người ta xây dựng liên phân số sau

∞

K (an /bn ) =

n=1

.

a2

b1 +

(1.5)

a3

b2 +
b3 +

a4
b4 +
...

Các khái niệm được định nghĩa theo công thức (1.3) và (1.4) là những
trường hợp đặc biệt của (1.5). Trường hợp đặc biệt hơn cả là khi trong
công thức (1.4) tất cả các giá trị {bn } là các số tự nhiên thì ta gọi nó là
liên phân số chính quy (trong lý thuyết số nó là một khái niệm xuất
phát từ thuật toán Euclide).
Tổng quát hóa cả ba trường hợp về chuỗi số, tích vô hạn và liên phân số
ta có thể xây dựng khái niệm chung như sau: Cho dãy {φn} các ánh xạ

Φn (0) =

a2

b1 +

a3

b2 +
b3 +

...
+
nghĩa là, ở đây c = 0.
9

an
bn


1.2. Khái niệm liên phân số
Khái niệm liên phân số dưới đây được đưa ra bởi hai nhà Toán học
Henrici và Pfluger (có thể xem [2, p.474]).
Định nghĩa 1.1. Liên phân số là một cặp sắp thứ tự
(({an }, {bn }) , {fn}) ;
∞
trong đó {an }∞
1 , {bn }0 là các dãy số phức cho trước với an = 0 và {fn }

là một dãy số phức mở rộng được xác định bởi


b2 +
b3 +

...
+

10

an
bn


được gọi là xấp xỉ riêng thứ n của liên phân số. Để tiện lợi trong việc
trình bày người ta sử dụng ký hiệu
Sn (0)= b0 +

a1 a2 a3
.
b1 + b2 + b3 +...

Ta nói liên phân số hội tụ tới số phức mở rộng f nếu {fn} → f và ta
viết
f = b0 +

a1 a2 a3
an
b1 + b2 + b3 +...+ bn +...

hoặc


An + An−1 w
.
Bn + Bn−1 w

Ở đây, mối liên hệ truy hồi được xác định bởi




 
 An−2 
 An−1 
 An 
=
b
+
a
 ; n = 1, 2, 3, . . .

 
n
n
Bn−2
Bn−1
Bn

11



1.3. Một số ví dụ
Ví dụ 1.2. Từ đẳng thức
√

2−1=

1
√
2 + ( 2 − 1)

ta nhận được các đẳng thức sau
√

2−1=

1
1
√
2 + 2 + ( 2 − 1)

=

1 1
1
√
2 + 2 + 2 + ( 2 − 1)

=

1 1 1

1 1 1
1
.
2 + 2 + 2 +...+ 2 +...

Chúng ta thấy
1+

1
= 1.5
2

1+

1 1
= 1.4
2+2

1+

1 1 1
= 1.4166...
2+2+2

1+

1 1 1 1
= 1.41379...
2+2+2+2


1
√
2 + (− 2 − 1)

nó dẫn đến biểu diễn
√
1 1 1
1
√
− 2=1+
.
2 + 2 + 2 +...+ 2 + (− 2 − 1)
Thế nhưng, liên phân số 1 + K(1/2) lại hội tụ đến

√

2.

Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân
y = 2y + y .
Lấy vi phân n lần ta lần lượt nhận được các đẳng thức sau
y = 2y + y ,
...
y (n) = 2y (n+1) + y (n+2) .
Từ các đẳng thức trên và giả thiết rằng đạo hàm đến cấp n + 2 khác 0,
ta nhận được các đẳng thức sau
y
1
=2+
,


Điều đó, gợi ý cho ta xét đến liên phân số
2+

1 1 1
1
.
2 + 2 + 2 +...+ 2

Từ ví dụ trên đây, ta thấy liên phân số này hội tụ về giá trị

√

2 + 1. Như

thế, ta nhận được
√
y
= 2+1
y
hoặc
√
y
= 2 − 1.
y
Từ đó, ta suy ra rằng
y = C.e

√
( 2−1)x


Điều này gợi ý tới việc xem xét các xấp xỉ của liên phân số
x x
x
x
2 + 2 +...+ 2 +...+ 2 +...
nghĩa là bởi các hàm hữu tỷ sau
2x x x x x2 + 4x
x x x
;
=
;
=
.
2 2+2
x + 4 2+2+2
4x + 8
Đối với các hàm thì liên phân số ít được biết đến hơn so với phương
pháp khai triển chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp khai triển của chuỗi
Taylor tại 0 là
 
1
∞
√
1 2
1 3
5 4
 2 k 1
x + ...
1+x−1=

xấp xỉ dưới dạng liên phân số là các hàm hữu tỷ.
Dưới đây, ta kiểm chứng hai phương pháp xấp xỉ này với một số giá trị
của biến x xem xảy ra điều gì. Trước hết với x = 0.96 thì giá trị chính
√
xác của hàm là 1 + x − 1 = 0.4. Trong bảng dưới đây, ta ký hiệu (sn )
16


là dãy xấp xỉ chuỗi lũy thừa còn (fn ) là dãy xấp xỉ của liên phân số
n

1

2

3

4

5

6

sn 0.4800 0.3648 0.4201 0.3869 0.4092 0.3932

7
0.4053

fn 0.4800 0.3871 0.4022 0.3996 0.4001 0.4000 0.40000
Dĩ nhiên điều đó không chứng tỏ được vấn đề gì. Tuy nhiên, trong một


17


điều đó chứng tỏ công thức đúng với n = 1. Tiếp theo, với mọi n ≥ 2 ta
có
an−1
|an−1 |


An An−1
−
=
Bn Bn−1

(−1)

ak
k=1

Bn Bn−1

.

Từ đó, sự hội tụ được thiết lập khi chúng ta chứng minh sự hội tụ của
chuỗi
∞

(−1)n−1

n

ak
k=1

n=1

Bn Bn−1
18


n
Bn
Bn−1
Bn−2
ta có, với n ≥ 1
|Bn | = |bn Bn−1 + an Bn−2 |
≥ |bn | |Bn−1 | − |an | |Bn−2 |
≥ (|an | + 1) |Bn−1 | − |an | |Bn−2 | .
Từ đó, ta suy ra
|Bn | − |Bn−1 | ≥ |an | (|Bn−1 | − |Bn−2 |) .
Đến đây, ta nhận được bất đẳng thức
n

|Bn | − |Bn−1 | ≥

|ak | > 0
k=1

và số hạng tổng quát trong (1.12) thỏa mãn
n−1

n

(−1)

ak
k=1

Bn Bn−1


ta cũng suy ra rằng, với mọi |w| < 1
|S(w)| < 1
và
Sn (w) → f
sự hội tụ này là hội tụ đều với mọi |w| < 1.
Ví dụ 1.5. Cho z là một số phức và giả sử rằng |an | ≤ 1; với mọi n .
Khi đó, liên phân số
an
n=1 z
∞

K

hội tụ với mọi |z| ≥ 2 . Trong trường hợp đặc biệt khi an = 1 với mọi n
ta thấy rằng giá trị của f (z) được xác định như sau
f (z) =
Từ đó, suy ra

1
.
z + f (z)

√
f (z) =

z2 + 4 − z
.
2

Liên phân số K(1/z) là một trường hợp đặc biệt sẽ được trình bày ở

miền
|w|