ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRỊNH KHẮC BÌNH
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRỊNH KHẮC BÌNH
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
THÁI NGUYÊN, 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm-
Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiến
thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người
đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức,
khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
. . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . . . . . . . 24
2.4 Chuỗi Fourier phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Các bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình chữ
nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Phương trình dạo động của thanh . . . . . . . . . . . . . . 32
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.6.1 Phương trình dao động tự do . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Phương trình dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . 34
3 Biến đổi Fourier 37
3.1 Khái niệm về tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Biến đổi Fourier trong L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Phương trình Laplace trong miền nửa dải . . . . . . . . . . 51
3.6 Bài toán Dirichlet cho miền nửa mặt phẳng . . . . . . . . . 52
3.7 Phương trình Laplace trong góc phần tư của mặt phẳng . . 55
3.8 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . 57
4 Biến đổi Laplace 59
4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
lượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình
đạo hàm riêng trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu
được trích ra từ các tài liệu [1, 4, 5].
Chương 3, trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng
dụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô
hạn. Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2,
3 , 4].
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 4, trình bày cơ sở lý thuyết của biến của biến đổi Laplace và
một số ứng dụng giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo
hàm riêng và phương trình tích phân dạng chập. Các kiến thức của chương
này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1, 4].
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cần
thiết đối với các chương sau. Các kiến thức của chương này có thể tìm thấy
trong tài liệu [1].
1.1 Không gian L
p
Định nghĩa 1.1. Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa
L
p
(Ω) = {f : Ω → R hoặc C; f đo được và |L|
p
khả tích },
L
∞
là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞, i.e,
1
p
+
1
p
= 1.
Chữ "nghĩa là" thường được viết tắt bởi "i.e", chữ "hầu hết" được viết
tắt bởi "h.h".
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức H¨older).
Cho f ∈ L
p
(Ω) và g ∈ L
p
(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f.g ∈ L
1
và
Ω
|f.g| ≤ f
p
.g
p
.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(x)| ≤ h (x) h.h,
với h là một hàm trong L
p
.
Với Ω mở trong R, ta ký hiệu C
k
(Ω) là không gian các hàm số khả vi
liên tục đến cấp k và C
∞
(Ω) =
∞
k=1
C
k
(Ω). Còn C
c
(Ω) là không gian các
hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f , tức là tập hợp
suppf = {x ∈ Ω; f (x) = 0},
là compact chứa trong Ω, ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập
hợp. Đặt
C
k
c
(Ω) = C
k
(Ω)
C
N→∞
b
a
f (x) sin Nxdx = 0.
Chứng minh. Hai điều khẳng định của định lý được chứng minh theo một
cách giống nhau. Vì vậy ta chỉ chứng minh một.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Cho trước ε > 0. Từ định lý về tính trù mật ta có một hàm g (chỉ phụ
thuộc vào ε) trong C
∞
c
(a, b) sao cho
b
a
|f (x) − g (x)|dx <
ε
2
.
Vì g có giá trị compact trong (a, b) nên g triệt tiêu bên ngoài một khoảng
hữu hạn (α, β) ⊂ (a, b). Do đó
b
1
N
g (x) sin N x|
β
α
−
1
N
β
α
g
(x) sin Nxdx
=
1
N
Vậy với N đủ lớn thì
b
a
g (x) cos Nxdx
<
ε
2
,
kéo theo
b
b
a
|f (x) − g (x)|dx+
b
a
g (x) cos Nxdx
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
Kết thúc chứng minh.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
(x) → f (x) h.h trên Ω,
(b) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f (x) ≤ g (x)| h.h trên Ω. Khi
đó f khả tích và
f
n
− f
1
≡
Ω
|f
n
(x) − f (x)|dx → 0 khi n → ∞.
Bổ đề 1.1. (Bổ đề Fatou). Giả sử (f
n
) là dãy các hàm khả tích sao cho
(a) f
n
≥ 0 hầu hết trên Ω, ∀n.
(b) sup
f
n
< ∞. Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = lim inf f
n
(x). Khi đó f
khả tích trên Ω và
f ≤ lim inf
dx
Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞.
Khi đó, F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
.
Định lý 1.9. ( Fubini). Cho F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
. Khi đó
Với hầu hết x thuộc Ω
1
F (x, ·) ≡ y → F (x, y) ,
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
khả tích trên Ω
2
và
x →
Ω
2
F (x, y)dy,
khả tích trên Ω
1
Cho hai hàm số f và g xác định trên R
N
thì hàm số f ∗ g định bởi
(f ∗ g) (x) =
R
N
f (x − y) g (y) dy.
Được gọi là tích chập của f và g.
Định lý 1.10. Giả sử f ∈ L
1
R
N
và g ∈ L
p
R
N
với 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó, với mỗi x ∈ R
N
, hàm số y → f (x − y) g (y) khả tích trên R
N
và
f ∗ g ∈ L
p
Áp dụng định lý Tonelli, ta thấy rằng F ∈ L
1
R
N
× R
N
. Theo định lý
Fubini ta được:
|F (x, y)|dy < ∞ h. h. x ∈ R
N
và
dx
|F (x, y)|dy ≤ f
1
g
1
,
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tức là ta đã chứng minh định lý trong trường hợp p = 1.
Tiếp theo, giả sử 1 < p < ∞. Theo kết quả trên, ta biết rằng với mỗi x cố
định, hàm y → |f (x − y)|.|g (y)|
p
là khả tích, nghĩa là:
y → |f (x − y)|
|f (x − y)|. |g (y)|dy ≤ (|f (x − y)|.|g (y)|
p
dy)
1
p
f
1
p
,
nghĩa là:
|(f ∗ g) (x)|
p
≤ (|f| ∗ |g|
p
) (x) . f
p
p
1
.
Áp dụng kết quả trong trường hợp p = 1, ta có:
f ∗ g ∈ L
p
, f ∗ g
p
p
≤ f
1
< · · · < x
n
= b. Đặt
V (f) = V (f : a, b) = sup
P
n
i=1
|∆f
i
|,
trong đó ∆f
i
= f (x
i
) − f (x
i
− 1), sup lấy trên tất cả các phân hoạch của
[a, b]. Ta gọi V (f) là biến phân toàn phần của f trên [a, b]. Hàm f được
gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] nếu V (f) < +∞.
Ví dụ 1.1.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) Nếu f là hàm số thực đơn điệu trên [a, b] thì f có biến phân bị chặn
trên [a, b] và V (f) = |f (a) − f (b)|.
(b) Nếu f là hàm số thực với f
tồn tại và bị chặn trên [a, b], nghĩa là
|f
cũng cho thấy f khả tích trên [a, b] nếu f có biến phân bị chặn trên [a, b].
Bổ đề 1.2. (Tích phân Dirichlet ). Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác
định trên (a, b) thỏa mãn “một ” trong hai điều kiện Dirichlet sau đây
(i) Tồn tại f (a
+
) , f (b
−
) và f có biến phân bị chặn trên [a, b],do đó f xác
định trên [a, b] với giá trị tại biên là f (a
+
) và f (b
−
).
(ii) Có hữu hạn điểm thuộc [a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của
những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của [a, b] ;
hơn nữa f ∈ L
1
(a, b).
Khi đó, ta có: Nếu 0 < a < b thì:
lim
µ→∞
b
a
f (x)
sin µx
x
dx = 0. (1.1)
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q
0
s
inx
x
dx =
π
2
.
Với 0 < c < d, bằng cách đổi biến µx = t, ta có:
lim
µ→∞
d
c
s
inµx
x
dx = lim
µ→∞
µd
µc
s
int
t
dt = 0, (1.3)
lim
µ→∞
ξ
a
s
inµx
x
dx + f
b
−
b
ξ
s
inµx
x
dx,
trong đó ξ ∈ [a, b]. Nếu 0 < a < b, từ (1.1), cho µ → ∞ thì vế phải ở trên
tiến về 0, ( lưu ý rằng mặc dù ξ thay đổi theo µ, nhưng ξ bị chặn). Vậy là
ta chứng minh xong (1.1).
Nếu 0 = a < b, đặt φ(x) = f (x) − f (0
+
), thì φ đơn điệu và φ (0
+
) = 0.
Ta có
b
Như vậy chỉ cần chứng minh tích phân thứ hai có giới hạn là 0 khi µ → ∞
thì ta sẽ suy ra được (1.2). Để làm được điều này, cho trước ε > 0, ta sẽ
tìm υ > 0 sao cho:
b
0
φ (x)
sin µx
x
dx
< ε, ∀µ > ν. (1.5)
Vì φ (0
+
) = 0 nên ta chọn được số α > 0 sao cho:
|φ (α)| =
ε
4π
,
q
0
sin x
x
dx ≤
π
0
sin x
x
dx ≤π, ∀q ≥ 2π,
kéo theo
q
p
sin x
x
dx
sin x
x
dx
< 2π, ∀p, q > 0.
Vậy ta có bất đẳng thức:
α
0
φ (x)
sin µx
x
dx
µα
µξ
sin t
t
dt
<
ε
2
,
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
độc lập với µ. Ngoài ra, theo trường hợp đã chứng minh trên thì
lim
µ→∞
b
α
φ (x)
sin µx
x
≤
1
α
V
|f (x)|dx <
ε
2
.
Trên các đoạn còn lại, [a, b] \V , f thỏa mãn điều kiện (i).
Áp dụng bước 1 thì:
∫
[a,b]\V
f (x)
sin µx
x
dx
µ→∞
b
δ
f (x)
sin µx
x
dx
= f
0
+
π
2
+ 0.
Tức là ta có (1.2). Kết thúc chứng minh.
Nhận xét 1.3. Hàm f ∈ L
1
(a, b) trơn từng khúc thì f thỏa mãn điều kiện
Dirichlet. Nếu f bị chặn và đơn điệu từng khúc trên (a, b) thì f thỏa mãn
điều kiện Dirichlet (i). Nếu có hữu hạn điểm thuộc [a, b] sao cho khi bỏ đi
lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f đơn điệu từng khúc trên các đoạn
còn lại, thêm vào đó nếu f ∈ L
1
(a, b) thì f thỏa mãn điều kiện Dirichlet
(ii).
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
−π
f (x
) cos nx
dx
, n = 0, 1, 2,
b
n
=
1
π
π
−π
f (x
) sin nx
dx
, n = 0, 1, 2, (2.2)
Mối liên hệ giữa (2.1)- (2.2) cũng được ký hiệu là:
f (x) ∼
a
0
2
+
[−π, π].
Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f
sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội
tụ về
1
2
[f (x
+
) + f (x
−
)] nếu x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về
1
2
[f (−π
+
) + f (π
−
)] tại x = ±π nếu f (π
−
) và f (−π
+
) tồn tại.
Chứng minh. Đặt
S
n
(x) =
a
0
2
+
=
1
2π
π
−π
f (x
) [1 + 2 cos (x
− x) + · · · + 2 cosn (x
− x)]dx
=
1
2π
π
−π
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1) (x
− x)
sin
2π
π
−π
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1) (x
− x)
sin
1
2
(x
− x)
dx
+
1
2π
π
−π
f (x
)
π
π+x
2
0
f (x − 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dx
+
1
π
π−x
2
0
f (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dx. (2.3)
Với x ∈ (−π; π) cố định, ta có các hàm theo biến α là f (x ±2α) thỏa mãn
điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng
0;
π−x
2
và
0;
+
=
1
2
f
x
−
+ f
x
+
.
Với x = π, do (2.3) ta có:
S
n
(x) =
1
π
π
0
f (π −2α)
sin (2n + 1) α
sin α
1
π
ξ
0
f (2α − π)
sin (2n + 1) x
sin x
dx
,
trong đó, ta đổi biến x
= π −α ở tích phân thứ hai. Áp dụng bổ đề 1.2, ta
suy ra
lim
n→∞
S
n
(x) =
1
2
f
π
−
, a
n
=
2
π
π
0
f (x
) dx
, b
n
= 0, n = 1, 2,
Ta có định lý sau
Định lý 2.2. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π).
Khi đó ta có chuỗi cosin
1
π
π
0
f (x
) dx
+
) tại x = 0 nếu f (0
+
) tồn tại; hội tụ về f (π
−
) tại
x = π nếu f (π
−
) tồn tại.
Chứng minh tương tự định lý 2.2, ta có
Định lý 2.3. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π).
Khi đó, ta có chuỗi sin
2
π
∞
n=1
sin nx
π
0
f (x
) sin nx
dx
, (2.5)
∈ N sao cho với mỗi n > n
0
, bất đẳng thức "|S
n
(x) − f (x)| < ε" đúng
cho ∀x ∈ [a; b]. Thật vậy với mỗi x ∈ [a; b] ta có:
S
n
(x) =
1
2π
π
−π
f (x
)
sin
1
2
(2n + 1) (x
− x)
sin
1
2
(x
− x)
dx
π
π
2
−π
2
F (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
−
1
π
π
2
−π
2
G (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
=
1
π
π
2
0
F (x + 2α)
G (x −2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Từ đây ta suy ra:
|S
n
(x) − f (x)| = |S
n
(x) − F (x) + G (x)|
≤
1
π
π
2
0
F (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα −
F (x)
(2.6)
+
1
π
π
2
0
G (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα −
1
2
G (x)
.
Vì các hàm F, G bị chặn, hàm y →
y
0
sin α
α
dα là liên tục và
lim
y→∞
y
0
sin α
α
dα =
π
2
,
(ta thừa nhận điều này), do đó tồn tại hằng số C>0 sao cho
|F (x)| ≤ C, |G (x)| ≤ C,
ε
8C
, |G (x
± 2µ) − G (x
)| <
ε
8C
, (2.7)
đúng với mọi x
∈ [a, b].
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.6). Ta có:
π
2
0
sin (2n + 1) α
sin α
dα =
π
2
0
1 + 2
n
=
1
π
π/2
0
[F (x + 2α) −F (x)]
sin (2n + 1) α
sin α
dα
≤
µ
[F (x + 2α) −F (x)]
sin (2n + 1) α
sin α
dα
.
(2.8)
Tóm lại có hàm α → F (x + 2α) − F (x) là hàm bị chặn, dương và đơn điệu
tăng trên một khoảng tùy ý, và hàm α → α/ sin α cũng bị chặn, dương, đơn
điệu tăng trên
0,
π
2
. Do đó, theo định lý thứ hai về giá trị trung bình của
tích phân, tồn tại ξ ∈ [0, µ] sao cho:
sin (2n + 1) α
sin α
dα
=
1
π
[F (x + 2µ) −F (x)]
µ
sin µ
·
(2n+1)µ
(2n+1)ξ
sin α
α
dα
sin α
dα
≤
ε
8
. (2.9)
Cũng từ định lý giá trị trung bình thứ hai, ta có ξ
∈
µ,
π
2
sao cho
1
π
+
1
π
[F (x + π) − F (x)]
π/2
ξ
sin (2n + 1) α
sin α
dα
≤
2C
π
.
(2.10)
Mặt khác, với 0 < p < q ≤
π
2
. Áp dụng định lý trung bình thứ hai, ta được
q
p
sin (2n + 1) α
sin α
dα
≤
1
sin p
r
q
sin (2n + 1) αdα
+
q
Copyright: Tài liệu đại học ©