
I HM HÀ NI 2



L
ng s liu và kt qu nghiên cu trong lu
là trung thc và không trùng lp v 
rng mi sc thc hin luc c
thông tin trích dn trong luc ch rõ ngun gc. Hà N
 



C HAI

42

42

43

50

54

55

det A
A.
diag( , )MN


im( )A
 A.
ker( )A

kA A).
rank ( )At




 (xem, thí d, [7], [8]). Tuy nhi
  (cost

Línghiên cu lí
thuy           
. Tuy nhiên línói chung không tht phù
hp
thuyt chùm ma trn
bc cao cao
lí
Mc dù mc bu nghiên cu, lít
u xây dng 
7



t s nghiên cu mi v c ma trn và ng
di s b

  (xem [2], [5]).
Nhm tìm hiu mt v thi s ng dng, tôi ch
tài cho lua mình là 
i s tuyn tính.

da theo các bài báo [2]-[5]  tính cht       rã
         m thành m    

, 1, 1mm



Cc thù ci s tuyn
tính, các  í, (matrix
polynomials) -- degree)c
ng cn thit trong
các 
1.1

( , ), ,
n
dx
f t x x
dt


( , ),t a b
(1.1.1)
ba tr l
ng kí hio hàm ca hàm s
()xt
tm
t
bi mt trong ba kí
hiu
( ),xt


dx
dt

( , ).x f t x



10

, vì mng
u có th  dng n
( , , ) 0F t x x


vi
( , , ): ( , ).F t x x x f t x




( , , ) 0F t x x



n tính 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),E t x t A t x t f t



( , )t a b
(1.1.2)

det ( ) 0.Et 

11
22
( ) ( )
1 2 1 2
0, ,
( ) ( )
0 0 1 2
x t x t
t a b
x t x t

   
   
  
   
   

   
   
. (1.1.4)
H 
12
00
E




vi
det 0,E 

()
1
()
2
()
2
( ) , 1,2
()
i
i
i
i
i
xt
t
x t i
xt
t


  






là nghim ca h (1.1.4) vi mi
1,2 i 
, bi vì quan h

( ) 0 , .
0
i
i
i
ii
ni
ii
i
i
i
ct
c x t c t t a b
ct









     








Nh vy không gian nghim ca (1.1.4) là vô hn chiu.
Thí d 1.1.1 cho thy, không phi lúc nào không gian nghim c 
i s tuyn tính hu hn chiu. m khác
bit ci s tuyn tính so vi h 
ng: H ng tuyn tính thun nht dng
( ) ( ) ( )x t A t x t


(1.1.5)
vi
()At
là ma trn vuông cp
nn
có 
n
nghic lp tuyn tính,
hay không gian nghim ca h (1.1.5) là hu hn chiu.
Trong ví d này ta có
12

1 2 1 2 1 2( 1)
,
0 0 1 2 1 2
EA



     
   

i s vi h s hng.
nh lí 1.1.1 ([6]) Cp ma trn
 
,EA
là chính qui khi và ch khi không gian
nghim c
( ) ( ) 0Ex t Ax t
là hu hn chia, s
chiu ca không gian nghim bng bc c
 
det .EA



nh lí này cho thy, tính chính qui ca cp ma trn
 
,EA
n
trng, nhiu khi là quynh, trong cu trúc tp nghim c
i s vi h s hng.
Thí d 1.1.2 Xét h  vi phân tuyn tính thun nht vi h s bin
thiên
 
10
( ) ( ) 0, ,
0 0 1
t
x t x t t a b
t


     


     
   
     
     
.
Nu
0


thì
det( ( ) ( )) 0 .E t A t

   

Và (1.1.6) tr thành
12
12
( ) ( ) 0;
( ) ( ) 0.
tx t x t
tx t x t







   
       

Vy
1
( ) 0xt
. Suy ra
2
( ) 0.xt

c thù na ci s
i s tuyn tính có th có duy nht nghim không ph thuc gì vào giá
tr u.
Vi
1


thì
(1.1.6)
1 2 1 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) 0 ( );
( ) ( ) 0 ( ) ( ).
tx t x t x t x t
tx t x t x t tx t

   




det( ( ) ( )) 1 0E t A t
  
    
.
Vi
1


thì
14

21
1 1 1 1
2 1 2
1
11
( ) ( )
(1.1.6)
( ) ( ( ) ( )) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( 1) ( ) 0 ( ) 0
x t tx t
tx t tx t x t x t
x t tx t x t
x t x t






0 0 1 0
x t x t
t
x t x t
t




   
     

   
     


     
   
(1.1.7)
vi
 
2
0,1 ; ; ,tx


là các nhiu  nh.
Khi
0, 0



  






H này  c xét trong Thí d 1.1.2.
Khi
1


thì h có duy nht nghim
( ) 0.xt 

Khi
; 0; 0
   
  
thì
 
1 2 1
12
( ) ( ) ( ) 0
(1.1.7)
( ) ( ) ( ) 0
t x t x t x t
t x t x t



21
()
1
( ) ( ) ( 1) ( ) 0
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dx t
dt
x t x t
xt
x t t x t
x t t x t

  







   





  















  

  


Vi
0t 
thì
1
2 1 1
(0) ;
(0) (0).
xc
x c x







Chn
;0


sao cho
12
( ) ; ( )x t x t  
. Thí d chn
 

khi y
0


thì
0


và
1 1 1


    

    

.

( ) ( )
0 0 1 1
tt
E t A t
tt
       


  
     
   
     

     
,
tc là
16

det( ( ) ( )) ( ) 0 ; 0,E t A t t t
            
            

h nghim
12
( , , ), ( , , )x t x t
   
không tin ti nghim
( ) 0,xt 
thm chí
1

   
  
     
   

   
     
(1.1.8)
Ta có:
(1.1.8)
2 1 1 1 1 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ).
x t x t f t x t f t f t
x t f t x t f t

   






Nh vy, nu ta ch gi thit
 
,,f C a b
tc là
f
liên tc nhng không kh


   
     
(1.1.9)
17

Ta có:
(1.1.9)
1 2 1 1
1 2 2
( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ).
tx t x t x t f t
tx t x t f t

  






H thun nht
1 2 1
12
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
tx t x t x t
tx t x t






1 2 1 1 1 1
2 2 1
( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
tx t f t tx t x t x t f t
x t f t tx t
  
    






Suy ra
21
( ) ( ).f t f t



y, h (1.1.9) gic (có nghim) khi và ch khi v phi ca phng
trình (1.1.9) tha mãn iu kin
21
( ) ( ).f t f t



nghim liên quan cht ch vi tính gic ca h không thun nht.
Nhiu nh ca h i s tuyn tính có th s i
chiu ca không gian nghim, thm chí ngay c  ng hp
rank ( ) Et
  i theo thi gian
.t
Tc là cu trúc nghim ca
 nh theo tham s.
Nghiên ci s, ngay c ng hp
h tuyn tính, là m tài thú v. n rt nhiu bài toán
khác (Lí thuyt nh nghim ci su khin
t mô t bi s).i là
ma Lu  t mthông qua mt s ví d,
làm rõ mt s c thù ci s.
Có th tham kho lí thuyi s qua các sách chuyên
kho, thí d, [6], [7
1.2 lí
 gii h i s tuyn tính hay h n
tính, ng  tng quát v các h n thông qua phép bin
i ma trn.  gii h i s tuyn
19

i bii s tuyn tính tng quát v
dng gic nh phép bii ma trn. Mc này trình bày các kin th
bn nht v bii ma trn cn thi
.2.1 (xem [6], tr. 35) 
nn×


[0,1]

(1.2.1)

k
E

.kk×

V
( ), ( ),A t B t

( ) ( )A t B t





( ) ( )A t B t


 (matrix pencil).
.2.1 (xem [6], tr. 52) 
( ) ( )A t B t



 (rank - degree)
rank ( ) degdet( ( ) ( )) const,A t A t B t k

   


0
0
00
k
nk
Jt
E
E









( ) 0
.
0
k
nk
E J t
E







m
;
(ii)
rank ( ) ,A t k const

 
0,1 ;t

(iii)
rank{ ( )| ( )} ,A t B t k l const  

 
0,1 ;t

(iv)
0
det( ( ) ( ) ( )) ( ) ,
kl
A t B t C t a t
   
   

0
( ) 0,at

 
0,1 .t

, 
 

   

   
  

   
   

   


(1.2.5)
 
,
kl
EE
 
n k l
E

           
, , ;k l n k l

12
,JJ

, 1,2,3,4
i
Ci


( , , ) ( )( ( ) ( ) ( )) ( )t P t A t B t C t Q t
   
   

( ) ( )P t A t


()Qt
+
( ) ( ) ( )vP t B t Q t
+
( ) ( ) ( )P t C t Q t

11 12 11 12
21 22 21 22
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
00
k
B t B t C t C t
E
B t B t C t C t

   

  
   




( ) ( ),n k n k  

12
B

12
C

()k n k

21
B


21
C



( ) .n k k

n.6) theo k 
1
1 22 22
det ( , , ) det ( )( ( ) ( )det( ( ) ( ))det ( ).
kk
k
t P t l t l t B t C t Q t
    

n k l
P t B t C t Q t E m t E
mt
E
v
E



  








(1.2.7)
22

Nhân
21
1
0
diag( , ( ))
0 ( )
k
k
E



     


11 12 1 11 12 1
21 22 1 21 22 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00
k
B t B t Q t C t C t Q t
E
B t B t Q t C t C t Q t

   

  
   


   
(1.2.8)
Nhân
21
1
0
diag( , ( ))

     

  

     


     

hay
11 12 1 11 12 1
22
1 21 1 22 1 1 21 1 22 1
0
( ) ( , , ) ( ) .
00
k
B B Q C C Q
E
P t t Q t
PB PB Q PC PC Q
   
   

   
   


   




   

   
(1.2.9)
1.2.5),
 (iii)
31
J
 bng 0.
23

Nhân
3 21
31
00
0
0
k
l
n k l
E
Q J E
lE









     


11 21 12 13 31 12 13
31
00
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
k
l
E J J J J l J J
E
J





















t bên trái ca (1.2.10
12 13 11 21 12 13 31 12 13
31
00
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
kk
ll
n k l
E E J l J J J J l J J
EE
EJ


   
  

  


  


  

E J J J J l J l J
E
J

  












24

11 12 21 13 31 12 21 12 12 21
21 22 21 22
0
0.
00
n k l
l l J l l J l l J l
l l J l
E

    



 
0,1t
(1.3.1)

0
(0) ,xx
(1.3.2)

( , ( ))f t x t
n f

 
: 0,1 .
n
D 

n
 
0,1
thành
N
phn vu
1
:h
N


01



(1.3.3)
i dng minh:
 
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ,
i i k i k i i i i k i k i k
x x x h f t x f t x f t x
     
        
      

25

Vi
1k 
ta có:
 
0 1 1 0 1 1 1
( , ) ( , ) .
i i i i i i
x x h f t x f t x
   
  
  

ng quát hóa ca n mc.
Vi
0 1 1 0

,x t x
ta lc các giá tr
12
, , , .
N
x x x
Vì v
Euler tin là n.
Vi
0 0 1 1
1, 0
   
   
ta có ng pháp Euler lùi
1 1 1
( , ).
i i i
x hf t x
  


 dng thông tin tm cui
1
,
i
t

vì vy nói chung
n. Tuy nhiên, giá tr ca
x



n.
y, ta thc là tt
c, cha khá nhi t.
Vi
0,i 
công thc (1.4.3) có dng: