ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐÀO HUY NAM
MỐI QUAN HỆ
GIỮA ĐẠO HÀM VỚI TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐÀO HUY NAM
MỐI QUAN HỆ
GIỮA ĐẠO HÀM VỚI TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp.
Mã số: 60460113.
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH SANG
Hà Nội - Năm 2013
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến
các thầy cô giáo công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy
và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học
vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức để thực hiện luận văn này.
Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn
là PGS. TS Nguyễn Đình Sang, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và
tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

tích phân 11
2.1 Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Tích phân các hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Tích phân các hàm số vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Tích phân các hàm mũ và các hàm logarit . . . . . . . . . . 52
2.5 Tích phân của các hàm số ngược. . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Đạo hàm và tích phân với tổng hữu hạn. Một số ứng dụng.74
3.1 Đạo hàm và tích phân với tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . 74
3.1.1 Một số vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Ứng dụng trong các bài toán phương trình, bất phương trình. 89
3.3 Ứng dụng vào tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 94
3.3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Kết luận 100
Tài liệu tham khảo 101
3
MỞ ĐẦU
Đạo hàm và tích phân không xác định là hai phép toán ngược nhau,
chúng thuộc lĩnh vực toán cao cấp nhưng lại liên quan mật thiết và giúp
giải quyết nhiều bài toán sơ cấp.
Trước hết việc tìm nguyên hàm cơ bản được chứng minh bằng đạo hàm,
sau đó để tìm nguyên hàm ta thường dùng các công thức hoặc biến đổi
đưa về nguyên hàm cơ bản. Có rất nhiều cách để tìm nguyên hàm của
một hàm số như dùng bảng nguyên hàm cơ bản, đổi biến số Tuy nhiên
trong một số trường hợp ta có thể dùng đạo hàm để kiểm chứng nhanh
hơn dùng các phương pháp khác.
Ví dụ:

dx

′
=

√
x
2
+ a + x

′
√
x
2
+ a + x
=
1
√
x
2
+ a
giải quyết bài toán này nhanh hơn phương pháp đổi biến.
Với lý do đó, luận văn này muốn khai thác một ý tưởng chính là dùng
đạo hàm để giải bài toán tích phân cũng như dùng đạo hàm để giải bài
toán tổng rời rạc (hữu hạn hoặc vô hạn) và từ đó cho ta những ứng dụng
khác nhau đối với một số bài toán sơ cấp. Nội dung chính của luận văn:
⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này sẽ nhắc lại các
kiến thức cần thiết cũng như các công thức tính đạo hàm và nguyên
hàm cơ bản, công thức Euler trong trường số phức, công thức khai
triển Taylor của đa thức tại 1 điểm.
4
⋄ Chương 2: Mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân. Chương này

Với u, v là các hàm số của biến x. Ta có:
(u + v)
′
= u
′
+ v
′
; (u.v)
′
= u
′
.v + u.v
′
(u −v)
′
= u
′
− v
′
;

u
v

′
=
u
′
v − uv
′

u
′
2
√
u
, (u > 0)
6
1.2.3 Đạo hàm của các hàm lượng giác
(sin u)
′
= u
′
. cos u (cos u)
′
= −u
′
. sin u
(tan u)
′
=
u
′
cos
2
u
(cot u)
′
= −
u
′

√
1 −u
2
(arctanx)
′
=
1
1 + x
2
(arctanu)
′
=
u
′
1 + u
2
(arccotu)
′
= −
u
′
1 + u
2
(arccotx)
′
= −
1
1 + x
2
1.2.4 Đạo hàm của các hàm mũ và logarit

(log
a
u)
′
=
u
′
u. ln a
(ln |x|)
′
=
1
x
(ln |u|)
′
=
u
′
u
(u
v
)
′
= u
v

v
′
ln u + v
u

(x) dx
1.3 Các công thức tính tích phân bất định
1.3.1 Tính chất của tích phân bất định
• (

f (x) dx)
′
= f (x)
•

kf (x) dx = k

f (x) dx
•

[f (x) + g (x)] dx =

f (x) dx +

g (x) dx
•

[f (x) −g (x)] dx =

f (x) dx −

g (x) dx
• d (

f (x) dx) = f (x) dx

u
ln a
+ C

cos udu = sin u + C

sin udu = −cos u + C

du
cos
2
u
= tan u + C

du
sin
2
u
= −cot u + C

du
1 + u
2
= arctan u + C

tan xdx = −ln |cos x| + C

cot xdx = ln |sin x| + C

du

2
=
1
2
ln


x
2
− a
2


+ C

thxdx = ln (chx) + C

dx
sin x
= ln



tan
x
2



+ C

2
+ a + C

shxdx = chx + C

cothxdx = ln (shx) + C

dx
sh
2
x
= −coth x + C

dx
ch
2
x
= thx + C
9
•

dx
√
x
2
+ a
= ln





x +
√
x
2
− a
2



+ C
•

√
x
2
+ a
2
dx =
x
2
√
x
2
+ a
2
+
a
2
2

a. f(x) là hàm liên tục trên [a; b].
b. f(x) khả vi trên (a; b)
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
f(b) −f(a) = f
′
(c)(b −a).
10
1.4.3 Công thức Euler trên trường số phức
e
ix
= cos x + i sin x; e
−ix
= cos x −i sin x
Từ đó suy ra cos x =
e
ix
+ e
−ix
2
; sin x =
e
ix
− e
−ix
2i
Tổng quát: cos nx =
e
inx
+ e
−inx

f
(n+1)
(a)
(n + 1)!
(x −a)
n+1
a là một số nằm giữa x và a .
11
Chương 2
Mối quan hệ giữa đạo hàm và
tích phân
2.1 Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ
Bài toán 2.1. Với điều kiện nào thì tích phân sau là một hàm hữu tỷ ?

ax
2
+ bx + c
x
3
(x −1)
2
dx
Lời giải.
Phân tích
ax
2
+ bx + c
x
3
(x −1)

+ Ex
3
+ Fx
3
(x −1)
đồng nhất hệ số 2 vế ta có















A = c; C + F = 0
−2C + E + B − F = 0
A −2B + C = a
−2A + B = b
⇔





+
B
x
2
+
C
x
+
E
(x −1)
2
+
F
x −1

dx
12
=
−A
2x
2
−
B
x
+ C ln |x|−
E
x −1
+ F ln |x −1| + C
0
.

0
Lấy đạo hàm 2 vế ta được
−5x
2
+ x + 1
x
3
(x −1)
2
=
(2Ax + B)

x
2
− x

−

Ax
2
+ Bx + C

(3x −2)
x
3
(x −1)
2
+
D
x

x
x
3
− 3x + 2
dx
Lời giải.
Phân tích

x
x
3
− 3x + 2
dx =

x
(x −1)
2
(x + 2)
dx =
=
A
x −1
+ B ln
|
x −1
|
+ C ln
|
x + 2
|








A = −
1
3
B =
2
9
; C = −
2
9
Vậy

x
x
3
− 3x + 2
dx = −
1
3 (x −1)
+
2
9
ln


0
lấy đạo hàm 2 vế:
x
(x + 1)
3
(x −1)
2
=
(2Ax + B)

x
2
− 1

−

Ax
2
+ Bx + C

(3x −1)
(x + 1)
3
(x −1)
2
+
D
x −1
+
E




A = B = −
1
8
C = −
1
4
D = −E = −
1
16
Như vậy

x
(x + 1)
3
(x −1)
2
dx =
−x
2
− x − 2
8(x + 1)
2
(x −1)
−
1
16
ln

Ax
2
+ Bx + C
x
3
+ 1
+ D

dx
x + 1
+

Ex + F
x
2
− x + 1
dx
Lấy đạo hàm 2 vế
1
(x
3
+ 1)
2
=
(2Ax + B)

x
3
+ 1





















D + E = 0
−A −D + E + F = 0
−2B + D + F = 0
−3C + D + E = 0
2A −D + E + F = 0
B + D + F = 1
⇔





9
Như vậy

dx
(x
3
+ 1)
2
=
x
3 (x
3
+ 1)
+
2
9
ln |x + 1| −
1
9

2x −4
x
2
− x + 1
dx
=
x
3 (x
3
+ 1)

+
3
4
=
x
3 (x
3
+ 1)
+
2
9
ln |x + 1| −
1
9
ln


x
2
− x + 1


+
2
3
√
3
arctan
2x −1
√


Cx + D
x
2
+ 2x + 2
dx
Lấy đạo hàm 2 vế được
x
2
(x
2
+ 2x + 2)
2
=
A

x
2
+ 2x + 2

− (Ax + B) (2x + 2)
(x
2
+ 2x + 2)
2
+
Cx + D
x
2
+ 2x + 2







A = 0
B = 1
C = 0
D = 1
⇒

x
2
dx
(x
2
+ 2x + 2)
2
=
1
x
2
+ 2x + 2
+

1
x
2
+ 2x + 2

dx
(x
4
+ 1)
2
=
Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D
x
4
+ 1
+

Ex
3
+ Fx
2
+ Gx + H
x
4
+ 1
dx
16
Lấy đạo hàm 2 vế được và đồng nhất hệ số ta được
A = B = D = E = F = 0; C =
1
4

=

ax + b
x
2
+ x
√
2 + 1
dx +

cx + m
x
2
− x
√
2 + 1
dx
lấy đạo hàm 2 vế:
1
x
4
+ 1
=
ax + b
x
2
+ x
√
2 + 1
+

2 + c + m
√
2 = 0
b + m = 1
⇔









a = −c =
1
2
√
2
b = m =
1
2
⇒

dx
x
4
+ 1
=
1

√
2

2x +
√
2
x
2
+ x
√
2 + 1
dx +
1
4

dx

x +
√
2
2

2
+
1
2
−
−
1
4

2
ln





x
2
+ x
√
2 + 1
x
2
− x
√
2 + 1





+
+
√
2
4

arctan


ln





x
2
+ x
√
2 + 1
x
2
− x
√
2 + 1





+
+
3
√
2
16

arctan



u =
1
(x
2
+ a)
n
dv = dx
→





du = −
2nx
(x
2
+ a)
n+1
dx
v = x
I
n
=

dx
(x
2
+ a)

2
+ a)
n+1
dx −2na

dx
(x
2
+ a)
n+1
=
x
(x
2
+ a)
n
+ 2nI
n
− 2naI
n+1
Vậy với a ̸= 0 ta có
I
n+1
=
1
2na
.
x
(x
2

2
Lời giải.
Áp dụng công thức truy hồi trên ta có
I
2
=

dx
(x
2
+ 9)
2
=
1
18
.
x
x
2
+ 9
+
1
18
I
1
=
1
18
.


x +
b
2a

2
+
4ac −b
2
4a
2

= a

t
2
+ δ

trong đó t = x +
b
2a
; δ =
4ac −b
2
4a
2
khi đó
I
n
=


2n
=
1
a
n
(1 −2n) t
2n−1
+ C
• nếu δ =
4ac −b
2
4a
2
̸= 0 thì áp dụng bài toán 2.2 cho tích phân
J
n
=

dt
(t
2
+ δ)
n
J
n
=

dt
(t
2

1
a
n−1
J
n−1
→ J
n−1
= a
n−1
I
n−1
nên J
n
=

dt
(t
2
+ δ)
n
=
1
2 (n −1) δ
.
t
(t
2
+ δ)
n−1
+

3
, sau khi
biết
I
1
=

dx
ax
2
+ bx + c
Ví dụ 2.8. Tính
I
3
=

dx
(x
2
+ 6x + 10)
3
Lời giải.
Ta có
I
3
=

dx
(x
2

2
+
+
3
4

x + 3
2 (x
2
+ 6x + 10)
+
1
2
I
1

trong đó
I
1
=

dx
(x
2
+ 6x + 10)
=

dx
(x + 3)
2

Phân tích

2x + 5
(x
2
− 4x −5)
4
dx =

2x −4
(x
2
− 4x −5)
4
dx + 9

dx
(x
2
− 4x −5)
4
= −
1
3(x
2
− 4x −5)
3
+ 9I
4
Ta có:

−
5
54
I
3
=
= −
1
54
.

t
(t
2
− 9)
3
−
5
36
.
t
(t
2
− 9)
2
+
5
216
.
t


+ C.
Bài toán 2.4. Tính tích phân:
I =

P
n
(x)
(x −a)
n+1
dx
trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n của x.
Lời giải.
Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức P
n
(x) tại x = a:
P
n
(x) =
n

k=0
P
n
(k)
(a)
k!
(x −a)

(a)
k! (n −k) (x −a)
n−k
+
P
n
(n)
(a)
n!
ln |x −a| + C
Ví dụ 2.10. Tính
I =

2x
5
− 6x
4
+ 3
(x −2)
6
dx
Lời giải.
Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức P
5
(x) = 2x
5
−6x
4
+ 3 tại x = 2
ta được

(x −2)
3
+ 14

dx
(x −2)
2
+ 2

dx
(x −2)
=
29
5(x −2)
5
+
8
(x −2)
4
−
16
3(x −2)
3
−
16
(x −2)
2
−
14
(x −2)

xdx = cos x

a
1
sin
n−1
x + a
2
sin
n−3
x + a
3
sin
n−5
x +

+ C
trong đó a
1
, a
2
, là các hệ số bất định.
Chứng minh:
1. Lấy đạo hàm 2 vế ta có


sin
n
xdx


sin
n−2
x
⇔ sin
n
x = sin
n
x đúng.
2. Theo câu 1):
I
n
=
−sin
n−1
x cos x
n
+
n −1
n
I
n−2
⇔ I
n
=
−sin
n−1
x cos x
n
+
n −1

x +

+ C.
23