BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
  

ĐỀ TÀI: GVHD:
TS. Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Võ Mạnh Hùng Thaønh Phoá Hoà Chí Minh 2008
Võ Mạnh Hùng
PHẦN MỞ ĐẦU:

1. Lý do chọn đề tài:
Một hệ lượng được đặc trưng bởi Halmitonien

H . Đòi hỏi xác định hàm
riêng và trị riêng của toán tử Hamilton

H đó. Thực ra bài toán tìm trị riêng và
hàm riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thể giải chính xác với một
số trường hợp rất đơn giản như “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử
Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”…
Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử
phức tạp mà ta không thể giải chính xác một cách hoàn toàn. Chính vì vậy,
phương pháp gần đúng được đưa v
ào sử dụng nhằm giải quyết vấn đề trên.
Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới



0
HH V


Với:

0
H : Toán tử Hamilton khi không có nhiễu loạn.

V : Toán tử nhiễu loạn.
Phương trình Schrodinger:

HE


 : Khi nhiễu loạn. (1)

(0) (0) (0)
0 nnn
HE

 : Khi không nhiễu loạn. (2)
Khai triển:
()
x

theo
(0)

()
n
x

và lấy tích phân theo x:

mn n m
n
HHCEC

(5)
Trong đó H
mn
là phần tử ma trận trận của toán tử

H trong “ E
0
”_biểu diễn.







**
**
00 0 0
0
00 00 0



(7)
Thay (6) vào (5) ta được:



0
nmn mn n m
n
HE VCEC




0
0
mmn m mnn
mn
EV EC VC


  


(8)
Để biểu thị độ nhỏ của

V ta đặt:


mm m m
CC C C
EE E E


  
  
(11)
Các số hạng
(0) (1) (0) (1)
, ; ,
mm
CC EE tương ứng với các bổ chính của hàm sóng và và
năng lượng trong gần đúng bậc 1, bậc 2…
Thay (11) vào (10) và tập hợp các số hạng cùng bậc của lũy thừa

, ta có:
0 0 (0) (1) (0) 0 0 (1) (0)
2(1)(1)(2)(0)00(2) (1)
3 (1)(2)(3)(0)(2)(1)
w w

w w

w
mm mn mmmmnn
mn
mn m m m m mn n
mn
mn m m m

mn
EC C









(12)
 Phép gần đúng bậc không:
Với
0

 , phương trình (12):
00(0)
0, m = 1,2,3, k,
mm
EEC




00(0)
, C
mm mk
EE



 


(15)
Lấy phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bổ chính bậc
nhất cho năng lượng:

(1) (1)
w0w
kk k k kk
EE kVk : (16)

Lấy phương trình thứ
mk trong các phương trình (15) ta sẽ tìm được số hạng bổ
chính bậc nhất đối với hàm sóng.
00(1)
w0
mmmk
EEC





Từ đây ta tìm được bổ chính bậc nhất cho hàm sóng:
(1)
00
w
mk


 






(18)
Lấy phương trình thứ m = k trong (18):
(2)
(0) (0)
w
w0
nk
kkn
nk
kn
E
EE

 



Ta tìm được bổ chính bậc 2 cho năng lượng:
(2)
(0) (0)
ww
0



 



(20)
Bây giờ ta gộp số hạng
(0) (0)
ww
mm mk
km
EE
vào trong tổng, khi đó:

(0)(0) (0)(0) (0)(0)
www w
ww0
nk mm mk nk
mn mn
nmn
km km kn
nk nk
EE EE EE


 
 

(21)

00
(2)
(0) (0) (0) (0)
00 00
ww
ww
ww
1
ww
ww w w
11
nk nk
mmkk mn
n
km km
nk
nk nk
mkk mn
n
km km
mk
nk
kk nk mn nk
m
n
km km
mk m
nk
EEC
EE EE


(2)
2
00 00
00
ww ww
1
kk nk mn nk
m
n
kn km
mk
nk
C
EE EE
EE

 



;
,mknk


(23)

Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được bổ chính bậc ba và các bậc cao hơn.

I.1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.



(24)
Trong đó:

*
00
,mn m n
VVdx
  



(25)
Là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn.
Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k.
0
( 0), 1,2, ,
0 ( )
k
k
n
CC f
Cnk





 


  


(27)
Phương trình (23) tương đương với một hệ phương trình bâc nhất đối với
(0)
C

:




00(0)
11 1 12 2 1
00 (0)
21 1 22 2 2
0(0) 0 (0)
11 22
0
0
.
.
0
k
k
kk kkk
kf
kf

2
21
0
1
11 . 0
.

k
k
k
f
k
k
f
f
k
V
V
EV E
EV E
V
V
V
EV E




 
0
(,)
H
HWxt

Với:

0
H : Toán tử Hamilton khi không nhiễu loạn.

(,)Wxt: Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:

0
(,)
(,) (.)
xt
iHWxtxt
t








(30)
Khi không nhiễu loạn:

n
Et
i
Et
i
Et
i
nn
xt xe
xt xe
xt xe
















Nghiệm của (31) là sự tổ hợp của các nghiệm riêng:
(0)
1



(0) (0)
0
() (,) (,) () (,)
nn nn
nn
i CtxtHWxtCtxt
t








(0) (0)
(,) () () (,)
nnnn
nn
ixtCtCtixt
tt









và lấy tích phân theo x, ta được:
() ( ,) ()
mn mn
it it
m
mn n n
nn
dC
i WeCt mWxtneCt
dt



 (36)
Trong đó:


*
(0) (0)
,(,)() ()(,)
mn
it
mn m m mn n
n
Wxt Wxt xdx eCt mWxtn





 

Chọn hàm sóng ở trạng thái dừng thứ k
(0)
.
(0)
().
n
i
Et
k
xe



là hàm sóng của bài toán không
nhiễu loạn.
Do đó:
(0) (0) (0) (0)
(0) ( , ) ( ) ( , )
knn mn
nn
CxtCtxt

 
 



1,





(1) (1)
0
() (,) (0)
mk
it
mm
CmWxtnedtC



 

(40)
Vì các hệ số C
m
(0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng
mk

nên
(1)
0
m
C 

Nghiệm gần đúng bậc nhất:
(1)

n
n
dC t
imWxtnemWxtneCt
dt




(2)
(1)
0
()
1
(,) (,) ()
mk mn
t
it it
m
n
n
dC t
i mWxt ne mWxt ne nWkC t
dt i

 












Và cứ theo quy trình này, ta có thể tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc
bốn vv. Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chỉ cần quan tâm đến
nghiệm gần đúng bậc nhất.
I.1.5: Xác suất chuyển dời lượng tử.
Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không cần quan tâm đến
năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời
giữa 2 trạng thái.

Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng t
hái
km là P
mk
:
2
2
(1)
2
0
1
() () (,)
mk m
PC mWxtkdt


n
C




(43)
Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dạng:


2
2
nn
n
n
n
CE
H
H
C





(44)
Gọi E
0
là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có:


Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng trung bình:

0
i
H





Cho phép xác định được các thông số
i

. Bằng cách đó ta sẽ tính được giá trị của
năng lượng:

01 02 01 02
01 02 01 02
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
H
E
   
   

Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E
0
của hệ.
c.

2
0
() cos
x
Vx V
a



Lời giải.
Áp dụng kết quả của bài toán hạt trong hố thế sâu vô hạn có bề rộng a:
Hàm sóng:
2
sin
n
nx
aa


 (1.1)
Năng lượng:
222
2
2
n
n
E
ma

|| sin 2 =
2
a
n
V
nx
EnVn axadxV
aa n




   



(1.2)
* Bổ chính bậc 2:

2
(2)
(0) (0)
n
kn
nk
kV n
E
EE



0

()Ux ()Ux


()Ux
a 0 a/2 x
Hình 1. Hàm thế năng
22
22
(2)
0
23
32 2
1(1) sin sin 2 os os
128
22 2 2
nk
n
kn k n
kn k n knc c
ma V
E
kn







V
Vx




* Bổ chính bậc 1:

(1) 2
00
2
2
| | sin 2 sin
ab
b
VV
nx a nb
EnVn dx ab
aaa na





   



=
()

ab
b
nk nk
V
kx nx
kVn dx
aaa
kb nb nb kb
nk
V
aa aa
ank








  




(1.6)
2







(1.7) Câu c.

2
0
() cos
x
Vx V
a



* Bổ chính bậc 1:

(1) 2 2
00
0
2
|| sin os

Ux


a 0 a-b x
b
Hình 2. Hàm thế năng

2
(2)
(0) (0)
n
kn
nk
kV n
E
EE






0
2
0
0
; 2
4
2
| | sin . os .sin =

22 22 22
000
22 22
222

; 1
84 4 84 4
16 1
n
nk nk
nk nk
kV n kV n
E
EE EE
ma V ma V ma V
k
kk
k


 
 
 
 
 

 
 
 


Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:




 
0
0 0, , 0,
(, )
0, , 0,
Ly L
Vxy
Ly L





 


x
x

Giả sử nhiễu loạn:









00 0
()
x
yxy
HHVH VxH H H    (2.1)
Phương trình Schrodinger:

HE


 (2.2)
Phương pháp tách biến:

xx
HE


 : Nhiễu loạn một chiều không suy biến. (2.3)

yy
HE


 : Không nhiễu loạn.

Hàm sóng:
12

Năng lượng:
Năng lượng khi chưa có nhiễu loạn:
22
0
11
2
E
Lm



. (2.6)
Bổ chính bậc 1:

2
(1) 2 2
11
00
2
11| |11 sin sin
2
LL
xy
L
EV xdx dy
LLL






 Trạng thái kích thích thứ nhất:


12
1, 2nn
(0)
11212
22
(, ) (, ) () () sin( )sin( )
x
y
xy xy x y
LL L




  
(2.9)

12
2, 1nn.

(0)
22121
22
(, ) (, ) () () sin( )sin( )
x
y

VE V
VVE



(2.12)

Với:

22
11 22
2
00
42L
12 | |12 sin sin y =
2
LL
xy
VV xdx d V
LLL


 



12
2
00
42 2

12 21 12 12
2
5L
22
EEE E
mL


 

(2.14)
* Hàm sóng bậc không:
(0) (0) (0)
11 2 2
CC



(2.15)
C
1
, C
2
thỏa:



(1)
11 12 1 12 2
(1)

sin sin
0
C
x
y
C
LL L
C
x
y
C
LL L



















Nhận xét: hình 4, hình 5 cho thấy rằng mức năng lượng ở cả hai trạng
thái, trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất bị dịch lên một khoảng
2
L

khi có nhiễu loạn nhưng không làm tách mức năng lượng. Chính vì vậy
trong trường hợp này không khử suy biến.
Bài 3.

Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:




 
0
0 0, , 0,
(, )
0, , 0,
Ly L
Vxy
Ly L





 



Hình 5. Dịch mức năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất





 
xy 0, , 0,
(, )
0 0, , 0,
Ly L
Vxy
Ly L









x
x

a. Hãy xác định hàm sóng trạng thái dừng ở gần đúng bậc không và năng
lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản và trạng thái
kích thích thứ nhất.
b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Hãy chỉ rõ trạng
thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên hệ với nhau như thế nào.

2
222
22
2
2
2
() sin( ) ;
2
2
() sin( ) ;
2
nx n
Xx E
L
LmL
ny n
Yy E
L
LmL













(3.5)
*Trạng thái cơ bản:
12
1nn: không suy biến. f = 1.
Năng lượng:
Năng lượng khi không nhiễu loạn:
22
(0)
11
2
E
Lm



. (3.6)
Bổ chính bậc 1:

2
2
(1) 2 2
11
00
2
11| |11 sin ( ) sin ( )
4
LL
xy
L

1, 2nn
(0)
11212
22
(, ) (, ) () () sin( )sin( )
x
y
xy xy x y
LL L




 


12
2, 1nn.

(0)
221 21
22
( , ) ( ) ( ) sin( )sin( )
x
y
xy x y
LL L




(3.10)
Với:

2
22
11 22
2
00
42
12 | |12 sin sin y =
4
LL
xyL
VV xdxy d V
LL L


 



2
12 21
2 4
00
4 2 2 256
12 | | 21 sin sin sin sin y =
81
LL
xx yy L

5 1 256
2481
LL
mL
EEE E
LL
mL





















(3.12)
* Hàm sóng bậc không:


  




 


(3.14)
Điều kiện chuẩn hóa:
22
12
1CC (3.15)
Từ (3.12), (3.14) và (3.15) ta thu được các giá trị của C
1
và C
2
.
*
(1) 2
4
1 1 512
()
2281
EL


 

Trạng thái kích thích thứ nhất:
Nhận xét. Hình 6, hình 7 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn, ở trạng thái cơ
bản mức năng lượng được dịch lên một lượng
2
(1)
11
4


(0)
E

(1) (0) (1)
EE E



(1) (0) (1)
EE E


(1) 2
4
1256
481
EL







(1) 2
4
1256
481
EL



x
xHãy xác định năng lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái
cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất. Nhận xét về tính suy biến và sự khử suy
biến. Giả sử nhiễu loạn:
a.





1
x 0,
()
0 0,
L
VVx
L









xc.








  
3
xyz 0, , 0, , 0,
(, )
0 0, , 0, , 0,
Ly Lz L
VVxy
Ly Lz L









x

11
1
2
222
22
2
2
222
33
3
2
2
( ) sin ;
2
2
() sin ;
2
2
( ) sin ;
2
nx n
Xx E
LL mL
ny n
Yy E
LL mL
nz n
Zz E
LL mL


3/2
3
12
2
(, ) sin sin sin
nz
nx n y
xy
LLLL







(4.4)
Năng lượng:
22222
(0)
123
123
2
()
, , 1,2,3
2
n
nnn
Ennn
mL

1
x 0,
()
0 0,
L
VVx
L









x
x

Bổ chính bậc 1:

3/2
(1) 2 2 2
111
000
2
111| |111 sin sin sin
2
LLL
xy

3/2
1 112 1 1 2
22
( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin
x
yz
xyz xyz x y z
LLLL





 




12 3
1, 2, 1nn n .
3/2
121 121 1 2 1
22
(, ) (, ,) () () () sin sin sin
x
yz
xy xyz x y z
LLLL



1 112 121 211
2
3
EEEE
Lm



(4.9)
Có bậc suy biến bằng 3.

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Phương trình thế kỉ:
  
  
  
(1)
(1)
(1)
112 | 112 112 | 121 112 | 211
121 | 112 121 | 121 121 | 211 0
211 | 112 211 | 121 211 | 211
VE V V
VVEV
VVVE





22
00 0
22
112 | |121 sin sin sin y sin 0
112 | | 211 121| |111 112 | | 211 211| |112 211| |121
LL L
xyy z
Vxdxddz
LLLLL
VVVVV
 






 

Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (1):
3
(1) (1)
0
22
LL
EE



 
Nhận xét: Mức năng lượng ở cả hai trạng thái, trạng thái cơ bản và trạng
thái kích thích thứ nhất đều bị dịch lên một khoảng
2
L

khi có nhiễu loạn


1
()VVx nhưng không làm tách mức năng lượng. Chính vì vậy trong trường hợp
này không khử suy biến.
Hình 8. Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản.
f = 1

0V 


0V


2
L

Ly L









x
x

Bổ chính bậc 1:

3/2
2
(1) 2 2 2
111
00 0
2
111| |111 sin sin sin
4
LL L
xy
zL
EV xdxydydz
LLLL



x
yz
xyz xyz x y z
LLLL





 




12 3
1, 2, 1nn n .
3/2
121 121 1 2 1
22
(, ) (, ,) () () () sin sin sin
x
yz
xy xyz x y z
LLLL





 

Lm



(4.15)
Trạng thái có bậc suy biến bằng 3

*Xét nhiễu loạn suy biến:
Phương trình thế kỉ:
  
  
  
(1)
(1)
(1)
112 | 112 112 | 121 112 | 211
121 | 112 121 | 121 121 | 211 0
211 | 112 211 | 121 211 | 211
VE V V
VVEV
VVVE




(4.16)
Với:

 
3

112 | |121 sin sin sin y sin 0
121| |112 112 | | 211 211| |112
LL L
xyy z
Vxdxddz
LLLLL
VVV
 






 

3
2
2
4
000
2 2 2 256
121| | 211 sin sin sin sin y sin
81
211| |121
LLL
x

256
481
L
L
E
LLL L
EE E
L
L
E



 





 





   

















 









(4.18)
Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản: