đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
Nguyễn đăng đài
Biến đổi fourier phân và ứng dụng
Giải ph-ơng trình khuếch tán đối
Với toán tử vi phân phân

luận văn thạc sĩ toán học thái nguyên - 2012
1S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn đăng đài Biến đổi fourier phân và ứng dụng
Giải ph-ơng trình khuếch tán đối
Với toán tử vi phân phân

VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 5
1.1 Không gian Lizorkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa . . . . . . . . . . . 6
1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân . . . . . . 8
1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân . . . . . . 11
2 Phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp
phân 14
2.1 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Toán tử vi phân cấp phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân
theo biến thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Phương trình khuếch tán phân với các biến không gian
- thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Phương trình khuếch tán phân và các quá trình với thời
gian ngẫu nhiên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Chuyển động Brownian lặp được tạo ra bởi phương
trình khuếch tán phân . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Nghiệm rõ ràng của phương trình khuếch tán
phân với ν = 1/3, ν = 2/3, và ν = 4/3 . . . . . . 39

ν
(x, t) của phương trình khuếch
tán phân với cấp 0 < ν ≤ 2 là mật độ của tích các loại khác nhau
của quá trình ngẫu nhiên. Đối với phương trình khuếch tán phân cấp
ν =
1
2
n
, n ≥ 1, nghiệm u
1/2
n
là tương ứng của phân phối của chuyển
động Brownian lặp n lần. Trường hợp của phương trình khuếch tán
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
phân cấp ν =
2
3
n
, n ≥ 1 liên quan tới chuyển động Brownian và quá
trình với mật độ biểu thị trong các số hạng của hàm Airy. Trong trường
hợp đặc biệt u
ν
là trùng với phân phối của chuyển động Brownian với
thời gian ngẫu nhiên hoặc của quá trình khác nhau với một thời gian
Brownian.
Các kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng phép biến đổi Fourier có nhiều
ứng dụng trong vật lý, cơ học điện tử, kĩ thuật điện và một số ngành
khoa học khác. Sự ứng dụng rộng dãi trên nhiều lĩnh vực khoa học
và toán học của phép biến đổi Fourier và ứng dụng giải phương trình

tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có
hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Đăng Đài
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Chương 1
Biến đổi Fourier phân dạng lũy
thừa
Trong chương này trình bày cơ sở của biến đổi Fourier phân dạng
luỹ thừa do Y. Luchko, H. Martinez, J. Trujillo đưa ra trong [3], mà
chúng tôi tạm gọi là biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa MLT. Phép
biến đổi này được xét trong không gian Lizorkin.
1.1 Không gian Lizorkin
Không gian Lizorkin là một không gian con của không gian các hàm
giảm nhanh S, vì vậy trước hết chúng tôi trình bày khái niệm về không
gian S [ 2].
Định nghĩa 1.1.1. Ký hiệu S = S(R) là tập hợp của tất cả các khả
vi vô hạn trên R, sao cho
|[φ]|
m,n
:= sup
n≤m,x∈R
(1 + x
2
)
m


+∞
−∞
ˆu(ξ)e
−iξt
dξ. (1.2)
Định nghĩa 1.1.3. Ký hiệu
V (R) = {v ∈ S(R) : v
(n)
(0) = 0, n = 1, 2, . . . }. (1.3)
Không gian Lizorkin được định nghĩa như sau
Φ(R) = {φ ∈ S(R) : F[φ] ∈ V (R)}. (1.4)
Ta có

+∞
−∞
x
n
φ(x)dx =
1
i
n

+∞
−∞
i
n
x
n
e

cấp α(0 < α ≤ 1), ˆu
α
được định nghĩa như sau
ˆu
α
(ω) = (F
α
u)(ω) =

+∞
−∞
u(t)e
α
(ω, t)dt, ω ∈ R, (1.6)
trong đó
e
α
(ω, t) =

e
−i|ω|
1/α
t
, ω ≤ 0,
e
i|ω|
1/α
t
, ω ≥ 0.
(1.7)

x =

−|ω|
1/α
, ω ≤ 0,
|ω|
1/α
, ω ≥ 0.
(1.9)
Nếu
(F
α
u)(w) = (F
1
u)(w) = φ(w),
thì
u = F
−1
α
(

u
α
(w)) = F
−1
α
(φ(w)).
Sử dụng hai công thức trên chúng ta có thể tính được biến đổi Fourier
của một hàm cụ thể và biến đổi ngược của biến đổi Fourier.
Ví dụ 1.2.1. Tìm biến đổi Fourier phân của hàm

π|ω|
1/α
.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Ví dụ 1.2.2. Giả sử
(F
α
u)(ω) = ˆu
α
(ω) = g(ω).
Khi đó
(F
α
u)(ω) = (Fu)(x) = g
1
(x), x =

−|ω|
1/α
, ω ≤ 0,
|ω|
1/α
, ω ≥ 0.
Suy ra
u(t) = (F
−1
α
ˆu
α

u)(x) =

±
d
dx

(I
1−α
±
u)(x). (1.12)
Ở đây I
α
±
là toán tử tích phân phân Riemann-Liouville
(I
α
+
u)(x) =
1
Γ(α)

x
−∞
(x − t)
α−1
u(t)dt, (1.13)
(I
α
−
u)(x) =

1
β
u)(x) = (1 − β)(D
1
+
u)(x) − β(D
1
−
u)(x)
= (1 −β)
du
dx
+ β
du
dx
=
du
dx
.
Các trường hợp riêng cần chú ý nhất của đạo hàm phân (1.11) như
sau:
1)β = 0 : D
α
0
≡ D
α
+
,
2)β = 1 : D
α

v(x)(D
α
−
v)(x)u(x)dx. (1.18)
Bổ đề 1.3.1. Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1. Khi đó
(I
α
+
e
iωt
)(x) = e
iωx
|ω|
−α
(cos(απ/2) − isign(ω) sin(απ/2)). (1.19)
Chứng minh. Sử dụng đổi biến số τ = x −t tích phân (I
α
+
e
iωt
)(x) có
thể được biểu diễn dưới dạng
(I
α
+
e
iωt
)(x) =
1
Γ(α)

1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1
sin(ωτ )dτ

.
Cả hai tích phân trong biểu thức đều hội tụ dưới điều kiện ω ∈
R, ω ̸= 0, 0 < α < 1 và có thể được biểu diễn ở dạng giải tích nhờ sử
dụng các công thức:
1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1
cos(ωτ )dτ = |ω|
−α
cos(απ/2),
1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1

|ω|
α
(cos(απ/2) + isign(ω) sin(α π/2)). (1.21)
Chứng minh. Sử dụng bổ đề 1.3.1 ta được
(D
α
+
e
iωt
)(x) =
d
dx
(I
1−α
+
e
iωt
)(x) =
=
d
dx
e
iωx
|ω|
−(1−α)
(cos((1 − α)π/2) −isign(ω) sin((1 −α)π/2))
= e
iωx
(iω)|ω|
−(1−α)

)(x) = λ
−α
e
λx
, Re(λ) > 0, α > 0,
(I
α
−
e
−λt
)(x) = λ
−α
e
−λx
, Re(λ) > 0, α > 0,
(D
α
+
e
λt
)(x) = λ
α
e
λx
Re(λ) > 0, α > 0,
(D
α
−
e
−λt

α
1/2
= 1/2(D
α
+
− D
α
−
),
hệ thức toán tử (1.23) có thể được biểu diễn dưới dạng
(F
α
D
α
1/2
u)(ω) = (−i sin(απ/2)ω)(F
α
u)(ω), ω ∈ R. (1.25)
Chứng minh. Ta có các trường hợp xảy ra sau:
1) α = 1;
2) α ̸= 1, ω = 0;
3) α ̸= 1, ω > 0;
4) α ̸= 1, ω < 0.
Trường hợp 1. Nếu α = 1, khẳng định của Định lý (1.4.1) đúng với
kết quả cổ điển của biến đổi Fourier thông thường ( xem Nhận xét
1.4.1).
Trường hợp 2: Nếu ω = 0 ta chỉ ra rằng
(F
α
D

d
dx
(I
1−α
−
u)(x)]dx
= [(1 −β)
d
dx
(I
1−α
+
u)(x) + β
d
dx
(I
1−α
−
u)(x)]|
+∞
−∞
.
Biểu thức cuối cùng bằng 0 vì tích phân phân của hàm u trong không
gian Lizorkin Φ(R) thuộc không gian Φ(R).
Trường hợp 3: Ta sử dụng công thức (1.18) tích phân từng phần cho
hàm v = e
i|ω|
1/2
x
và u ∈ Φ(R). Tất nhiên, hàm v không thuộ c không

1/α
x
(D
α
+
u)(x)dx − β

+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
(D
α
−
u)(x)dx
= (1 −β)

+∞
−∞
(D
α
−
e
i|ω|
1/α
t
)(x)u(x)dx − β


+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
u(x)dx
= (−iω)(sin(απ/2) + i(1 − 2β) cos(απ/2))(F
α
u)(ω).
Trường hợp 4: α ̸= 1, ω < 0 giống trường hợp 3, nếu ta lấy hàm
v = e
−i|ω|
1/α
x
thay thế vai trò của v = e
i|ω|
1/α
x
, vì vậy thực hiện tính
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
toán ta có
(F
α
D
α
β
u)(0) =


≡ D
α
+
:
(F
α
D
α
+
u)(ω) = (−ic
α
ω)(F
α
u)(ω), ω ∈ R,
c
α
= (sin(απ/2) + isign( ω) cos(απ/2)).
2)β = 1,D
α
0
≡ −D
α
−
:
(F
α
D
α
−
u)(ω) = (−ic

A−→∞

A
0
e
−st
f(t)dt.
Chúng ta nói biến đổi hội tụ nếu giới hạn tồn tại, và phân kì nếu
giới hạn không tồn tại.
Tiếp theo chúng ta đưa ra một số ví dụ về tính toán biến đổi Laplace
của các hàm được đưa ra bởi định nghĩa.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Ví dụ 2.1.1. f(t) = 1 với t ≥ 0.
F (s) = L{f(t)} = lim
A−→∞

A
0
e
−st
1dt = lim
A−→∞
−
1
s
e
−st



A−→∞

A
0
e
−st
e
at
dt = lim
A−→∞

A
0
e
−(s−a)t
dt
= lim
A−→∞
−
1
s − a
e
−(s−a)t








−st
t
n
dt
= lim
A−→∞

t
n
e
−st
−s












A
0
−

A
0

có nghĩa là
L{t
n−1
} =
n − 1
s
L{n − 2}, L{t
n−2
} =
n − 2
s
L{n − 3},
Suy ra
L{t
n
} =
n
s
L{t
n−1
} =
n
s
(n − 1)
s
L{t
n−2
} =
n
s

16
Sử dụng công thức Euler’s:
e
iat
= cos at + i sin at, ⇒ L{e
iat
} = L{cos at} + iL{sin at}.
Bởi ví dụ (2.1.2) chúng ta có
L{e
iat
} =
1
s − ia
=
1(s + ia)
(s − ia)(s + ia)
=
s + ia
s
2
+ a
2
=
s
s
2
+ a
2
+ i
a

−st
f(t)dt =

2
0
e
−st
dt +

∞
2
e
−st
(t − 2)dt
=
1
−s
e
−st












dt
=
1
−s
(e
−2s
− 1) + (0 + 0) +
1
s
1
−s
e
−st












∞
t=2
=
1
−s

′
(0).
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
4. Đạo hàm cấp cao:
L{f
n
(t)} = s
n
L{f(t)}−s
n−1
f(0)−s
n−2
f
′
(0)− −sf
n−2
(0)−f
n−1
(0).
5. L{−tf(t)} = F
′
(s) trong đó F(s) = L{f(t)}. Điều này cũng kéo
theo L{tf(t)} = −F
′
(s).
6. L{e
at
f(t)} = F (s − a) trong đó F(s) = L{f(t)}. Điều này kéo
theo e


∞
0
−

∞
0
(−s)e
−st
f(t)dt
= −f(0) + sL{f(t)}.
3. Từ tính chất 2 chúng ta có:
L{f
′′
(t)} = sL{f
′
(t)} − f
′
(0) = s(sL{f(t)}− f(0)) − f
′
(0)
= s
2
L{f(t)}− sf(0) − f
′
(0).
4. Tương tự dễ dàng chứng minh được nhờ tính chất 2.
5. Chứng minh sau từ định nghĩa:
F
′

0
e
−st
e
at
f(t)dt =

∞
0
e
−(s−a)
f(t)dt = F(s − a).
Bằng cách sử dụng các tính chất, chúng ta có thể dễ dàng tìm biến
đổi Laplace của một số hàm khác.
Ví dụ 2.1.6. Từ L{t
n
} =
n!
s
n+1
, chúng ta có L{e
at
t
n
} =
n!
(s−a)
n+1
.
Ví dụ 2.1.7. Từ L{sin bt} =

.
Định nghĩa 2.1.2. Biến đổi Laplace ngược
L
−1
{F (s)} = f(t), nếu F(s) = L{f(t)}.
Một vài ví dụ đơn giản
Ví dụ 2.1.9.
L
−1

3
s
2
+ 4

= L
−1

3
2
2
s
2
+ 2
2

=
3
2
L

1
2
L
−1

2
s
2
+ 4

= cos 2t
1
2
sin 2t.
Ví dụ 2.1.11.
L
−1

2
(s + 5)
4

= L
−1

1
3
.
6
(s + 5)

3
.
2.2 Toán tử vi phân cấp phân
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu phương trình khuếch tán phân
trong số hạng của đạo hàm Caputo [ 3, 7]:
D
α
∗
f(t) :=





1
Γ(n−α)
t

0
f
(n)
(τ)dτ
(t−τ)
α+1−n
, n − 1 < α < n,
d
n
dt
n
f(t), α = n,

19
Trong đó D
α
+
và D
α
−
là đạo hàm phân Riemann - Liouville trên trục
thực và
(D
α
+
u)(x) =
1
Γ(1 − α)

x
−∞
(x − τ)
α−1
u(τ)dτ, (2.4)
(D
α
−
u)(x) = −
1
Γ(1 − α)

+∞
x

Chúng ta nhắc lại rằng hiệu quả của ứng dụng của biến đổi Laplace
trong hàm (2.7) là mô tả bởi công thức:
L[t
αk+β−1
E
(k)
α,β
(±at
α
); s] =
k!s
α−β
(s
α
∓ a)
k+1
, Res > |a|
1
α
. (2.8)
Từ hệ thức (1.8) và (1.9), không khó để chứng minh các mệnh đề
sau.
Định lý 2.2.1. Nếu 0 < α ≤ 1, u(x) ∈ Φ(R) và F
α
[u(x); w] =

u
α
(w),
thì:

[

u
α
(x); w] = u(−w),
v) Nếu g(x) ∈ Φ(R) và F
α
[g(x); w] =

g
α
(w), thì
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
+∞

−∞

u
α
(w)g(w)e
α
(w, t)dw =
+∞

−∞
u(x)

g
α

x
u
,
(x)dx = u(x)e
−i|w |
1
α
x









+∞
−∞
+ i |w|
1
α

+∞
−∞
e
−i|w |
1
α
x

và F
α
[u(x); w] =

u
α
(w), F
α
[v(x); w] =

v
α
(w).
Chứng minh. Trước tiên xét trường hợp w ≤ 0. Từ (1.6) và (1.7) ta
có
F
α
[(u ∗ v)(x); w] =

+∞
−∞
e
−i|w|
1
α
x


+∞
−∞

−i|w |
1
α
ξ
v(ξ)dξ

+∞
−∞
e
−i|w|
1
α
η
u(η)dη =

u
α
(w)

v
α
(w).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn