B ộ GIẢO DỤC VẢ ĐẢO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN VĂN TUYỀN

HÀM L ồ i VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN VĂN TUYỀN

HÀM L ồ i VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ! TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TAN

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN


Phan Văn Tuyền


iii

DANH MỤC KÍ HIỆU
X€ M

Phần tử X thuộc tập M

y ịM

Phần tử y không thuộc tập M

0

Tập rỗng

M c N

M là một tập con của N

M u N

Hợp của hai tập hợp M và N

M (1N

Giao của hai tập M và N


Phần trong của tập D

||:c||

Chuẩn của X ữong không gian định chuẩn X

Rn

Không gian Euclide n chiều

clD ,D

Bao đóng của tập D

£(Mn,K m)

Không gian các ma trận cấp n X m

(x, y)

Tích vô hướng của X, y ữong không gian Hilbert

coneA

Nón sinh bởi A

K*

Nón cực của nón K

LỜI MỞ ĐẦU

1

1

3

Hàm lồi vô hướng và ứng dụng
1.1

1.2

Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất

1.5
2

3

1.1.1

Tập lồi

....................................................................

3

1.1.2



Tính chất của hàm liên h ợ p .....................................

10

Dưới vi phân

.......................................................................

11

Hàm lồi vectơ và ứng dụng

17

2.1

17

Giới t h i ệ u ..........................................................................


V

2.2

Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ t r ợ ......................

19


57


1

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm lồi vectơ đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc
biệt trong tối ưu. Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú
trọng rất nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của các lớp hàm vectơ và ứng dụng
vào tối ưu vectơ, đặc trưng của tính lồi được biểu diễn thông qua phép vô
hướng hóa và thông qua bậc một của hàm suy rộng. Một trong những tính
chất hữu ích của hàm lồi vectơ là tính liên tục Lipschitz cục bộ trên phần
trong tương ứng của miền xác định của nó. Tuy nhiên chúng ta cũng quan
tâm đến điều kiện để tính liên tục vẫn đúng tại những điểm biên. Trong tối
ưu, để có điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, chúng ta cần hoặc một điều kiện
bậc hai hoặc một giả thuyết lồi. Bên cạnh đó còn một phương pháp nghiên
cứu điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu dựa trên ánh xạ lùi xa. Khó khăn trong
mở rộng và nghiên cứu ánh xạ lùi xa trong trường hợp vectơ là cấu trũc đa
trị của ánh xạ này.
Việc nghiên cứu các tính chất của hàm lồi véctơ được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và ứng dụng như: GS.TSKH.
Đinh Thế Lục; GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn; PGS.TS. Phan Nhật lĩnh;
GS. TSKH. Do Sang Kim.
Lý thuyết đối ngẫu của bài toán quy hoạch lồi véctơ cũng được xây
dựng cho nhiều kết quả trong môn giải tích lồi cổ điển cũng được mở rộng
cho trường hợp véctơ và ứng dụng của nó ưong các bài toán thực tế với lý
do đó tôi chọn đề tài
Hàm lồi vectơ và ứng dụng.


chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, hàm lồi, các tính
chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả dưới vi phân của hàm lồi và
ứng dụng trong lý thuyết tối ưu. Chương này được viết dựa trên tài liệu [1].

1.1
1.1.1

Định nghĩa tập lầỉ, hàm lồi và các tính chất
Tập lồi

Cho X là không gian tô pô tuyến tính thực, X* = { / : X —>• M tuyến tính
liên tục} là không gian đối ngẫu của X , M là tập số thực, ký hiệu
M = MU {±oo}.
Ta nhắc lại, tập lồi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. Tập A c X là tập lồi nếu Va, 6 e A, với mọi A £ [0,1] ta
có
Xa + (1 —X)b €E A.


Tập А с X vói mọi Va, b G A đoạn thẳng nối a và b được xác định bởi
[a, b] = {x £ A :

X

= Xa + (1 —A)&; о < A < 1}.

v í dụ. Cấc đa giác lồi, đa diện lồi quen thuộc trong hình học sơ cấp 2
hoặc 3 chiều đề là các tập hợp lồi. Tiếp theo là các khái niệm khác liên
quan tói tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Cho Ả с X . Khi đó

i) Phần trong ỉn tA và bao đóng A là các tập lồi;
ii) Với Xi G ỉn tA , x 2 G A thì [xi, x 2) с intA ;
iii) Nếu ỉn tA Ỷ 0 thì A = in t A, in t А = in t A.


5

Khái niệm tách các tập lồi đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tối
ưu.
Định nghĩa 1.3. Cho các tập А, в с X ta nói phiếm hàm tuyếntính liên
tục / Ỷ 0 tách A và В nếu tồn tại một số а sao cho
(/, y) < OL < (/, x ) , với mọi X G A, với mọi y e B .
Trong

(1.1)

đó, (/, X) = f ( x ) là tích vô hưóng giữa X và X*.

Nếu các bất đẳng thức ở (1.1) là thực sự, tức là
(/, у) < а < (/, X) với mọi X G A, y G в
thì ta nói / tách chặt A và B.
Siêu phẳng H = {x e X : (f , x ) = a } gọi là siêu phẳng tách A và B.
Các tập A và В được gọi là tách được.
Nhận xét 1.1.

i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với
(/, У> < (/, x ) , Ух e A, My G В.

ii) Phiếm hàm / Ỷ 0 tách chặt A và B, nếu tồn tại số £ > 0 sao cho
(/, y) < (/, x) - £, Vx G А, Уу G В.

ii) Miền hữu hiệu của hàm / ký hiệu là dom ỉ
d o m f = {x e A : f ( x ) < + 0 0 } ;

(1.2)


iii) Hàm / được gọi là hàm chính thường nếu
d o m f Ỷ 0 và f ( x ) > —oo với Va: Ễ X;

iv) Tập mức tại a G M của hàm / là tập
ỉ e v ( f , a ) = { x G Ả : /(ж ) < о;} ;

у) Hàm / được gọi là lõm ưên A nếu —/ l à hàm lồi trên A.

1.2

Tính liên tục

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa về hàm số liên tục. Hàm số / : D —>
được gọi là liên tục nếu x n —»• X, thì f ( x n) —»• f ( x) .
Định nghĩa 1.6.

i) Bao đóng của hàm / là một hàm ký hiệu là el f
e p i ( c l f ) = cl ( e p i f ) -

ii) Bao lồi đóng của hàm / là một hàm ký hiệu là cõf
e pi ( cõf ) = c ö e p i f ;

iii) Hàm / được gọi là đóng nếu e p if là tập đóng trong I x E .
iv) Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới tại X G X nếu

Định lý sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục.
Định lý 1.3. ([1], Định lý 1.3.5) Cho f là hàm lồi chính thường trên X .
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) f bị chặn bên trong một lân cận của x ữ £ X ;

ii) f liên tục tại x ữ;
ỉỉỉ) i n t ( e p i f ) Ф 0 ;

iv) in t(dom f ) ^ 0 v à f liên tục trên int(dom f ) đồng thời
int (epif) = {(x, a) £ X X X : X £ i nt ( d omf ) , f ( x ) < a } .


9

1.3

Tính liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.7. Giả sử X là không gian định chuẩn với chuẩn được ký
hiệu là II•II. Hàm / : X —y R được gọi là Lipschitz địa phương tại Xq g X
nếu tồn tại lân cận и của x ữ và к > 0 sao cho
Vx,x' e и : If ( x ) —f(x')\ < k\\x — x'\\ .

(1-3)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D с X nếu / Lipschitz địa phương tại mọi X G D.
Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz к trên tập D с X nếu
(1.3) đúng với mọi X G D.
Định lý 1.4. ([1]) Giả sử X là không gian định chuẩn, f là hàm lồi trên
tập lồi mỏ D С X , f bị chặn trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc

f{x) + ( x * , x ) ,

VxeX,Vx*eX*.

(1.5)

Bất đẳng thức (1.5) gọi là bất đẳng thức Young - Fenchel.
1.4.2

Tính chất của hàm liên hợp

Từ định nghĩa 1.8 suy ra
= i f * Ỵ{ x ) = sup {(ж*, X) -

X*

.

Mệnh đề 1.4. Với hàm bất kỳ ta có /** < /.
Đỉnh lý 1.5. ([1]) Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X khi đó /*
là hàm lồi chính thường.
Định lý 1.6. ([1]) Giả sử X , Y là các không gian lồi địa phương, Ả : X —ỳ’
Y là phép đồng phôi tuyến tính, д là hàm xác định trên Y.
Đặt
f ( x ) = Xg(Ax + y0) + (x*ữ, X) + 7oTrong đó yữ G Y, Æq g X*, 7o € R, Л > 0. Khi đó,
= Xg(X~1A~ v (x* Hệ quả 1.4.

2$

) - (x* - x*0: A ^ y o ) > ~ 7 o.


1.5

Dưới vỉ phân

Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng bậc nhất trong các bài toán
tối ưu. Lớp hàm lồi có tính khả dưới vi phân rất đẹp mà các lớp hàm khác
không có. Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm / xác
định ữên D c X; f : D

\f(x) I < + 0 0 .


12

Ta biết rằng trong trường hợp / khả vi tại x ữ G domf , khi đó tại lân cận
của x ữ, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó. Đối với hàm
lồi, nói chung là không liên tục và không khả vi.
Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm / theo phương d tại x 0 € X ký hiệu là
f ' ( x 0 , d) được xác định như sau
= }i
A->0

/ ( » . + Ad) - / Ы
Л

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±oo).
Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập lồi không rỗng của I và lo ẽ D.
Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của D tại x ữ nếu tồn tại một
số Л > 0 sao cho x 0 + Xd G D.

Vx, y £ K , Va, ß > 0 : a x + ßy £ K.
iv) Nếu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng.
v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một
nón lồi và gọi là nón lồi sinh bởi A ký hiệu K a Mệnh đề 1.6. ([1]) Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X . Khi đó
ỉ) Nếu f liên tục tại mọi điểm của u c X thì f liên tục tại mọi điểm
của nón Kụ sinh bởi điểm u có thể trừ điểm 0,
ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên X .
Định lý 1.8. Cho f : X —ì M là hàm lồi chính thường trên X liên tụctại
các điểm của tập u c X . Khi đó
i) Nếu tại d' e X thỏa mãn X + d' e u mà f ( x , d!) hữu hạn thì hàm
f ( x , •) liên tục tại mọi điểm của nón Ku- X sinh bởi tập u —X (có th ể

trừ điểm 0);
ii) Nếu f liên tục tại X thì f ( x , •) hữu hạn và liên tục trên X .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.6 ta chỉ cần chứng minh rằng

liên

tục tại mọi điểm của tập u —X.
Trước hết ta chỉ ra rằng f ( x , •) là hàm chính thường. Do If ( x , d) I < +oo


14

nên X G dom f .

Từ Mệnh đề 1.5 tanhận được
f ( x , d ) < f ( x + d) - f ( x) ,

Nếu 3di G X :

1+ e

d2) +

1+ E

di).

(1.6)

Do X + d2 £ d o m f nên f ' ( x , d 2) < + 0 0 . Vì yậy từ (1.6) ta suy ra
f' (x,d' ) = —oo. Điều này mâu thuẫn với điều kiện |/ ( x , d')\ < + 0 0 .
Do đó f ' (x, •) là hàm chính thường.
Nếu dị € u —X thì / bị chặn trên với hằng số с trong một lân cận đủ nhỏ
V của X + di . Khi đó
f ( x , d) < f ( x + d ) ~ f ( x ) < С - f ( x) ,
=>■ f ( x , •)
=>- f ( x , - )

Vd G V - x;

hữu hạn và bị chặn trên tập V —x\
liên tục tại dị (theo Định lí 1.4).

Khẳng định i) được chứng minh.
ii) Do tính lồi nên nếu / liên tục tại 0 thì / liên tục trong một lân cận của


15

0, s + Arf 6 D } ;

ii) f' (x, ■) là hàm thuần nhất dương, lồi khi domf' (x, ■) lồi.
Hê quả 1.5. f ( x , ■) là hàm thuần nhất dương lớn nhất xác định trên d o m f ( x , •)
có tính chất
f ( x + Лd) —f ( x ) > f ' { x , Лd),

Vd G d o m f ( x , •); Л > о, X + Xd G D.

Định nghĩa 1.12. Cho hàm / : X —»• M là hàm lồi trên X . Dưới vi phân /
tại Xq g X , ký hiệu d f ( x ữ) và được định nghĩa như sau
9 f { x o) = {£ G X* : f ( x ) - f ( x 0) > {£, X - x 0) ,


/1

+ / 2 ) (ж),

G X.


17

Chương 2
Hàm lồi vectơ và ứng dụng
Hàm lồi vectơ có thể định nghĩa trong không gian tô pô tuyến tính lồi
địa phương. Để cho dễ hình dung, trong chương này ta chỉ trình bày các
khái niệm và kết quả trong trường hợp hữu hạn chiều. Bằng cách đưa ra
định nghĩa của khái niệm toán tử C-xác định cho các toán tử từ M" vào Rm
trong đó, c c Mm là một nón lồi. Đặc trưng bậc nhất qua tính đơn điệu,
qua đạo hàm theo hướng. Tổng quát các khái niệm của ma trận nửa xác
định dương cho ta đặc trưng cấp hai của tính lồi của các hàm lồi véc tơ.
Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là đủ cho một hàm vectơ lồi
liên tục tương đối trên miền định nghĩa. Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi
xa của các hàm lồi véc tơ được đưa ra bằng nghiên cứu các tính chất đó và
áp dụng vào chứng minh điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu có
ràng buộc và không có ràng buộc.

2.1

Giới thiệu

Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong