ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Vũ Nhật Cương
DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Thái Nguyên - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Phản biện 1: TS. Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế và
Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên.
Phản biện 2: PGS. TS. Tạ Duy Phượng - Viện Toán học - Viện
Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Ngày 01 tháng 9 năm 2012
Có thể tìm hiểu tại
Thư Viện Đại Học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ
bản 6
1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 6

3.3.4. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong nghệ thuật . 77
3.3.5. Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài luận văn
Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170
–1250), còn được biết đến với tên Leonardo
của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên
Fibonacci, là một nhà toán học người Ý và
ông được một số người xem là “nhà toán
học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Fibonacci
nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công
lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện
đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách về
Toán đố năm 1202.
Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.
Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiều
tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Nói đến dãy Fibonacci không thể
không nói đến dãy Lucas, bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.
Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “một
phần là từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng
700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)”. Sau Fibonacci,
còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini
(1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857
- 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), và rất nhiều tính chất của dãy đã
được mang tên các nhà Khoa học này. Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt
về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều và còn tản

Chương 3 . Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các
ứng dụng.
Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toán
học, sự xuất hiện của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và một
số ứng dụng quan trọng của dãy Fibonacci.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
TS. Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội. Từ đáy lòng mình, em
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và
sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại Học Khoa
Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa
Học. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã động viên, giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang,
Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện Sơn
Dương- Tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để tham
gia học tập và hoàn thành khóa học.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn
thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi
những thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của
các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 08 tháng 9 năm 2012
Tác giả
Vũ Nhật Cương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Chương 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
số lúc này là 3 + 2 = 5 (cặp).
Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp mới
(bằng số lượng các cặp trong tháng (n −2)) cộng với số cặp trong tháng
(n −1). Đây là số Fibonacci thứ n.
Theo từng thế hệ, số lượng cặp thỏ là một dãy các con số sau này
được biết với tên số Fibonacci.
Tên gọi “dãy Fibonacci” lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 19 bởi
nhà toán học Édouard Lucas.
Định nghĩa 1.1.1. Dãy {F
n
} các con số Fibonacci được định nghĩa bởi
hệ thức truy hồi sau:
F
n
= F
n−1
+ F
n−2
, n ≥ 2, (1.1)
với các giá trị ban đầu
F
0
= 0, F
1
= 1.
Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

= F
n
− F
n−1
để mở rộng các số Fibonacci với chỉ số âm.
Ta có
F
−1
= F
1−2
= F
1
− F
0
= 1 − 0 = 1,
F
−2
= F
0−2
= F
0
− F
−1
= 0 − 1 = −1,
F
−3
= F
−1
− F
−2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Bằng phương pháp quy nạp, ta có
F
−n
= (−1)
n+1
F
n
.
Thật vậy, với n = 1 ta có
F
−1
= 1 = (−1)
1+1
F
1
.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.1), ta có
F
−(n+1)
= F
−(n−1)
− F
−n
= (−1)
n
F
n−1

F
n
. (1.3)
1.2.2. Số Lucas với chỉ số âm
Từ công thức truy hồi (1.2), ta có
L
n−2
= L
n
− L
n−1
để mở rộng các số Lucas với chỉ số âm.
Ta có
L
−1
= L
1−2
= L
1
− L
0
= 1 − 2 = −1,
L
−2
= L
0−2
= L
0
− L
−1

−7
= L
−5
− L
−6
= −11 − 18 = −29,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Bằng phương pháp quy nạp, ta có
L
−n
= (−1)
n
L
n
.
Thật vậy, với n = 1 ta có
L
−1
= −1 = (−1)
1
L
1
.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.2), ta có
L
−(n+1)
= L

.
Từ đó, suy ra
Bổ đề 1.2.2.
L
−n
= (−1)
n
L
n
. (1.4)
1.3. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas
1.3.1. Tỷ số vàng
Tỷ số vàng ϕ ( phi ) được định nghĩa
là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai
phần (a và b) sao cho tỷ số giữa cả hai
đoạn (a + b) với đoạn lớn hơn (a) bằng
tỷ số giữa đoạn lớn (a) và đoạn nhỏ (b).
ϕ =
a + b
a
=
a
b
.
Ta quy độ dài đoạn thẳng a + b về đơn vị 1 và gọi độ dài đoạn lớn
là x (x > 0), lập tỷ số ta được phương trình
1
x
=
x

n+2
:= a
n
+ a
n+1
, n > 0. (1.6)
Có được các số Fibonacci bằng cách thiết lập a
0
= 0, a
1
= 1 và các số
Lucas với a
0
= 2, a
1
= 1.
Từ công thức (1.6), ta có

a
n+1
a
n

=

1 1
1 0

a
n

χ
A
(λ) = λ
2
− λ − 1.
⇒ A có các giá trị riêng
λ
1
=
1 +
√
5
2
= ϕ, (1.7)
λ
2
=
1 −
√
5
2
= 1 − ϕ = −ϕ
−1
. (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Từ đó, ta có công thức
A =
1
√



ϕ
−1
a
0
+ a
1

ϕ
n
(ϕa
0
− a
1
)(−ϕ
−1
)
n

.
⇒ a
n
=
1
√
5

ϕ
−1


ϕ
n
− (−ϕ
−1
)
n

. (1.9)
Chú ý 1.3.1.
F
n
=

ϕ
n
√
5
+
1
2

.
F
n+1
= ϕF
n
+ (−ϕ
−1
)

Chú ý 1.3.2.
ϕ
−1
= ϕ − 1 =
√
5 −1
2
< 0, 62.
1.4. Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas
1.4.1. Các hệ thức về tổng hữu hạn
Tính chất 1.4.1.
n

i=0
F
i
= F
n+2
− 1. (1.11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
Chứng minh. Ta có
F
0
= F
2
− F
1
,
F

= F
n+2
− F
n+1
.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
F
0
+ F
1
+ F
2
+ F
3
+ + F
n
= F
n+2
− F
1
,
hay
n

i=0
F
i
= F
n+2
− 1.

,
L
3
= L
5
− L
4
,
,
L
n−1
= L
n+1
− L
n
,
L
n
= L
n+2
− L
n+1
.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
L
0
+ L
1
+ L
2

n

i=0
F
2i
= F
2n+1
− 1. (1.14)
Chứng minh. i) Ta có
F
1
= F
2
,
F
3
= F
4
− F
2
,
F
5
= F
6
− F
4
,
,
F

− 1. (1.15)
Lấy đẳng thức (1.15) trừ đi đẳng thức (1.13) vế với vế, ta được
n

i=0
F
2i
= F
2n+2
− 1 − F
2n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Theo (1.1), ta được
n

i=0
F
2i
= F
2n+1
− 1.
Hệ quả 1.4.1.
F
1
− F
2
+ F
3

L
1
= L
2
− L
0
,
L
3
= L
4
− L
2
,
L
5
= L
6
− L
4
,
,
L
2n−3
= L
2n−2
− L
2n−4
,
L


i=0
L
i
= L
2n+2
− 1. (1.19)
Lấy đẳng thức (1.19) trừ đi đẳng thức (1.17) vế với vế, ta được
n−1

i=0
L
2i
= L
2n+2
− 1 − (L
2n
− 2) ,
Theo (1.2), ta được
n

i=0
L
2i
= L
2n+1
+ 1.
Hệ quả 1.4.2.
L
0

1
+ F
2
+ F
3
+ + F
n−1
+ F
n
= F
n+2
− 1,
F
0
+ F
1
+ F
2
+ F
3
+ + F
n−1
= F
n+1
− 1,
,
F
0
+ F
1

+F
3
+ +F
n+2
−(n + 1),
hay
(n + 1)F
0
+nF
1
+(n −1)F
2
+ +2F
n−1
+F
n
= F
0
+F
1
+ +F
n+2
−(n + 2).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Theo (1.11) và (1.1), ta được
(n + 1)F
0
+ nF
1

+(n + 1)F
2
+ +(n + 1)F
n
= (n + 1)F
n+2
−(n + 1).
Từ đó, suy ra
n

i=0
iF
i
= (n + 1)F
n+2
− (n + 1) −(F
2n+2
+ F
n+3
− (n + 3)),
hay
n

i=0
iF
i
= nF
n+2
− F
n+3

+ L
1
+ L
2
+ L
3
+ + L
n−1
= L
n+1
− 1,
,
L
0
+ L
1
+ L
2
= L
4
− 1,
L
0
+ L
1
= L
3
− 1,
L
0

+ +2L
n−1
+L
n
= L
0
+L
1
+ +L
n+2
−(n + 4).
Theo (1.12) và (1.2), ta được
(n + 1)L
0
+ nL
1
+ (n −1)L
2
+ + 2L
n−1
+ L
n
= L
n+4
− (n + 5),
hay
(n + 1)L
0
+ nL
1

n+2
− (n + 1) −(L
n+2
+ L
n+3
− (n + 5)),
hay
n

i=0
iL
i
= nL
2n+2
− L
n+3
+ 4.
Tính chất 1.4.7.
n

i=0
F
2
i
= F
n
F
n+1
. (1.23)
Chứng minh. Từ (1.1), ta có

= F
1
F
2
,
F
2
2
= F
2
F
3
− F
1
F
2
,
F
2
3
= F
3
F
4
− F
2
F
3
,
,

F
2
i
= F
n
F
n+1
.
Tính chất 1.4.8.
n

i=0
L
2
i
= L
n
L
n+1
+ 2 (1.24)
Chứng minh. Từ (1.2), ta có
L
i
= L
i+1
− L
i−1
.
Suy ra
L

L
2
− L
0
L
1
,
L
2
2
= L
2
L
3
− L
1
L
2
,
L
2
3
= L
3
L
4
− L
2
L
3

L
2
i
= L
n
L
n+1
+ 2.
1.4.2. Các hệ thức khác
Bổ đề 1.4.1. ( Tính chất Cassini ) Với n > 1, ta có
F
n−1
F
n+1
− F
2
n
= (−1)
n
. (1.25)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp.
n = 2, ta có
F
1
F
3
− F
2

F
n+1
− F
2
n
− 2F
n
F
n−1
− F
2
n−1
= F
n
F
n+1
− 2F
n
F
n−1
− F
2
n−1
= F
n
(F
n
+ F
n−1
) −2F

n−1
F
n+1
= −(−1)
n
= (−1)
n+1
.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.4.2. Với n ≥ 1, ta có
L
2
n
− L
n−1
L
n+1
= 5 (−1)
n
. (1.26)
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp.
n = 1, ta có
L
2
1
− L
0
L
2
= 1

n
L
n+1
= −L
2
n
+ L
n+1
(L
n+1
− F
n
)
= −L
2
n
+ L
n+1
L
n−1
= −

L
2
n
− L
n−1
L
n+1


F
2
= F
n−1
+ F
n
.
m = 2, ta có
F
n+2
= F
n−1
F
2
+ F
n
F
3
= F
n−1
+ 2F
n
= F
n+1
+ F
n
.
Giả sử, đẳng thức đúng với m > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
m + 1. Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
F

m
+ F
m+1
)
= F
n−1
F
m+1
+ F
n
F
m+2
.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.4.4. ( Tính chất d’Ocagne )
F
m
F
n+1
− F
m+1
F
n
= (−1)
n
F
m−n
. (1.28)
Chứng minh. Theo (1.3) và (1.27), ta có
F

n
),
hay
F
m
F
n+1
− F
m+1
F
n
= (−1)
n
F
m−n
.
Định lý 1.4.1.
F
2n
= F
n
(F
n−1
+ F
n+1
) . (1.29)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
Chứng minh. Theo (1.27) với m = n, ta có
F

= 1 = 0 + 1 = F
0
2
+ F
1
2
.
n = 1, ta có
F
3
= 2 = 1 + 1 = F
1
2
+ F
2
2
.
n = 2, ta có
F
5
= 5 = 1 + 4 = F
2
2
+ F
3
2
.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1. Thật vậy, theo (1.1), (1.29) và giả thiết quy nạp, ta có
F

+ 2F
n
F
n+1
+ F
2
n+1
= F
2
n−1
+ F
2
n
+ 2F
n
(F
n−1
+ F
n+1
) + F
2
n
+ F
2
n+1
= F
2n−1
+ 2F
2n
+ F

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
23
k = 2: Theo (1.29) và (1.1), ta có
F
2
F
2
n+1
+ 2F
2−1
F
n+1
F
n
+ F
2−2
F
2
n
= F
2
F
2
n+1
+ 2F
1
F
n+1
F
n

.
Giả sử, đẳng thức đúng với k > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
k + 1. Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
F
2n+k+1
= F
2n+k−1
+ F
2n+k
= F
k−1
F
2
n+1
+ 2F
k−2
F
n+1
F
n
+ F
k−3
F
2
n
+ F
k
F
2
n+1

k−3
+ F
k−2
)
= F
k+1
F
2
n+1
+ 2F
k
F
n+1
F
n
+ F
k−1
F
2
n
.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Định lý 1.4.2. ( Tính chất Cassini ).
F
3n
= 2F
3
n
+ 3F
n

F
2
n
= F
n
(F
n
+ F
n−1
)
2
+ 2F
n−1
F
n
F
n+1
+ F
n−2
F
2
n
= F
3
n
+ 2F
2
n
F
n−1

n−1
+ F
n
F
2
n−1
+ 2F
n−1
F
n
F
n+1
+ F
n−2
F
2
n
= 2F
3
n
+ F
n−1
F
n
(F
n
+ F
n−1
) + 2F
n−1

F
2
n
− F
n−1
F
n+1
= (−1)
n−1
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn