ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC
================

Nguyễn Tuyết Nga LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5
1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10
2 Một số ứng dụng vào số học 15
2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19
2.3

Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20
3


thân đ luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt qúa trình nghiên cứu.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3
Lời nói đầu
Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của Đại số hiện đại. Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong
nhiều hớng khác nhau của toán học, vật lí... Đặc biệt, một số kĩ thuật
trong lí thuyết nhóm đ đợc sử dụng để mang lại những kết quả đẹp
của toán sơ cấp. Chẳng hạn, tính giải đợc của các đa thức đ đợc giải
quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của lí
thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trờng và đa thức.
Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyết
nhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học và Tổ hợp. Công cụ chủ yếu
của lí thuyết nhóm đợc vận dụng ở đây là Định lý Lagrange Cấp và
chỉ số của một nhóm con của một nhóm hữu hạn là ớc của cấp của toàn
nhóm và Định lý Burnside Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữu
hạn X thì số quỹ đạo của tác động là
1
(G : e)

gG
f(g), trong đó f(g) là
số phần tử của X cố định qua tác động của g.
Luận văn đợc trình bày trong 3 chơng. Chơng 1 là những kiến
thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 chơng sau, bao
gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm
đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ
của Chơng I đợc tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết
nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum].
Chơng 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết

G
sao cho xx
1
= x
1
x = e.
Một nhóm G đợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu phép
toán là giao hoán. Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G đợc
gọi là cấp của G. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn.
Một số ví dụ về nhóm.
5
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6
- Tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỷ, tập R các số thực, tập C
các số phức với phép cộng thông thờng đều là nhóm giao hoán cấp vô
hạn.
- Tập S(X) các song ánh từ một tập X đến chính nó với phép hợp
thành các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng của X. Nếu X có
n phần tử thì S(X) có cấp n! và nhóm này không giao hoán khi n 3.
- Với mỗi số tự nhiên m 1, tập Z
m
các lớp thặng d theo môđun m
với phép cộng các lớp thặng d là một nhóm giao hoán cấp m. Tập Z

m
các lớp thặng d theo môđun m nguyên tố cùng nhau với m với phép
nhân các lớp thặng d là một nhóm giao hoán cấp (m), trong đó là
hàm Euler.
Một số tính chất cơ sở: Cho G là một nhóm với đơn vị e. Khi đó
- Phần tử đơn vị của G là duy nhất.

< A >= {a
1
a
2
. . . a
n
| n N, a
1
, . . . , a
n
A A
1
},
trong đó A
1
= {x
1
| x A}.
1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm
1.2.1. Định nghĩa. Cho H là một nhóm con của một nhóm G. Ta định
nghĩa quan hệ trên G nh sau: a b nếu và chỉ nếu ab
1
H với
mọi a, b G. Dễ kiểm tra đợc là một quan hệ tơng đơng tren G.
Với mỗi a G, gọi a là lớp tơng đơng của a. Ta có
a = {ha | h H} = Ha.
Mỗi lớp tơng đơng Ha đợc gọi là một lớp ghép trái của H trong G.
Tập thơng của G theo quan hệ tơng đơng đợc kí hiệu bởi G/H.
Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kí
hiệu là (G : H), là số các lớp ghép trái của H.

Một số tính chất:
- Hợp thành của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm.
- Nếu f : G H là đồng cấu nhóm thì f(x
1
) = (f(x))
1
và
f(e) = e với mọi x G.
- Nếu f : G H là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của G và B là
nhóm con của H thì f(A) là nhóm con của H và f
1
(B) là nhóm con
của G. Hơn nữa, nếu B là nhóm con chuẩn tắc thì f
1
(B) là nhóm con
chuẩn tắc.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9
1.2.5. Định nghĩa. Giả sử f : G H là đồng cấu nhóm. Khi đó tập
Ker f = {x G | f(x) = e}
là một nhóm con chuẩn tắc của G và đợc gọi là hạt nhân của f. Tập
Im f = f(G) là một nhóm con của H và đợc gọi là ảnh của f.
1.2.6. Định lý. (Định lí đồng cấu nhóm). Cho f : G H là đồng
cấu nhóm. Khi đó G/ Ker f

=
Im f.
1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp
1.3.1. Định nghĩa. Cho S là một tập hợp và G là một nhóm với e là đơn
vị của G. Một tác động trái của G lên S là một ánh xạ G ì S S

nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A. Kí hiệu
S là tập các nhóm con của G liên hợp với A. Khi đó G tác động lên S
bằng cách liên hợp nh sau: với mỗi x G, B S, đặt x B = xBx
1
.
1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside
1.4.1. Bổ đề. Cho G là nhóm và S là một Gtập. Với s S, đặt
G
s
= {a G | as = s}.
Khi đó G
s
là nhóm con của G.
Chứng minh. Cho s S. Vì es = s nên e G
s
. Cho x, y G
s
. Khi đó
xs = s và ys = s. Vì thế (xy)s = x(ys) = xs = s. Suy ra xy G
s
.
Cuối cùng, cho x G
s
. Khi đó xs = s. Vì thế
s = es = (x
1
x)s = x
1
(xs) = x
1

với mọi x, a G. Với a G, quỹ đạo của a là
Ga = {x a | x G} = {xax
1
| x G}.
Nhóm con đẳng hớng ứng với a là
G
a
= {x G | xax
1
= a} = {x G | xa = ax}.
- Kí hiệu S là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác động của
nhóm G lên S bằng phép liên hợp: x H = xHx
1
với mọi x G và
mọi H S. Với H S, quỹ đạo của H là {xHx
1
| x G} - tập các
nhóm con liên hợp với H; nhóm con đẳng hớng của H là
G
H
= {x G | xH = Hx}.
1.4.3. Mệnh đề. Cho G là nhóm và S là Gtập. Khi đó
(i) Gs = với mọi s S.
(ii) S =

sS
Gs.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12
(iii) Gs = Gr hoặc Gs Gr = với mọi s, r S.

1
, . . . , Gs
t
là
các quỹ đạo đôi một rời nhau trong S thì
Card(S) = Card

t

i=1
Gs
i

=
t

i=1
(G : G
s
i
), ()
trong đó Card(S) là số phần tử của S và (G : G
s
i
), i = 1, . . . , t, là chỉ
số của nhóm con đẳng hớng G
s
i
.
Chứng minh. Giả sử xG

mọi s S. Do f là song ánh nên (G : G
s
) = Card(Gs) với mọi s S.
Vì thế công thức (*) đợc chứng minh.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
13
1.4.5. Định lý. (Định lí Burnside). Giả sử một nhóm hữu hạn G tác
động lên một tập hữu hạn X. Với mỗi g G, kí hiệu f(g) là số phần
tử của X cố định qua tác động của g, tức là số phần tử của tập hợp
{x X : gx = x}. Khi đó số quỹ đạo của tác động là
1
(G : e)

gG
f(g).
Ngời ta gọi
1
(G : e)

gG
f(g) là số điểm cố định trung bình qua tác
động của các phần tử của G. Theo định lí trên, số quỹ đạo của tác động
chính là số điểm cố định trung bình.
Chứng minh. Chúng ta dùng một kĩ thuật chuẩn tắc của tổ hợp gọi là kĩ
thuật tính toán theo 2 cách để chứng minh. Gọi T là tập các cặp sắp
thứ tự (g, x) sao cho g G, x X và gx = x. Với mỗi x X, số các
phần tử g G sao cho (g, x) T chính là cấp của nhóm con đẳng hớng
G
x
của x. Vì thế ta có

1
, . . . , Gx
t
là các quỹ đạo. Vì các quỹ đạo
là đôi một rời nhau và X là hợp của các quỹ đạo nên ta có

xX
(G
x
: e)
(G : e)
=

xGx
1
(G
x
: e)
(G : e)
+ . . . +

xGx
t
(G
x
: e)
(G : e)
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
14

: e)
(G : e)
= t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chơng 2
Một số ứng dụng vào số học
2.1 Một số ứng dụng đơn giản
Nhận xét mở đầu. Giả sử p là số nguyên tố. Khi đó Z

p
= {1, . . . , p 1}
là một nhóm với phép nhân các lớp thặng d theo môđun p. Vì nghịch
đảo của hai phần tử khác nhau trong Z

p
là khác nhau nên ta luôn có
{1
1
, 2
1
, . . . , (p 1)
1
} = {1, 2, . . . , p 1}.
Bây giờ ta áp dụng nhận xét này để chứng minh một số bài toán về
số học liên quan đến số nguyên tố, đợc thể hiện qua các mệnh đề sau.
2.1.1. Mệnh đề. Cho p > 2 là một số nguyên tố. Viết biểu thức
1
1
+
1

2
.
15
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn