1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, một trong những mục đích hàng đầu của dạy học nói
chung và dạy học toán học nói riêng đó là làm cho học sinh biết vận dụng các
kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong nội bộ môn học, trong các môn
khoa học khác cũng như trong đời sống thực tiễn.
Để thực hiện mục đích đó, trong giải toán phổ thông, ta thường thấy rất
nhiều trường hợp bài toán nằm ở lĩnh vực này nhưng chỉ có sử dụng kiến thức ở
một hay nhiều mảng khác mới đem lại lời giải hay, ngắn gọn và hợp lý nhất. Và
một trong những nội dung có nhiều ứng dụng phổ biến chính là lượng giác.
Thực tế dạy học cho thấy, phương pháp lượng giác hóa là một phương tiện
cực kỳ hữu hiệu trong việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn
nhất nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, các
bài toán về dãy số, tích phân và giải các bài toán hình học,…Tuy nhiên hầu như
phải tới lớp 12, học sinh sử dụng phương pháp này một cách phổ biến trong
việc tính tích phân. Ở lớp 10 và 11, đa số các em học sinh không thể hay không
thường xuyên sử dụng dẫn đến không giải được bài toán hoặc lời giải chưa sâu
sắc. Chính vì những lí do đó, chúng tôi đã chọn đề tài “Sử dụng phương pháp
lượng giác hóa vào việc giải một số dạng toán phổ thông” làm đề tài nghiên
cứu của mình. Hy vọng nó sẽ góp phần giúp các em học sinh rèn luyện một số
kỹ năng cơ bản của Toán học, đặc biệt làm cho các em thấy được sự liên hệ giữa
các nội dung Toán học, tạo hứng thú cho các em học sinh khi học Toán.
2. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần đặt vấn đề, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
đề tài gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày nguồn gốc của lượng giác và định
nghĩa lượng giác dưới nhiều góc độ khác nhau như định nghĩa bằng tam giác
vuông, định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, gồm dùng đại số và dùng hình học,
định nghĩa bằng chuỗi, bằng số phức, bằng vi phân…và một số định nghĩa khác

3
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Nguồn gốc của lượng giác
Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong nền văn minh của người Ai
Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ 3000 năm trước. Các
nhà toán học Ấn cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán
các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Trong
đó, những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng
giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN),
người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn (có giá trị bằng góc, A, nhân với
bán kính, r) và chiều dài của dây cung tương ứng ( 2 sin
2
A
r
 
 
 
). Sau đó, Ptolemy
(thế kỷ 2) tiếp tục phát triển công trình trên trong quyển Almagest, tìm ra công
thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy cũng đã suy diễn ra
được công thức nửa-góc


2
1 cos
sin
2 2

 

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của
Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác
vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ
bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho
năm 1596.
Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung miêu
tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các
chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" e
ix
= cos(x) + i sin(x). Euler đã
dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.
Ngày nay ứng dụng của lượng giác được sử dụng khá rộng rãi. Cụ thể có
thể nói đến như là kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên
văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa
các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Ngoài ra lượng giác còn
được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều các môn khoa học khác như lý thuyết âm
nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết
xác suất, thống kê sinh học…
1.2. Một số định nghĩa của lượng giác
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số các định nghĩa của lượng giác theo
các góc độ khác nhau, nhằm từ đó, tạo nền tảng cho việc sử dụng kiến thức
lượng giác để giải quyết các dạng toán ở nội dung khác sẽ được trình bày ở
chương 2.
5
1.2.1. Định nghĩa bằng tam giác vuông
Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° (
2


radian), được ký hiệu là C trong hình này. Góc A và


Tang
Cạnh đối chia cho cạnh kề
tan
a
A
b


Cotang

Cạnh kề chia cho cạnh đối
cot
b
A
a


Sec
Cạnh huyền chia cho cạnh kề
sec
h
A
b


A
b
c
h



1
5
0
o



1
3
5
o



1
2
0
o



9
0
o





(0,1)
(1,0)(-1,0)
(0,-1)
2
7
0
o



3
3
0
o




3
1
5
o



3
0
0
o
































































Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên
vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có
thể được định nghĩa là:
Hàm

Đ
ịnh nghĩa

sin(θ) y
cos(θ) x
tan(θ) y/x
cot(θ) x/y
sec(θ) 1/x
cosec(θ) 1/y
7
Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm
tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ:


sin sin 2
k
  
 
,


os sin 2
c k
  
 

Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho
góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB:
Hàm
Định
nghĩa

Chú thích
Sin(θ) AC định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ
cos(θ) OC
tan(θ) AE
đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đ
ã mang
lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh
là
"tiếp tuyến"
cot(θ) AF
sec(θ) OE
đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái t
ên
"secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đư
ờng cắt
vòng tròn"
csc(θ) OF
versin(θ)

CD versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ)

DE exsec(θ) = sec(θ) – 1


là số Euler thứ n, U
n
là số lên/xuống thứ n.

Hàm

Định nghĩa Cụ thể
sin(x)



 
2 1
0
1
2 1 !
n
n
n
x
n







3 5 7
3 5 7


9
Hàm

Định nghĩa Cụ thể
tan(x)



 
2 2 2 1
0
2 2 1
,
2 ! 2
n n n
n
n
U x
x
n








3 5 7

3 45 945
x x x
x
   


sec(x)

 
2 1
1
1 ,
2 ! 2
n
n
n
E x
x
n




 


2 4 6
5 61
1
2 24 720

1 7 31
6 360 15120
x x x
x
   
Trên trường số phức
Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là
phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:
i
e cos isin

   

Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.
Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là
công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng
phức, gồm các điểm z = e
ix
, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ
ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.
Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:
 
 
 
2 1
0
1

n
n
e e
cosz z xz
n





  


Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực


cos Re
xx
x e

,


sin Im
xx
x e


1.2.4. Định nghĩa bằng phương trình vi phân
Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân

còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:
2
1
y y

 

với điều kiện biên y(0) = 0. Xem [1] cho một chứng minh của công thức
này.
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là
radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k.
Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là:
180
k



Lúc đó:




sin ; 0, 1
f x kx k k
  

và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này:



s x y s x c y c x s y
c x y c x c y s x s y
xc x s x x x
 
  
  
    

11
Ở đây
,
x y R

.
Miền xác định và miền giá trị
Các hàm số lượng giác trên trường số thực có miền xác định và miền giá trị
được tổng kết trong bảng sau:
Hàm Miền xác định
Miền
giá trị
Sin
R
(toàn bộ trục số thực) [-1, 1]
Cos
R
[-1, 1]
Tan

R
/{

Phương pháp tính
Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp. Ngày nay,
đa số mọi người có thể dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá
trị các hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá
trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị
chính xác dễ nhớ.
Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các
góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác
đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm.
Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng
cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân.
Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức
lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một
vài giá trị chính xác (như sin(π/2)=1).
Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996).
Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính số thập
phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ)
với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng
nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong
bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng không có bộ số học và lô gíc,
12
có thể dùng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả
hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và phép cộng. Các phương
pháp này đều thường được lắp sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ
xử lý.
Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng
giấy và bút dựa vào định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội
của π/60 radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút.
Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc nhọn bằng π/4 radian
(45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của

   

       
3
cos 6 cos 30 sin 3 sin 60
2
 
   
       
1
tan 6 tan 30 cot 3 cot 60
3
 
   
Hàm lượng giác ngược
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn
miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược:
Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
13
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)
Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos.
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào
tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
x
2

 




2
x
1
arccot(x)= , 0
1
dz z
z





Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến phức:




2
arcsin( ) - log 1
z i i z z
  


2
arccos( ) - log 1

x y
 
   
 
   
   

sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
 
   
 
   
   

cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
 
   
 
   
   

cos cos 2sin sin
2 2
x y x y

1.3. Một số công thức lượng giác thông dụng
a) Công thức
+ A = sinx + cosx =
2 cos( )
4
x


=
2sin( )
4
x


, -
2 2
A 
+ B = cosx – sinx =
2 cos( )
4
x


=
2sin( )
4
x


, -

R M x y
 
Nếu M


(O;R) thì
2 2 2
x y R
 
phép đổi biến là
cos
sin
x R
y R








Nếu M

hình tròn

(O;R) suy ra
2 2 2
x y R
 

z z

 



phép đổi biến là
cos
sin
x R
y R
z z











Nếu M nằm trong hình trụ (H) :
2 2 2
x y R
z z

 


(O;R) :
2 2 2 2
x y z R
  
phép đổi biến là
cos cos
cos sin
sin
x R
y R
z R
 
 










16
Chương 2. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ VÀO
VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG

2.1. Phương pháp lượng giác hóa trong đại số
Trong đại số, phương pháp lượng giác hoá có thể áp dụng được một cách
rộng rãi. Tuy nhiên ở đây, đề tài xin giới thiệu phương pháp cho các bài toán


0;2

 
.
Bài 1. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
2 2
2 2
1 1 17
2
x y
x y
 
 
   
 
 
 
 

Giải:
Ta có: x + y =




2 2
1
x y
 

4
a +
4
1
os
c a
+ sin
4
a +
4
1
sin
a
= (cos
4
a + sin
4
a)
4 4
1
1+
sin acos a
 
 
 

= (1 – 2sin
2
acos
2

2

và 1 +
4
16
sin 2a
 17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
17
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện
a > 0, b > c > 0 ta có bất đẳng thức:




c a c c b c
  

ab
(1)
Giải
Vì a > 0, b > 0, ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với
   
c a c c b c
ab ab
 

 1 (2)
Nhận xét rằng:
22
a



Ta cũng thấy:
22
b
cb
b
c


















= 1
Nên đặt:
b
c

2
+y
2
= 1 thì
2 5
x y
 
(Bài tập 4.23a, trang 105 _SBT Đại số 10
Nâng cao_NXB Giáo dục).
Giải
1/ Vì x
2
+ y
2
=1, nên ta có thể đặt:
cos
sin
x t
y t





,
0 t 2
  

Khi đó, ta có:
x y


1
z x z z y z
y x x y
 
 

Ta cần chứng minh:
1
z x z z y z
y x x y
 
 
.
Nhận xét:
2 2
1
z y z
y y
   

 
   
   
và
2 2
1
z x z
x x
   

cos
sin










z
v
x
x z
v
x
,
0,
2
v

 



 

khi đó:

cos sin






x a a
y a a
 
 
với


0;2
 


Bài 1. Giải hệ phương trình:
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1 (1)
25 (2)
y x
y
x y

  


  



 


2 2
1 1
( ) (3)
4
25
y x
y
x y

 



 


Đặt:
5cos
5sin ,
x t
y t


t



  







4
sin
5
3
cos
5
t
t











x y xy
x y
  


 

(III)
(Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007)
Giải
Ta thấy hệ (III) là hệ phương trình đối xứng loại 1, thông thường ta đặt
S x y
P x.y
 







2
S 4P

nhưng ở đây chúng tôi nhận thấy có biểu thức
2 2
x y 10
 

nên đề xuất cách giải đặt:

u u
  

2 10
5
3 10
5
u
u






 



Với
2 10
5
u
 
2 10
sin cos
5
3
sin .cos
10







 









 






 









và
1
3
x
y






Bài 3. Cho hệ:
2 2
2 2
16 (1)
9 (2)
12 (3)

 

 


 

x y
u v
xu yv

b
v b


Thay vào (3) ta được:




1cos12sin.sincos.cos12







bababavyux

Nhưng vì cos(a - b)

1, nên suy ra: cos(a - b) =1 khi a = b.
Do đó:
P = x + u =
4cos 3cos 7cos 7
a a a
  
.
Vậy
7 2 0

Bài 4. Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn : x
2
+ y
2
= 2. Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của P = 2(x
3
+y
3
) - 3xy.
(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ GD&ĐT)
Giải
Từ giả thiết ta có thể đặt:
2cos
,
2sin
x t
y t








0 t 2
  

4 2(cos sin )(1 sin .cos ) 6sin .cos

 


 

(thỏa mãn)
1 13
( 2) 7, ( 2) 1,
2
2
f f f
 
   
 
 
.
Vậy: Max P = 13/2 và Min P = -7.

Dạng 2 : Nếu bài toán chứa
1
x

hoặc
2
1
x

hoặc có thể biến đổi các
điều kiện để đưa về chứa các biểu thức tương đồng như thế thì ta đặt
 

x
   

os 0
2
3
sin 0
2
t
c
t










đặt x = sint với t
;
2 2
 

 

 
 

2
3 2
sin
2 2
t
c
t










6
2
t
t










Giải
Điều kiện :
2
x 1 0
0x

 



1
x
 
.
Đặt x =
1
cos
t
,
0,
2
t

 

 
 

Khi đó phương trình có dạng :
1

sin .cos
2
t t

 .
Khi đó phương trình đã cho có dạng :
2
2(u 1)
u  
2
2u 2 0
u
   

 
2
1
l
2
u
u










So sánh điều kiện ta có :
4
t


2
x 
vậy nghiệm của phương trình là
2
x 
23
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x

 

 


 



2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z














 
   
.
Với các giá trị của k các nghiệm của hệ luôn thỏa mãn điều kiện
, , 1
x y z
 
.
Vậy hệ có các nghiệm:
 
2 4
, , tan ;tan ;tan
7 7 7
k k k
x y z
  
 

 
 
với
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
k


Bài 4. Giải bất phương trình :
1 1
x x x
   


t
t t
   
2 2
2( os sin ) cos sin
2 2 2 2
t t t t
c   ( os sin )(cos sin 2) 0
2 2 2 2
t t t t
c
    

2 os( )[ 2 os( ) 2] 0
2 4 2 4
t t
c c
 
    

os( )[ os( ) 1] 0
2 4 2 4
t t
c c
 
    


.
Bài 5. Giải bất phương trình :
2
1 1 2
4
x
x x
    
(1).
Giải.
Điều kiện
1 1
x
  
. Đặt


cos , 0;
x t t

 
. Khi đó ta có bất phương trình
2
os
1 cos 1 cos 2
4
c t
t t    

2 2

      
 
   
   
   
   
 
 

(2) luôn đúng với mọi


0;
t


. Vậy nghiệm của (1) là
1 1
x
  
./.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu x < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta
có: (1 + x)
n
+ (1 – x)
n
< 2
n
(1)
Giải

< 2
n
(3)
Bởi vì 0 <
2
t
<
2

nên 0 < sin
2
t
, cos
2
t
< 1 nên ta có:
cos
2n
2
t
=
2
os
2
n
t
c
 
 
 

t t
 

 
 
= 2
n

Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng
minh.
Bài 7. Chứng minh rằng: 4




2323
a1a3)a1(a  
2

Giải
Điều kiện: 1 – a
2
 0  a  1
Đặt a = cos, với   [0; ]
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
4


323
)cos1(cos  - 3(cos -

+ cosy
2
=1 tuy nhiên, mà chúng ta dựa vào hệ điều kiện
x 1

hoặc
2
1 x

tương đồng với điều kiện của
sinx 1, cosx 1
 
để đặt
 
sin , ;
2 2
os , 0;
x
x c
 
 
  
 
 
 

 
 



  
cuối cùng đưa về dạng 2.