ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM NGỌC ĐIỀN
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM NGỌC ĐIỀN
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Nội dung 4
1 BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 4
1.1 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tính chất toán tử của biến đổi Fourier . . . . . . . . 5
1.2 Biến đổi Fourier phân Namias . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite . . . . . . . . . 6
1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias . . . . . . 7

1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Những biến đổi Fourier, Laplace và sự kết hợp trong tính toán của
các biến đổi đó là một trong những công cụ có tác dụng to lớn trong toán
học lý thuyết và ứng dụng. Vô số các ứng dụng trong vật lý lý thuyết,
kỹ thuật điện và nhiều lĩnh vực khác đã khiến cho những biến đổi này là
một trong ba tiến bộ quan trọng nhất của toán học trong một phần tư
cuối cùng của thế kỷ XIX. Bên cạnh những biến đổi Fourier và Laplace,
các nhà Toán học và Vật lý học còn sở hữu một kho tàng các phép biến
đổi tích phân khác cho từng phạm vi riêng của mình với những ứng dụng
trong thực tế. Tuy nhiên, trong số đó biến đổi Fourier có vai trò nổi bật
nhất.
Biến đổi Fourier phân là sự khái quát toán tử vi phân Fourier thông
thường bằng cách cho nó phụ thuộc vào một tham số liên tục α (được chứa
trong tổ hợp
απ
2
- Điều này cũng được sử dụng xuyên suốt trong nội dung
của luận văn). Trong toán học, bậc α của biến đổi Fourier phân là lũy
thừa α của toán tử trong biến đổi Fourier thông thường. Biến đổi Fourier
phân bậc 1 chính là biến đổi Fourier thông thường. Biến đổi bậc −α chính
là biến đổi ngược của biến đổi bậc α.
Với sự phát triển của biến đổi Fourier phân và các khái niệm có liên
quan, chúng ta thấy rằng miền tần số thông thường chỉ là trường hợp
đặc biệt của sự liên tục các miền Fourier phân đoạn. Trong lý thuyết về
việc thay thế tín hiệu đại diện, chúng ta cũng thấy được sự liên quan đến
việc phân bố thời gian và tần số. Do đó, tất cả các tính chất của biến
đổi Fourier thông thường trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi
Fourier phân.

và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 giới thiệu sơ lược về: phép biến đổi Fourier phân; một số
tính chất cơ bản của biến đổi Fourier phân; biểu diễn tích phân của biến
đổi Fourier phân; phép tính toán tử tổng quát của Namias [1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Chương 2 trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân
trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho:
dao động điều hòa độc lập thời gian (dừng); dao động điều hòa phụ thuộc
thời gian; dao động điều hòa cưỡng bức; các electron tự do trong một từ
trường đồng nhất và không đổi; sự phát triển của một gói sóng điện tử
trong từ trường đồng nhất và không đổi; các electron tự do trong từ trường
đồng nhất và biến thiên theo thời gian của Namias [1].
Chương 3 trình bày nguyên lý bất định cho tín hiệu thực trong miền
biến đổi Fourier phân [4].
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ
bảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Việt Nam. Em xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại
học khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt
quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn
nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp
ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012.
Tác giả
Phạm Ngọc Điền

+∞

−∞
f (x )e
−ikx
dx , k ∈ R. (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Định nghĩa 1.2. Biến đổi Fourier (1.1) được viết dưới dạng toán tử:
F
π
2
[f (x )] =
1
√
2 π
+∞

−∞
f (x

) e
ixx

dx

. (1.3)
Biến đổi Fourier ngược (1.2) tương ứng với toán tử là:
F
−

.F
−
π
2
= F
−
π
2
.F
π
2
= 1.
Chúng ta lưu ý rằng
F
π
2
[f (x)] = g (x) , F
π
2
[g (x)] = f (−x) ,
F
π
2
[f (−x)] = g (−x) , F
π
2
[g (−x)] = f (x) .
Nếu H
n
(x) là những đa thức Harmite bậc n thì dạng toán tử của biến

được biểu diễn dưới dạng e
iαA
, α ∈ R,
thỏa mãn phương trình giá trị riêng (1.5). Khi đó
e
iαA
e
−
x
2
2
H
n
(x) = e
inα
e
−
x
2
2
H
n
(x) . (1.6)
Lấy vi phân hai vế của phương trình (1.6) theo α và cho α = 0, ta
được
Ae
−x
2
2
H

2
−
1
2
. (1.8)
Tính chất 1.2. Một cách tổng quát, toán tử F
α
= e
iαA
có biến đổi ngược
là F
−α
= e
−iαA
. Biến đổi Fourier thông thường tương ứng với α =
π
2
và
ngược lại với α = −
π
2
. Giá trị α = 0 dẫn đến toán tử đồng nhất, khi α = π
tương ứng với các toán tử chẵn lẻ.
Ví dụ 1.1. Biến đổi Fourier phân bậc
1
2
khi áp dụng 2 lần ta được biến
đổi Fourier thông thường. Biến đổi được mô tả bởi toán tử F
π
4

hoá thành một hệ trực chuẩn trong L
2
(R) bởi công thức
Φ
n
(x) =
1

2
n
n!
√
π
e
−
x
2
2
H
n
(x), n = 0, 1, 2, . . . (1.9)
Với f ∈ L
2
(R) ta có
f(x) =
∞

n=0
a
n

Φ
n
(x). (1.12)
1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias
Xét toán tử tuyến tính F
α
thỏa mãn phương trình giá trị riêng
F
α
[Φ
n
(x)] = e
inα
Φ
n
(x). (1.13)
Tác động toán tử F
α
vào hai vế của (1.10), sử dụng phương trình
(1.13), ta có
F
α
[f(x)] =
∞

n=0
a
n
e
inα

f(t)

∞

n=0
e
inα
Φ
n
(x)Φ
n
(t)

dt. (1.15)
Đặt
K
α
(x, t) =
∞

n=0
e
inα
Φ
n
(x)Φ
n
(t) =
=
∞


n=0
H
n
(x)H
n
(t)
2
n
n!
√
π
z
n
=
1

π(1 −z
2
)
exp

2xtz −(x
2
+ t
2
)z
2
1 −z
2

π(1 −e
2iα
)
exp[
2xte
iα
− (x
2
+ t
2
)e
2iα
1 −e
2iα
−
x
2
+ t
2
2
], (1.20)
K
∗
α
(t, x) = K
−α
(t, x). (1.21)
Hàm K
α
(x, t) có các tính chất sau:

α
[f(x)]. (1.24)
Chú ý rằng khi α =
π
2
và α = −
π
2
, chúng ta lấy lại những biến đổi
Fourier thông thường là công thức (1.1)và công thức (1.2). Khi α = 0,
chúng ta biết rằng biến đổi quay về ánh xạ đồng nhất. Thật vậy, khi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
α → 0 chúng ta thay sin α bởi α và cot α bởi
1
α
và sử dụng kết luận dưới
đây [theo nghĩa hàm suy rộng]
lim
ε→0
1
√
πiε
e
−
x
2
iε
= δ(x), (1.25)
+∞

2
2
e
−
x
2
2
e
−
x
2
2
H
n
(x) e
inα
e
−
x
2
2
H
n
(x)
exp

−
x
2
2

−
ix
2
2
cot α

δ (x −a)
exp
(
iπ
4
−
iα
2
)
√
2π sin α
exp

−
i
2
cot α

x
2
+ a
2

+ iaxcosec α

k
2
+ x
2

+ ikx sec α

1.3 Phép tính toán tử tổng quát
Cũng như trong trường hợp biến đổi Fourier và Laplace thông thường,
phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
1.3.1 Phép biến đổi của tích
Cho f(x) là hàm bất kì thuộc lớp L
2
(R), ta cần chỉ ra phép biến đổi
Fourier phân của x
m
f (x). Sử dụng hệ thức truy hồi
H
n+1
(x) + 2nH
n−1
(x) −2xH
n
(x) = 0,
chúng ta tìm thấy
F
α
[x exp

− e
i(n+1)α

H
n−1
(x) .
(1.28)
Mặt khác do H

n
(x) = 2H
n−1
(x), nên
d
dx
F
α
[exp

−
x
2
2

H
n
(x)] = −xe
inα
exp


H
n−1
(x) giữa phương trình (1.28) và (1.29)
ta có được
F
α
[x exp

−
x
2
2

H
n
(x)] =

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

F
α
[exp

−
x

d
dx

F
α
. (1.31)
Lặp đi lặp lại phương trình (1.31) cho
F
α
[x
m
] =

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

m
F
α
. (1.32)
Từ phương trình (1.32) chúng ta dễ dàng có
F
α
[x
2
f] =

đổi Taylor g (x) =

b
m
x
m
. Sử dụng phương trình (1.33), chúng ta thấy
phương trình toán tử tổng quát hơn
F
α
[g (x)] = g

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

F
α
. (1.34)
Áp dụng phương trình (1.34) cho một hàm f(x), chúng ta có
F
α
[gf] = g

x cos α +
1
i

α
[
df
dx
] = i cot αF
α
[xf] −

ix
sin α

F
α
[f].
Sử dụng phương trình (1.31) chúng ta có
F
α
[
df
dx
] =

−ix sin α + cos α
d
dx

F
α
[f] (1.37)
và dạng toán tử của phương trình (1.37) là

α
. (1.39)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Áp dụng phương trình (1.39), chúng ta có
F
α
[
d
2
f
dx
2
] = −

x
2
sin α + i cos α

sin αF
α
[f]−
ix sin 2α
d
dx
F
α
[f] + cos
2
α

dx

có thể được lấy dễ dàng nhất
bằng cách sử dụng phương trình (1.31) và (1.37). Kết quả là
F
α
[x
df
dx
] = −

sin α + ix
2
cos α

sin αF
α
[f]+
x cos 2α
d
dx
F
α
[f] −
i
2
sin2α
d
2
dx

exp
i
2

π
2
− α

×
+∞

−∞
exp

−
ix
2
2
cot α + ixx

cos ecα

f (x

)
x

dx

.

exp

+
ix
2
2
cot α

F
α
[
f
x
]

=

i
sin α

F
α
[f].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
Từ đó, chúng ta có
F
α
[
f

Kết quả cũng có thể được lấy trực tiếp từ phương trình (1.31). Các
quy tắc áp dụng cho F
α
[
f
x
m
] có thể được tìm thấy bằng cách áp dụng lặp
đi lặp lại của kết quả trên.
1.3.5 Phép biến đổi của tích phân
Theo phương trình (1.14) ta có
F
α
[
dg
dx
] = −ix sin αF
α
[g] + cos α
d
dx
F
α
[g].
Thay
dg
dx
= f (x) , ta được
F
α


×
x

a
exp

+
ix
2
2
tan α

F
α
[f]dx.
(1.44)
Các quy tắc cho việc lấy tích phân nhiều lần có thể thu được bằng
cách áp dụng lặp đi lặp lại.
1.3.6 Phép tịnh tiến
Chúng ta bắt đầu một lần nữa từ phương trình biểu diễn tích phân
(1.15), và bằng cách thay đổi của biến y = x + k, chúng ta đi đến kết quả
F
α
[f (x + k)] = exp

−ik sin α

x +
k

HỌC LƯỢNG TỬ
Trong chương này, chúng ta cùng nhau nghiên cứu ứng dụng của biến
đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của các phương
trình Schr¨odinger cho dao động điều hòa và các electron. Nội dung này
được đề cập đến trong nhiều tài liệu của các tác giả khác nhau. Tuy nhiên,
ở đây nội dung của chương được lấy chủ yếu từ tài liệu [1].
2.1 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger dừng
Áp dụng các quy tắc tính toán đối với toán tử tổng quát để giải
phương trình Schr¨odinger dừng cho các dao động điều hòa
−
h
2
2m
d
2
ψ
dx
2
+
1
2
kx
2
ψ = Eψ, (2.1)
khi h là hằng số Planck với số bị chia 2π, k là hằng số co dãn cho các dao
động của khối lượng m và năng lượng E. Phương trình này có thể có được
bằng cách rút gọn cho z =
4

4mk

[
d
2
ψ
dz
2
] + λF
α
[ψ] −γ
2
F
α
[z
2
ψ] = 0. (2.3)
Sử dụng các quy tắc (1.29) và (1.36) và cho F
α
[ψ] = G , chúng ta
thấy rằng G thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai
G


γ
2
sin
2
α + cos
2
α



sin 2α + λ

= 0.
(2.4)
Bây giờ chúng ta quy phương trình này về bậc 1 bằng cách cho
γ
2
sin
2
α + cos
2
α = 0. Như vậy, việc quy về bậc 1 chỉ đơn giản là sử
dụng một biến đổi phân đoạn với góc α sao cho
cot α = ±iγ. (2.5)
Chúng ta có thể viết cot α = iεγ, trong đó ε = ±1.
Đối với dao động điều hòa, γ =
1
2
, và góc α thỏa mãn phương trình
(2.5) là tương ứng với một biến đổi Fourier phân. Sử dụng phương trình
(2.4) chúng ta được
G

+ G

−εz

1 + γ
2

exp

−εz
2
γ
2

×
+∞

−∞
exp

ε
(
1−γ
2
)
z
2
4γ
−
izz

sin α

z
−
(
1

√
3
và sin α = −
2
√
3
.
Lấy λ = v +
1
2
và thay đổi các biến của phép lấy tích phân để s =

√
3
2i

z

, dẫn đến kết quả
ψ(z) = C

exp

z
2
/4

+i∞

−i∞

2
+
1
2
kx
2
ψ = ih
∂ψ
∂t
. (2.10)
Đặt ψ(x, 0) là tình trạng ban đầu của bó sóng. Nghiệm ψ(x, t) có thể
dễ dàng thu được từ hàm Green K(x, x

, t) thoả mãn phương trình (2.10)
với điều kiện ban đầu K(x, x

, 0) = δ(x−x

). Với sự hỗ trợ của hàm Green
chúng ta thu được
ψ(x, t) =
+∞

−∞
K(x, x

, t)ψ(x

, 0)dx


−
1
2
∂
2
K
∂z
2
+
1
2
z
2
K = i
∂K
∂τ
, (2.15)
với điều kiện ban đầuK(z, z

, 0) = δ(z − z

). Phương trình (2.15) có thể
được viết
(A +
1
2
)K = i
∂K
∂τ
,

Φ + F
α
[
∂Φ
∂τ
].
Khi F
α
= e
iαA
, và hoán đổi A với F
α
chúng ta cũng tìm thấy
∂F
α
∂τ
= i

∂α
∂τ

Ae
iαA
= i

∂α
∂τ

AF
α

−
1
2
Φ + i
∂Φ
∂τ
= 0. (2.18)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Các góc α phụ thuộc vào thời gian, α = −τ + C và chúng ta chọn
C = 0 để α = 0 khi τ = 0. Do đó α = −τ.
Giải phương trình tầm thường (2.18) và cho Φ = e
−
iτ
2
F (z), trong đó
F (z) được nêu ra như một hàm tuỳ ý của z. Tại τ = 0, α = 0 và F
α
= F
0
nó là toán tử đồng nhất. Như vậy,
K(z, z

, 0) = F
0
[Φ(z, z

, 0)] = Φ(z, z

, 0) = δ(z −z

2
F
−τ
[δ(z −z

)].
(2.20)
Sử dụng kết quả trong bảng 1, chúng ta thấy
K(z, z

, τ) =
1
√
2πi sin τ
exp
i
2

cot τ(z
2
+ z
2
) −2zz

cos ecτ

. (2.21)
Thay trở lại các biến x, x

và τ, có được dạng chuẩn của hàm Green

iτ
2
F
−τ
[ψ(z, 0)]. (2.22)
Các hàm sóng tại một thời điểm bất kỳ nào sau đó có thể tính bằng
dạng toán tử của phép biến đổi Fourier phân với α = −ωt.
2.3 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho dao
động điều hoà cưỡng bức
Trong một số ứng dụng của lĩnh vực lý thuyết và lượng tử điện tử,
người ta đưa đến việc nghiên cứu tác dụng động lực học được tạo ra bởi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
một ngoại lực phụ thuộc thời gian F (t) mà không phụ thuộc vào vị trí.
Phương trình Schr¨odinger cho dao động điều hoà cưỡng bức là
−
h
2
2m
∂
2
ψ
∂x
2
+
1
2
kx
2
ψ − xF (t)ψ = ih

Các điều kiện ban đầu của K là
K(z, z

, 0) = δ(z −z

). (2.25)
Bây giờ trong phương trình (2.24) cho K(z, z

, τ) = F
α
[Φ(z, z

, τ)],
chúng ta có
F
α

−
∂α
∂τ
A −A −
1
2

Φ + i
∂Φ
∂τ

+ zf(τ)F
α

Φ + i
∂Φ
∂τ
+ f(τ)

cos αzΦ + i sin α
∂Φ
∂z

= 0.
(2.28)
Một lần nữa chọn α = −τ , chúng ta có được phương trình vi phân
riêng bậc một
i
∂Φ
∂τ
− i sin τf(τ)
∂Φ
∂z
+

z cos τf(τ) −
1
2

Φ = 0 (2.29)
với điều kiện ban đầu của Φ là
Φ(z, z

, 0) = F


) được gán bằng 0. Như vậy
dθ
dτ
= sin τf(τ), (2.32)
i
∂X
∂τ
+

(z

− θ) cos τf(τ) −
1
2

X = 0. (2.33)
Nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu là
Φ(z, z

, τ) = exp i

z

η(τ) −ξ(τ) −
τ
2

δ [θ(τ) + z −z


cos τ

f(τ

)dτ

, (2.37)
Hàm Green cho dao động điều hoà cưỡng bức là
K(z, z

, τ) = exp

−iξ −
i
2
τ + iηz


F
−τ
[δ(θ + z − z

)]. (2.38)
Sử dụng kết quả bảng 1, chúng ta thấy
K(z, z

, τ) =
1
√
2πi sin τ