TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********

LÔ THỊ NGÂN

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN THỊ BÌNH

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo trong tổ Đại số khoa Toán đã tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS. Nguyễn Thị Bình
đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn
chế về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh
được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
để bài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện



MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP .................................. 2
1.1. Tập hợp ....................................................................................... 2
1.1.1. Tập hợp con .......................................................................... 2
1.1.2. Tập hợp sắp thứ tự. ............................................................... 2
1.1.3. Số phần tử của một số tập hợp .............................................. 2
1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân ...................................................... 3
1.2.1. Quy tắc cộng. ........................................................................ 3
1.2.2. Quy tắc nhân ......................................................................... 3
1.3. Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp ..................................................... 5
1.3.1. Hoán vị ................................................................................. 5
1.3.2. Chỉnh hợp ............................................................................. 5
1.3.3. Tổ hợp .................................................................................. 5
1.4. Nhị thức Newton ........................................................................ 6
1.4.1. Nhị thức Newton .................................................................. 6
1.4.2. Tam giác Pascal .................................................................... 6
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP .................................... 7
2.1. Rút gọn biểu thức tổ hợp. ............................................................ 7
2.2. Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức tổ hợp .............................. 9
2.3. Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp. .............................. 14
2.3.1. Giải phương trình ............................................................... 14
2.3.2. Giải bất phương trình .......................................................... 18
2.3.3. Giải hệ phương trình ........................................................... 20
2.4. Các bài toán liên quan đến nhị thức ........................................... 24
2.4.1. Tính tổng tổ hợp ................................................................. 24
2.4.2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp...................... 28


3. Đối tượng nghiên cứu
Một số dạng toán tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng kết và phân dạng các bài tập tổ hợp.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận này gồm có: Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp
Chương 2: Một số dạng toán tổ hợp

1


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP
1.1. Tập hợp
1.1.1. Tập hợp con
Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B . Nếu mọi phần tử của tập hợp

B đều thuộc tập hợp A thì ta nói tập hợp B là một tập hợp con của tập
hợp A và ký hiệu B  A hoặc là A  B

B  A  x  B  x  A
Tính chất: - Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là  và A .
- Tập A có n phần tử thì số tập con của A là 2 n .
1.1.2. Tập hợp sắp thứ tự.
Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi
phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m , sao
cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau.
Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai
bộ sắp thứ tự  a1 , a2 ,..., am  và  b1 , b2 ,..., bm  bằng nhau khi mọi phần tử

2


Tổng quát: Cho A1, A2 ,..., An là n tập hợp hữu hạn ( n  1) .
Khi đó:
n

| A1  ...  An |  | Ai | 
i 1

n




1 i  k  l  n

n


1 i  k  n

| A  Ak |
i

| Ai  Ak  Al | ...

 ( 1) n 1 | A1  A2  ...  An |
1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân
1.2.1. Quy tắc cộng.

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2 ...nk cách.

4


1.3. Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp
1.3.1. Hoán vị
Định nghĩa: Cho tập hợp A , gồm n phần tử ( n  1) .Mỗi cách sắp thứ
tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.

Pn  n!  1.2 n  1 .n

(n  N ; n  1)

1.3.2. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1) . Kết quả của việc
lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng
theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Công thức: Ank 

n!
 n. n  1 n  k  1 (1  k  n)
(n  k )!

Chú ý: Một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Ann  Pn  n! .



1.4. Nhị thức Newton
1.4.1. Nhị thức Newton

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n 1b1  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
n

  Cnk a nk b k

 n   * 

k 0

được gọi là công thức nhị thức Newton.
n

Hệ quả: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  ( 1) n Cnn x n .
Chú ý:
n

- Số các số hạng của sự khai triển  a  1 là n  1.
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng
số mũ n .
- Số hạng tổng quát Tk 1 của khai triển là Tk 1  Cnk a nk b k (k  0,1,..., n).
- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau
do Cnk  Cnnk (0  k  n).

4

1
3

6

1
4

1

…
k
k 1
k 1
C n  C n  C n 1 (0  k  n) được gọi là hệ thức Pascal.

6


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP
2.1. Rút gọn biểu thức tổ hợp.
Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức tổ hợp:
* Pn  n! (n  * )
n!
* Ank 
(1  k  n)
(n  k )!
n!

An4

Bài giải
Ta có

A

n( n  1)...( n  5)  n( n  1)...( n  4)
n(n  1)...( n  3)

 n  4  (n  4)( n  5)  ( n  4) 2
Tổng quát: Ta có

1
A A
 n  k 1
nk
A

 ( n  k  1)( n  k ) 

k 1
1
An
 nk 
( n  k  1)( n  k )
k 1
n

k

C
1!( n  1)!
2
n
1
n

…
n

Cnn

Cnn 1

1
1
n!
1!( n  1)!

n(n  1)
2

Suy ra: A  n  n  1  ...  2  1 
Bài tập áp dụng

1
Cn 
Bài 1. Rút gọn biểu thức: Cn  
k 1 k ( k  1)
n

n!
(1  k  n )
( n  k )!

* Cnk 

n!
(0  k  n )
k !( n  k )!

* C kn

k 1
k
C n 1  C n 1 (0  k  n)

Đưa đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức
đại số thông thường.
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra điều
phải chứng minh.
Bài 1. Chứng minh rằng: Với k , n  N ,3  k  n, ta có:
2 n
n 2
n 1
An  k + An  k =k An  k

Bài giải
Ta có
n 2



 n 1
Bài 2. Chứng minh rằng: n  (n !)  

 2 
n

2n

n

( n  , n  2) (1)

Bài giải
Biến đổi bất đẳng thức (1) về dạng:
n

n  1.2.3...n 

2

 n 1


 2 

2n

2n


 k  n  k 1  n 1
k ( n  k  1)  
 

2

  2 

2

**

(0  k  n)

Áp dụng bất đẳng thức (**) với k  1, 2,..., n ta được:

10


2




2

 n  1

2( n  1)  



Suy ra:

 n  1
1.n  .2. n  1 .3. n  2  ...k  n  k  1 ...( n  1).2.(n.1)   
 2 

2n

(4)

Từ (3) và (4) suy ra (2) được chứng minh, suy ra (1) được chứng minh.
Bài 3. Chứng minh rằng:
a. Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3
b. Cnk2  Cnk  2Cnk 1  Cnk 2  2  k  n 
c. 2Cnk  5Cnk 1  4Cnk 2  Cnk 3  Cnk33  Cnk22
Bài giải

11


a.Ta có

VT  (Cnk  Cnk 1 )  2(Cnk 1  Cnk 2 )  (Cnk 2  Cnk 3 )
 Cnk1  2Cnk11  Cnk12
 (Cnk1  Cnk11 )  (Cnk11  Cnk12 )
 Cnk2  Cnk21
 Cnk3
 VP
b. Ta có: Cnk 2  Cnk  2Cnk 1  Cnk 2 (2  k  n)

(0  k  n ) (1)

(2n  k )! (2n  k )!   2n ! 

.


(n  k )!.n! ( n  k )!.n!  n !.n! 

2

2

  n  k  1 ...( n  k  n)   ( n  k  1)...( n  k  n)    ( n  1)...(n  n) 

  n  k  1 ( n  k  2)...( n  k  n )   (n  k  1)( n  k  2)...(n  k  n ) 
  n  1 ...( n  n) 

2

2

  n  k  1 ( n  k  1)  ... ( n  k  n)...( n  k  n)    n  1 ...( n  n)  (*)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2

( n  k  i )(n  k  i )   n  i  (0  k  n, i  1, n)
Cho i  1, n ta được bất đẳng thức (*).
Vậy bất đẳng thức (*) đúng  (1) được chứng minh.
Bài tập áp dụng

 C2001
(0  k  2000)

n

 1
Bài 6. CMR: 2   1    3 ( n  2, n  )
 n

13


2.3. Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp.
Định nghĩa: Phương trình, bất phương trình tổ hợp là phương trình,
bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: n!, Pn , Ank , Cnk .
* Cách giải:
 Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Ta có:
- n! có nghĩa  n  
- Pn có nghĩa  n   *
- Ank có nghĩa  k , n  , 1  k  n
- Cnk có nghĩa  k , n  , 0  k  n
 Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình tổ hợp sang phương
trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp:
- n!  1.2.3...n với mọi n   , n  1

(0! = 1)

- Pn  n! với mọi n   *
- Ank  n( n  1)( n  2)...( n  k  1) 
- Cnk 


  Cx2  Cx3   102
 Cx2  Cx3  10
 Cx31  10


 x  1!

 10
3!( x  2)!
 ( x  1) x ( x  1)  60
 x 3  x  60  0

x  4
 2
 x  4 (thỏa mãn).
x

4
x

15

0


Vậy phương trình có nghiệm x  4 .

1
Bài 2. Giải phương trình: Px Cx31  30  3Cxx12  5Px (1) .


5 Px 5
2 Px  k Axk33

Bài giải
Điều kiện: x, k  , x  k  0, x  3.

(1) 



( x  5)!
5
( x  5)!
Cx1  2(C x2  Cx3 )   
2!( x  3)!
2 ( x  k )! ( x  3)!
( x  k )!
1 ( x  5)! 1
5 ( x  5)!
(Cx  2Cx31 )  
2 ( x  3)!
2 ( x  3)!

 C1x  2C x31  5  0
 ( x  3)( x 2  3 x  5)  0
x  3
 2
 x3
 x  3x  5  0



Vậy

3n  1
(1) 
 122
2
 3n  243  35

 n  5 (thỏa mãn)
Vậy n  5 .
Bài 5. Giải phương trình sau:

Axy11.Px  y
 72
Px 1

Bài giải
+ Điều kiện: x, y  , x  2, y  x  1 (*)

( x  1)!
 ( x  y )!
( x  y )!
(1) 
 72
( x  1)!
 ( x  1) x  72
 x 2  x  72  0
 x 8

Pn 5
( n  5)!
(n  3)!
 60 Ank32 
 60
( n  k )!
( n  k )!
( n  k  1)!
( n  5)(n  4)(n  3)!
(n  3)!

 60
(n  k )!
( n  k  1)(n  k )!
 ( n  5)( n  4)( n  k  1)  60 (*)
Với n  4 thì bất phương trình (*)vô nghiệm.
Với n  3 thì (*)  8.7.(4  k )  60  k 

41
.
14

Do n  k nên ta chọn k  3 .
Tương tự với n  2 thì (*)  8.7.(4  k )  60  k 

41
.
14

 Chọn k  2 .


5 2
An 2  Cn41  Cn31 (n  4).
4

Bài giải

18

bộ

nghiệm ( n, k ) là


4  n  
Điều kiện: 
 xn  0
Ta có dãy đã cho:

5 2
An 2  Cn41  Cn31  0
4
5
 An2 2  Cn41  Cn31
4
5 ( n  2)! ( n  1)!
(n  1)!




 2k  17
 k  8.5.


Do k    k  0,1,2,...,8.
Xét C18k  C18k 1 (với 0  k  17 ).

 k  8,5.

19