BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN KHÁNH ĐĂNG

ĐỊNH LÝ FENCHEL - MOREAU TổNG QUÁT
VÀ ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CHO HÀM Lồi VECTƠ

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC
NGUYỄN KHÁNH ĐĂNG


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỊNH LÝ FENCHEL - MOREAU TổNG QUÁT
VÀ ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CHO HÀM Lồi VECTƠ

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TAN


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này
đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề
mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.



5

DANH MUC KÍ HIÊU • •
X GM

Phần tử X thuộc tập M

yịM0

Phần tử y không thuộc tập M Tập rông

M CN

M là một tập con của N

MUN

Hợp của hai tập hợp M và N

MnN
MXN

Giao của hai tập M và N
Tích Đề-các của hai tập M và N

Va:

Với mọi X


Bao đóng của tập D
Không gian các ma trận cấp n X m

(x,y)
coneA

Tích vô hướng của X , y trong không gian
Hilbert
Nón sinh bởi A

K*

Nón cực của nón K

dom (/)

Miền xác định của /

epi (/)

Trên đồ thị của /


6

Mục lục


7


9

• Tính khả dưới vi phân
Lý thuyết đối ngẫu và định lý Fenchel - Moreau cho trường hợp vô hướng sau đó trình bày các khái niệm liên quan đến
hàm lồi véctơ và các tính chất của nó, mở rộng định lý Fenchel - Moreau cho trường hợp tổng quát, đặc trưng cấp 2
cho hàm lồi véctơ và tìm ra một số ứng dụng trong quy hoạch tối ưu véctơ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu bài toán Fenchel - Moreau đặc trưng cấp 2 cho hàm lồi véctơ và tìm ra đối tượng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu định lý Fenchel - Moreau và biểu diễn cấp 2 qua việc khai thác các tính chất của hàm lồi véctơ và tìm ra
những ứng dụng trong tối ưu véctơ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kết quả trong giải tích lồi vô hướng và tìm cách mở rộng các kết quả
này cho trường hợp véctơ.
6. Đóng góp của đề tài
Biết tổng quan về quy hoạch lồi vô hướng và mở rộng một số kết quả từ vô hướng sang véctơ và tìm ra ứng dụng.
Cụ thể, bố cục của luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo:
Chương I: Hàm lồi vô hướng và ứng dụng
1.1 Định nghĩa tập lồi, các hàm lồi và tính chất
1.2Tính liên tục
1.3Tính lipschitz
1.4Hàm liên hợp
1.5Dưới vi phân
Chương II: Định lý Fenchel - Moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ


1
0



Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất

Cho X là không gian tô pô tuyến tính thực, X * = {/ : X —> K tuyến tính liên tục} là không gian đối ngẫu của X, M là
tập số thực, ký hiệu l = lu {±oo}.
Ta nhắc lại, tập lồi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. Tập A c X là tập lồi nếu Va, b e A , với mọi X e [0,1] ta có

X a + (1 — A)ồ e A .
Tập A c X với mọi Va. b e A đoạn thẳng nối a và b được xác định bởi

[a, ồ] = { x e A : X = Aa + (1 — A)ồ; 0 < A < 1} .
. Tiếp theo là các khái niệm khác liên quan tới tập lồi.

Định nghĩa 1.2. Cho A c X. Khi đó
i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A


ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng của A, ký hiệu là cõA.
Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:
1) A là tập lồi khi và chỉ khi A = coA;
2) co A là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
3) cõA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;
4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = cõA.
Mệnh đề 1.1. Giả sử A c X là một tập ỉồi, khi đó
i ) Phần trong intA và bao đóng A là các tập lồi;
ii)

Với X ị G int A, X 2 G A thì [ x i ,


Xo Ệ

A. Khi đó tồn tại f €

X*. f Ỷ 0 tách chặt A và
x0.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A c X ta có
i) cõA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A;
ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng nếu và chỉ nếu A đóng theo tô pô yếu.
Tiếp theo ta trình bày về hàm lồi:
Cho A c X là tập lồi / : A —> K.
Định nghĩa 1.4. Hàm / được gọi là hàm lồi nếu với mọi X, y € A; VA G [0,1] ta CÓ
f { \ x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - A) f { y ) .

(1.2)

Nếu (1.2) xảy ra thực sự Væ Ỷ y thì / thực sự là lồi trên A Định nghĩa 1.5. i) Trên đồ thị của hàm / được ký hiệu
e p i f = {(æ, a ) G A X K sao cho X G A : f ( x ) < a} ;

ii) Miền hữu hiệu của hàm / ký hiệu là domf
domf = {x G A : f ( x ) < +oo} ;


iii) Hàm / được gọi là hàm chính thường nếu
domf 7^ 0 và f ( x ) > —oo với Vĩ£l;
iv) Tập mức tại a G M của hàm / là tập
lev(f, a) = {x e A : f(x) < a} ;

v) Hàm / được gọi là lõm trên A nếu — / là hàm lồi trên A .


X

G X nếu / là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại X . Hàm / được gọi là

hàm liên tục nếu nó đồng thời vừa liên tục hên vừa liên tục dưới;
vii) Hàm / được gọi là liên tục trên X nếu / liên tục tại mọi X

G

X.

Mệnh đề 1.2. ([1]) Hàm Ị là đóng nếu và chỉ nếu
l e v ( f , a ) = { x : f ( x ) < a} ,
là tập đóng với a G K.
Mệnh đề 1.3. ([1]) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới
Định lý sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục.
Định lý 1.3. ([1], Định lý 1.3.5) Cho f là hàm lồi chính thường trên X . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) Ị bị chặn bên trong một lân cận của X Q G X ;
ii) Ị liên tục tại xữ;
iii) int(epif) Ỷ 0>'
iv) int(dom f ) ^ 0 v à f liên tục trên wí(dom /) đồng thời
int(epif) = {(£, a) G X

1.3

X

X : X G i n t ( d o m f ) , f ( x ) < a} .

Tính liên tục Lipschitz

Bất đẳng thức (1.5) gọi là bất đẳng thức Young - Fenchel.
Từ định nghĩa 1.8 suy ra
r(x) = (rnx) = sup{(x*,x)-r(x*)}.
X*

Mệnh đề 1.4. Với hàm bất kỳ ta có Ị** < Ị .
Định lý 1.5. ([1]) Giả sử Ị là hàm lồi chính thường đóng trên X khi đó /* là hàm lồi chính thường.
Định lý 1.6. ([1]) Giả sử X, Y là các không gian lồi địa phương, A : X —> Y là phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm xác
định trên Y.
Đặt


f { x ) = X g { A x + y0) + {x*0, x) + 7o- Trong đó yo G Y, X*Q G X*, 7o G R, A >
0. Khi đó,
f * { x * ) = X g ( X ~ 1 A ~ v ( x * - x*0)) - (x* - x*0,A~1y0) > -70.
Hệ quả 1.4. i) f ( x ) = g { x +

XQ)

=> f * ( x * ) = g * ( x *) - { x \

XQ)

; i i ) f ( x ) = g ( x ) + {x*0,x) =>

= g*(x* -

x*0)]
Ui) f { x ) = X g ( x ) , A > 0
iv)

nXa,d) = ^J{Xữ+Xắ)-ỉ{Xữ)

A

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±oo).
Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập lồi không rỗng của X và X fl G D . Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của
D tại X o nếu tồn tại một số A > 0 sao cho X o + X d G D .
Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại X Q được ký hiệu là
T { D , X o).
Nhận xét 1.3. Nếu / là hàm lồi chính thường trên X thì

i) f ' ( x 0, •) là hàm thuần nhất dương hên X tức là với mọi A > 0 thì
f { x 0 , Ad ) = Af ( x 0 , d ) .

ii) Với mọi X G domf thì f ' ( x 0 . •) là dưới tuyến tính.
Mệnh đề 1.5. ([1], Mệnh đề 1.5.1) Cho hàm Ị : X —> K là hàm lồi chính thường trên X khi có đạo hàm theo phương tại
mọi điểm X o G domf đồng thời
f'(Xo,d) = ịaịf{xa
A> 0

A

+ XỂ

}-fM.


Định nghĩa 1.11. i) Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu \ / x G
K , VA > 0, Aæ G K .
ii) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại X o nếu K —


+ AC¿2) +

("E + Adi).


Cho nên
f ( x + Ađ ) < -------f ( x + Ad 2 ) + Y ~ —i x + Adi);


=> f ' { x , d ' ) < — ^ — f ' { x , d 2 ) + - i - f M ) . I + £
£

I+

(1.6
)

Do X + d 2 G d o m f nên f ' ( x , d 2) < +00. Vì vậy từ (1.6) ta suy ra f ' ( x , d ' ) = —00. Điều này mâu thuẫn với điều kiện

\ f ( x , d ' ) \ < +00. Do đó f ' ( x , •) là hàm chính thường.
Nếu d i G ư — X thì / bị chặn trên với hằng số c trong một lân cận đủ nhỏ V của X + d \ . Khi đó
f{x, d) < f(x + d) - f(x) < c - f(x), VdeV - X]
=> f ' ( x , •) hữu hạn và bị chặn trên tập V — x ;
=> f ' { % , ■ ) liên tục tại d i (theo Định lí 1.4).
Khẳng định i) được chứng minh.

ii) Do tính lồi nên nếu / liên tục tại 0 thì / liên tục trong một lân cận của 0. Áp dụng Mệnh đề 1.6 ta nhận được khẳng
định ii).


ii) ỈM + f * { x * ) = ( x * , x 0 ) ;
iii) f ' ( x 0 , d ) > ( x * , d ) , Vd G X .
Định lý 1.9. ([1], Định lý 1.5.7)
i) Cho f i , /2 là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó
ỡ/i(x) + df29x) c ỡ/(/i + /2)(x), Va: G X.
ii) Nếu tại x0 G domf 1 n dom/2 mộí trong hai hàm là liên tục thì
d f i ( x ) + d f 2 { x ) = d f ( f i + /2)(x), Va: G X.
Mệnh đề 1.10. Cho Ị là một hàm lồi từ tập con lồi không rỗng D ç X vào K và X G D, £ G L ( x , K) k h i đ ó


£ G d f ( x ) & £(d) < f ' { x , d ) , w G T ( D , x ) .
Chứng minh. Do / khả vi dưới vi phân tại X nên ta có
d o m f ( x , •) = T ( D , x ) .
Theo định nghĩa của dưới vi phân ta có
f(x +

Ad )

— f(x)
o,

X

+ \d G D.

0 , V £ G C"\{0}.
3. Giả sử c là một nón đóng, lồi và nhọn. Khi đó với mọi lân cận w của gốc tọa độ trong M”\ tồn tại một lân