ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------*-------

HOÀNG VĂN ĐÔNG

VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------*-------

HOÀNG VĂN ĐÔNG

VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên - 2015




Tr-ờng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Vành bậc hai và vành các số nguyên đại số . . . . . . . . .

21

3 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp

31

3.1

Sử dụng tr-ờng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2

Sử dụng chuẩn trong vành bậc hai . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3

Sử dụng phân tích duy nhất trong vành bậc hai . . . . . . .

Ch-ơng 1
Kiến thức cơ bản về mở rộng vành và
tr-ờng
1.1 Kiến thức cơ bản
Để bắt đầu chúng ta sẽ nhắc lại các định nghĩa cơ bản sau.
1.1.1 Định nghĩa. Một vành là một tập V cùng với 2 phép toán + (phép
cộng) và . (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Phép cộng kết hợp: x, y, z V ta có (x + y) + z = x + (y + z).
(ii) Có phần tử không: 0 V sao cho x V ta có 0 + x = x + 0 = x.
(iii) Có phần tử đối: x V, x V sao cho x + (x) = (x) + x = 0.
(iv) Phép cộng giao hoán: x, y V ta có x + y = y + x.
(v) Phép nhân kết hợp: x, y, z V ta có (xy)z = x(yz).
(vi) Có phần tử đơn vị: 1 V sao cho 1.x = x.1 = x, x V .
(vii) Tính phân phối: x, y, z V sao cho x(y + z) = xy + xz.
Vnh V gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán, tức là
ab = ba với mọi a, b V. Cho V là một vành. Một tập con A của V đ-ợc
gọi là một vành con của V nếu 2 phép toán trong vành V là đóng trong A
(tức là a + b, ab A với mọi a, b A) và A cùng với hai phép toán cảm
sinh là một vành.
1.1.2 Ví dụ. (i) Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và phép nhân thông
5


6

th-ờng là vành giao hoán, gọi là vành các số nguyên. T-ơng tự ta có vành
các số hữu tỷ Q, vành các số thực R, vành các số phức C.
(ii) Tập Zn = {
x | x Z} các số nguyên modulo n là một vành với phép
cộng và phép nhân nh- sau: x

(ii) I chứa phần tử không: 0 I.
(iii) Có phần tử đối: x I với mọi x I.
(iv) ax, xa I với mọi a I, x V .
1.1.4 Ví dụ. (i) 0 = {0} là iđêan bé nhất và V là iđêan lớn nhất của V .
(ii) I là iđêan của vành Z khi và chỉ khi I có dạng nZ với n N.
Cho V là một vành. Phần tử a V đ-ợc gọi là phần tử khả nghịch nếu
tồn tại b V sao cho ab = 1. Chú ý rằng nếu I là iđêan của V thì các phát
biểu sau là t-ơng đ-ơng:
(i) I = V ;
(ii) I chứa một phần tử khả nghịch;
(iii) I chứa phần tử đơn vị.


7

1.1.5 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành V . Với x V, đặt x + I =
{x + a | a I}. Ta gọi x + I là lớp ghép trái của I ứng với x. Chú ý
rằng x + I = y + I khi và chỉ khi x y I. Đặt V /I = {x + I | x V }
là tập các lớp ghép trái của I. Khi đó V /I là một vành với phép cộng
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I và phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I.
Vành V /I đ-ợc gọi là vành th-ơng của V ứng với I.
Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ của vành Z theo iđêan mZ chính là vành
Zm các số nguyên modulo m.
1.1.6 Định nghĩa. Một ánh xạ f từ vành V vào vành V đ-ợc gọi là một
đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán, nghĩa là
f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xy) = f (x)f (y)
với mọi x, y V . Một đồng cấu từ vành V vào V đ-ợc gọi là một tự đồng
cấu của V . Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) đ-ợc
gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu). Nếu f là một tự đồng cấu và là song
ánh thì ta nói f là một tự đẳng cấu.

rộng của tr-ờng F . Mở rộng tr-ờng F K đ-ợc kí hiệu là K/F .
(ii) Cho A là một vành và V là một vành chứa A. Khi đó A V đ-ợc gọi
là một mở rộng vành và ta nói V là một mở rộng của vành A. Mở rộng
vành A V đ-ợc kí hiệu là V /A.
Chú ý rằng nếu A là vành con của vành V và A = V thì A không bao
giờ là iđêan của V . Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn giữa kí hiệu của
mở rộng vành V /A với kí hiệu cho một vành th-ơng nào đó của V .
1.2.2 Ví dụ. (i) Q C, Q R, R C là các mở rộng tr-ờng.
(ii) Z Q, Z R, R C là các mở rộng vành.


9

(iii) Cho F là tr-ờng và F [x] là vành đa thức. Đặt
F (x) = {f (x)/g(x) | f (x), g(x) F [x], g(x) = 0},
trong đó f (x)/g(x) = h(x)/k(x) chỉ nếu f (x)k(x) = g(x)h(x). Khi đó
F (x) là một tr-ờng, gọi là tr-ờng các phân thức hữu tỷ một biến x với hệ
số trong F . Anh xạ j : F F (x) cho bởi j(a) = a là một đơn cấu. Vì
thế ta có thể đồng nhất mỗi phần tử a F với phân thức hằng a/1 F (x).
Khi đó ta có F F (x) là một mở rộng tr-ờng.
1.2.3 Định nghĩa. (i) Cho K/F là một mở rộng tr-ờng. Khi đó K có cấu
trúc không gian vectơ trên tr-ờng F với phép cộng trong K và phép nhân
vô h-ớng suy ra từ phép nhân của K. Một cơ sở của F -không gian véctơ
K đ-ợc gọi là cơ sở của mở rộng tr-ờng K/F .
(ii) Bậc của mở rộng tr-ờng K/F là chiều của F -không gian véctơ K, kí
hiệu là [K : F ]. Nếu [K : F ] hữu hạn thì ta gọi K/F là mở rộng hữu hạn.
1.2.4 Ví dụ. (i) Xét mở rộng tr-ờng C/R. Ta biết rằng mọi phần tử của C
đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng a + bi với a, b R. Do đó {1, i} là một cơ
sở của C/R. Suy ra [C : R] = 2.
(ii) Đặt Q[i] = {a + bi | a, b Q}. Khi đó Q[i] là một tr-ờng chứa Q. Vì

j=1
n

S1 là cơ sở của mở rộng K2 /K1 nên ta có biểu diễn aj =

bji ei , trong đó
i=1

bji K1 . Thay vào biểu diễn u =

aj fj ta đ-ợc u =

cij ei fj , trong đó

cij K1. Do đó S3 là hệ sinh của K1 -không gian vectơ K3.
Ta chứng minh S3 độc lập tuyến tính. Xét một ràng buộc tuyến tính của
S3 cho bởi

aij ei fj = 0 với aij K1 . Khi đó ta viết

j

i aij ei

fj = 0

và xét nó nh- một ràng buộc tuyến tính của S2 . Do S2 độc lập tuyến tính
nên

aij ei = 0 với mọi j. Mặt khác do S1 độc lập tuyến tính nên aij = 0

(iii) Để tính bậc của mở rộng tr-ờng tr-ờng Q(i, 2)/Q chúng ta làm nhsau. Theo (i) ta có {1, i} là cơ sở của mở rộng tr-ờng Q(i)/Q. Do đó [Q(i) :


Q] = 2. Theo (ii), {1, 2} là cơ sở của mở rộng tr-ờng Q(i, 2)/Q(i). Do

đó [Q(i, 2) : Q(i)] = 2. Suy ra


[Q(i, 2) : Q] = [Q(i, 2) : Q(i)][Q(i) : Q] = 2.2 = 4.
1.2.7 Định nghĩa. Cho V /V là một mở rộng vành. Giả sử S là một hệ
con của V thỏa mãn tính chất: Mỗi phần tử u V đều đ-ợc biểu diễn
một cách duy nhất d-ới dạng u = a1s1 + . . . + ansn , trong đó n N,
a1, . . . , an V và s1 , . . . , sn S. Trong tr-ờng hợp này ta viết V = V s
sS

và ta gọi S là một cơ sở của mở rộng vành V /V . Chú ý rằng nếu mở rộng
V /V có một cơ sở thì mọi cơ sở của nó đều có cùng lực l-ợng. Trong
tr-ờng hợp này, lực l-ợng của một cơ sở của mở rộng V /V đ-ợc gọi là
bậc của mở rộng V /V và đ-ợc kí hiệu là [V : V ]. Đặc biệt, ta nói bậc của
của mở rộng vành V /V là n nếu tồn tại hệ {e1 , . . . , en } các phần tử của
V sao cho mỗi phần tử u V đều đ-ợc viết một cách duy nhất d-ới dạng
u = a1 e1 + a2e2 + . . . . + an en , trong đó a1 , . . . , an V.
Trong tr-ờng hợp này, hệ {e1 , . . . , en } là một cơ sở của mở rộng vành V /V
và ta viết
S = V e1 V e2 . . . V en .


12

1.2.8 Ví dụ. (i) Vành Z[i] = {a + bi | a, b Z} là một mở rộng bậc 2 của

sở S nên ta có p2 q1 = 0. Suy ra p2 = 0 và do đó s2 = 0, điều này không
thể xảy ra (do 0
/ S theo chứng minh trên). Do đó S gồm đúng một phần
tử. Giả sử S = {s} với s = p/q là phân số tối giản, p, q Z, p, q = 0. Vì
1
1
Q nên nó biểu diễn đ-ợc qua S. Suy ra
= n(p/q) với n Z. Vì
2q
2q
thế q = 2qnp. Suy ra 1 = 2np, điều này vô lí.


Ch-ơng 2
Vành và tr-ờng bậc hai
Mục tiêu của ch-ơng này là nghiên cứu các tr-ờng bậc hai và các vành bậc
hai. Ta hiểu các tr-ờng bậc hai (các vành bậc hai) t-ơng ứng là các tr-ờng
con của C chứa Q (vành con của C chứa Z) sao cho nó là mở rộng tr-ờng
bậc hai của Q (mở rộng vành bậc hai của Z).

2.1 Tr-ờng bậc hai
Tr-ớc khi định nghĩa khái niệm tr-ờng bậc hai, chú ý rằng Q là tr-ờng
con bé nhất của C. Vì thế mỗi tr-ờng con của C đều chứa Q. Thật vậy,
giả sử K là một tr-ờng con của C. Khi đó 1 K và 0 K. Suy ra
n = 1 + 1 + . . . + 1 K với mọi số nguyên d-ơng n > 0. Vì thế phần tử
m
đối n của n cũng thuộc K với mọi số nguyên d-ơng n. Suy ra
K
n
với mọi m, n Z, n = 0. Do đó Q K.

nguyên m không có -ớc chính ph-ơng (tức là m không chia hết cho a2 với
mọi số nguyên a > 1) ta kí hiệu


Q[ m] = {a + b m | a, b Q},
trong đó nếu m < 0 thì ta hiểu





m là số phức i m. Rõ ràng Q[ m] là

một tr-ờng con của C chứa Q.
2.1.3 Định lý. Một tr-ờng con K của C là tr-ờng bậc hai khi và chỉ khi
tồn tại số nguyên m = 0, m = 1 và m không có -ớc chính ph-ơng sao cho

K = Q[ m].
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Định lý theo 2 chiều.
(): Giả sử tồn tại một số nguyên m không có -ớc chính ph-ơng sao cho
m = 0, m = 1 và


K = Q[ m] = {a + b m | a, b Q}.

Vì m = 0, m = 1 và m không có -ớc chính ph-ơng nên m
/ Q. Vì


thế [Q[ m] : Q] > 1. Rõ ràng {1, m} là một hệ sinh của Q-không gian


2

d2
+ e
4

= 0.


d
d2 4e
Đặt = + . Dễ thấy Q[] = Q[] = K và =
. Viết
2
2
p
d2 4e = , với p và q là các số nguyên nguyên tố cùng nhau, ta nhận
q


pq
p
2
đ-ợc d 4e =
=
. Đặt pq = m . Khi đó
q
q


chúng là phân biệt.
2.1.4 Mệnh đề. Nếu m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc

chính ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1 thì các tr-ờng bậc hai Q[ m] và

Q[ n] không đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Cho m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính


ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1. Giả sử Q[ m]
= Q[ n], tức là tồn tại


một đẳng cấu: : Q[ m] Q[ n]. Vì là đồng cấu nên (1) = 1. Do
đó (n) = (1 + . . . + 1) = (1) + . . . + (1) = 1 + . . . + 1 = n với mọi
n N. Vì là đống cấu nên nó biến phần tử đối thành phần tử đối, vì thế
(n) = (n) = n với mọi n N. Với r = p/q Q với p, q Z
và q > 0, ta có 1 = (1) = (1/q) + . . . + (1/q) = q(1/q). Vì thế
(1/q) = 1/q. Nếu p > 0 thì
(r) = (p/q) = (1/q) + . . . + (1/q) = p(1/q) = p/q = r.
Nếu p < 0 thì (r) = (p/q) = (p/q) = r. Do đó (r) = r với mọi




r Q. Vì ( m) Q[ n] nên tồn tại a, b Q sao cho ( m) = a+b n.
Vì m, n = 0, m, n = 1 và m, n không có -ớc chính ph-ơng nên ta có


m, n

(iii) Các số đại số (số nguyên đại số) là các số đại số của C (các số nguyên
đại số của C).
2.1.6 Ví dụ. (i) Số i Q[i] là số đại số của Q[i] và cũng là số nguyên đại
số của Q[i] vì i là nghiệm của đa thức f (x) = x2 + 1 Q[x].



(ii) Số 2 là số đại số của Q[ 2] và cũng là số nguyên đại số của Q[ 2]

vì 2 là nghiệm của g(x) = x2 2 Q[x].





(iii) Xét số thực u = 5 + 4 5 R. Ta có 4 5 = u 5. Do đó 5 =


u2 2u 5+5. Suy ra 5(1+2u) = u2 +5. Vì thế u4 10u2 20u+20 = 0.
Vậy u là nghiệm của f (x) = x4 10x2 20x + 20 Q[x]. Do đó u là số
đại số và cũng là số nguyên đại số của R.
Kết quả sau đây đặc tr-ng số đại số và số nguyên đại số trong Q. Tr-ớc
hết ta cần bổ đề sau.
2.1.7 Bổ đề. Giải sử f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 là một đa thức có hệ số
nguyên bậc n 1 và phân số tối giản p/q là nghiệm hữu tỷ của f (x). Khi
đó p là -ớc của a0 và q là -ớc của an .
Chứng minh. Vì p/q là nghiệm của f (x) nên
f (p/q) = anpn /q n + an1 pn1 /q n1 + . . . + a1p/q + a0 = 0.



a+b m
.
và chỉ khi tồn tại a, b Z sao cho a b (mod 2) và u =
2


Chứng minh. (i) Cho = a + b m Q[ m]. Khi đó là nghiệm của

ph-ơng trình x2 2ax + a2 b2 m Q[x]. Suy ra là số đại số.


19



Tr-ớc khi chứng minh (ii), (iii), ta giả sử = a + b m Q[ m] l một số
nguyên đại số. Khi đó là nghiệm của đa thức f (x) = x2 2ax+a2 b2 m.
Để f (x) Z[x] thì 2a Z và a2 b2 m Z. Suy ra 4a2 4b2 m =
(2a)2 (2b)2 m Z. Do 2a Z nên ta suy ra (2b)2 m Z. Do m không có
-ớc chính ph-ơng nên m không thể giản -ớc với bất kỳ -ớc nào của mẫu
số của (2b)2. Suy ra 2b Z. Vì thế (2a)2 (2b)2m 0 (mod 4). Bây giờ
ta chứng minh (ii) và (iii).
(ii) Nếu m 2, 3(mod 4) thì từ (2a)2 (2b)2 m 0(mod 4) ta phải
có (2a)2, (2b)2 0(mod 4) hay 2a, 2b là số chẵn, tức là a, b Z. Vậy

= a + b m với a, b Z.
(iii) Nếu m 1(mod 4) thì từ (2a)2 (2b)2 m 0(mod 4) ta phải có
2
(2a)2, (2b)2 1(mod 4) hoặc (2a)
, (2b)2 0(mod 4), tức là 2a, 2b cùng

m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = a2 + 2ab m + b2m,
hay



m a2 b2 m
Q, điều này là vô lí (chú ý rằng m = 0, m =
m=
2ab


20

1 và m không có -ớc chính ph-ơng nên


( m) = b m. Do đó



m
/ Q). Do đó a = 0. Suy ra





m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = (b m)2 = b2 m.
Suy ra m(b2 1) = 0. Do m = 0 nên b = 1 hoặc b = 1. Nếu b = 1


Do đó
N () = (ac + bdm)2 m(ad + bc)2 = (a2 mb2 )(c2 md2 ) = N ()N ().
T r( + ) = 2(a + c) = 2a + 2c = T r() + T r().


21

2.2 Vành bậc hai và vành các số nguyên đại số
Trong tiết này, tr-ớc hết chúng ta nghiên cứu khái niệm và một số tính
chất đơn giản của vành bậc hai. Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng tập các
số nguyên đại số của một tr-ờng bậc hai là một vành bậc hai. Hơn nữa,
mỗi phần tử của tr-ờng bậc hai đều biểu diễn đ-ợc thành th-ơng của hai
số nguyên đại số. Sau đó chúng ta mô tả cấu trúc của các iđêan, xác định
các phần tử khả nghịch và nghiên cứu sự phân tích thành nhân tử bất khả
quy trong vành các số nguyên đại số.
Cho V là vành con của C. Khi đó V chứa Z. Thật vậy, do V là vành
nên 0 V và 1 V. Suy ra n = 1 + . . . + 1 V với mọi n N. Do đó
phần tử đối n của n cũng thuộc V với mọi n N. Suy ra Z V.
2.2.1 Định nghĩa. Cho V là vành con của C. Khi đó V chứa Z. Nếu mở
rộng V /Z có một cơ sở gồm 2 phần tử thì V đ-ợc gọi là một vành bậc hai.
Trong suốt tiết này, luôn giả thiết m là một số nguyên, m = 0, m = 1
và m không có -ớc chính ph-ơng. Đặt


Z[ m] = {a + b m | a, b Z}.


Khi đó Z[ m] là một vành bậc hai. Một cơ sở của mở rộng Z[ m]/Z là

{1, m}.



m, n
/ Q. Nếu b = 0 thì ( m) = a = (a). Do là đơn cấu nên

m = a Z, vô lí. Do đó b = 0. Nh- vậy,




m = (m) = (( m)2 ) = (( m))2 = (a + b n)2 = a2 + 2ab n + b2 n.
m a2 b2 n
Q, điều này là vô lí. Vì vậy a = 0,
Nếu a = 0 thì n =
2ab
do đó m = b2 n. Suy ra b = m/n. Do m = n nên m/n = 1. Do m, n


không có -ớc chính ph-ơng nên khi biểu diễn m/n thành phân số tối giản
thì cả tử và mẫu đều không chứa -ớc chính ph-ơng. Suy ra m/n
/ Z.


Điều này cũng vô lí. Vì vậy Z[ m] không đẳng cấu với Z[ n].

2.2.3 Mệnh đề. Cho V = Z[ m] là vành bậc hai. Khi đó tồn tại đúng 2 tự
đẳng cấu của V , tự đẳng cấu thứ nhất là tự đẳng cấu đồng nhất idV , còn


tự đẳng cấu thứ 2 biến m thành m và giữ nguyên các phần tử của Z.



( m) = b m. Do đó






m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = (b m)2 = b2 m.
Suy ra m(b2 1) = 0. Do m = 0 nên b = 1 hoặc b = 1. Nếu b = 1




thì (c + d m) = c + d m với mọi c + d m Z[ m] và vì thế là


đẳng cấu đồng nhất. Nếu b = 1 thì (c + d m) = c d m với mọi


c + d m Z[ m].
Tiếp theo chúng ta nghiên cứu các số nguyên đại số trong tr-ờng bậc
hai.

2.2.4 Mệnh đề. Cho K = Q[ m] là tr-ờng bậc hai. Khi đó tập S các số
nguyên đại số của K là một vành con của K.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.9 thì



S
2