TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

v ũ TH Ị HUỆ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ
PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GÀN
ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

VŨ T H Ị H U Ệ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ
PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN



Hà Nội, thảng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH cùng với sự cố gắng của bản thân em.
Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, các nhà nghiên cún với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào.

Hà Nội, thảng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI Đ Ầ U ........................................................................................................ 1
NỘI DƯNG............................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN.................................................3
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối......................................... 3

TÀI LIỆU THAM KHẢO


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ
thực tiễn. Cùng với thời gian, Toán học ngày càng phát triển chia làm hai lĩnh
vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng. Nói đến Toán học ứng dụng
không thể không nói đến Giải tích số, đó là một môn khoa học nghiên cún
cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ, bài toán tối ưu.
Việc giải các phương trình phi tuyến f(x) = 0, trong nhiều trường hợp
không có công thức giải chính xác nên hầu hết các phương trình cần giải gần
đúng. Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của
phương trình đó.
Phương pháp Newton và Phương pháp dây cung là công cụ hữu hiệu để
giải gần đúng phương trình f(x) = 0. Vì nhờ hai phương pháp này phương
trình phi tuyến f(x) = 0 được thay thế bởi phương trình tuyến tính xấp xỉ và
nghiệm gần đúng của phương trình tuyến tính thay thế sẽ hội tụ đến nghiệm
của phương trình phi tuyến nói trên.
Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong
phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiếu biết
của mình về vấn đề:
“ứng dụng phương pháp Newton và phương pháp dây cung giải
gần đúng phương trình phi tuyến”
2. Mục đích nghiên cún
Hiểu và lắm vững hai phương pháp giải gần đúng phương trình phi
tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho
phép.
Áp dụng phần mềm Toán học như: Maple và Pascal vào đế giải quyết
một số bài toán.

hieu so A = q* - q goi lä sai so thuc su cüa q.
Neu A > Othi q \ä giä tri gän düng thieu cüa q*
Neu A < 0 thi q lä giä tri gän düng thüa cüa
Nếu p - s = -k (k > 0) thì q có phần lẻ gồm к chữ số
Neu p - s—>>00 thì q là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số q là bỏ đi một số các chữ số bên phải của q đế được q gọn
hon và gần đúng với số q
Quy tắc làm tròn số như sau: Xét số q ở dạng (1.2.1 ) và ta sẽ giữ lại đến
bậc thứ ỉ, phần bỏ đi là |Hthì :
q = ±(qp. l ơ ’ +... + q i+Ị.ỈOi+ỉ +...+ qi.lớ)

Trong đó:
r qt, 0
làm tròn vẫn là chữ số chắc.
1.3.2 Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân q đều có thể viết dưới dạng:
q = ± Y .q s- 10*

(1.3.1)

Trong đó: qs là những số nguyên ớ—» 9

5


Ví dụ: 34.214 = 3 . 10 ' + 4.l ể + 2.10'1 + ì. l ơ 2 + 4. l ơ 3
Tức là q có dạng (1.3.1) với a ] = 3, a0= 4, a.Ị= 2, a.2 = ỉ, cc-3 = 4 là các
chữ số qs ở (1.3.1).
Giả sử q là xấp xỉ của q* với sai số tuyệt đối giới hạn là Áq. Ta chu ý là
chữ số đứng ở hàng thứ s của q.
Nếu Ац< 0.5.10S thì nói CỊS là chữ số đáng tin, ngược lại thì nói qs là chữ
số đáng nghi.
Như vậy ta đã gắn khái niệm sai số tuyệt đối với khái niệm chữ số đáng
tin.
Ví dụ:
Cho q = 6.8274 với Aq = 0.0043 thì các chữ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin,
còncác chữ số 7, 4 là đáng nghi. Neu cho Лч = 0.0067 thì các chữ số 6, 5, 8 là
đáng tin, còn các chữ số 2, 7, 4 là đáng nghi.
1.3.3 Cách viết số xấp x ỉ
Cho các số q là xấp xỉ của ợ* với giá trị tuyệt đối Áq. Có hai cách viết
số xấp xỉ q
Cách 1: Viết kèm sai số theo công thức (1.1.1)
Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin

Giái
Đặt f(x ) = X3 - X - 2
Ta cóf(x) xác định và liên tục với mọi Jt, đồng thời / (x) = 3x2- 1 = 0
,1
tai x= ±-7=
V3

X

1

1

"V 3

V3

-OC

f'( x )

+

0

-

0

+ 00


Q khi ||Л||0
"1

Cũng có thể viết tắt là:
F(x + h ) - F(x) = L(x)h + 0(\\h\\)
Từ (1.5.1 ) suy ra một ánh xạ khả vi tại X sẽ liên tục tại điểm đó. Biếu
thức L(x)h (rõ ràng là phần tử của không gian Y với mọi h thuộc X được gọi là
vi phân mạnh hay vi phân Frechet) của ánh xạ F tại điểm Jt. Toán tử L(x) được
gọi là đạo hàm chính xác hơn là đạo hàm mạnh của ánh xạ F tại Jt kí hiệu:
F (*). Neu F khả vi tại điểm Jt thì đạo hàm tương ứng được xác định duy nhất.
Thật vậy, đắng thức:
\\L1h - L 2h\\= 0(h)
đối với toán tử Li e L(X, Y); i = 1, 2 chỉ xảy ra khi L/ = L2
Một số tính chất:
• Nếu F(x) = yo= const thì F (x)= 0 (F (jf) là toán tử không)
• Đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục L chính là ánh xạ đó
L(x) = L. Thật vậy, theo định nghĩa ta có L (x+h) - L(x) = LỌÌ).


CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON
Trong chương này, em trình bày phương pháp Newton giải gần đúng
phương trình phi tuyến. Đồng thời em cũng giải mẫu một số ví dụ bằng
phương pháp Newton, lập trình trên Maple, trên Pascal và đưa ra các bài tập
áp dụng.
2.1 Mô tả phương pháp
Xét phương trình:
f(x) = 0

(2 . 1. 1)


hai / U) tại Jte(a, b ). Ta chọn Xo £ [a, b] rồi viết khai triển Taylor bậc nhất
của f(x ) tại xỏ.
f(x ) = f Oo ) +

- Xo) +

- Xo)2

X e (a , b), c = Xo + 6{x - Xo) e (a , b )

Như vậy phương trình (2.1.1) viết lại được:
0 = /O o ) +

- xo) + f- ^ k x - Xo)2,

với X đủ gần x0 thì X —Xọ là một đại lượng nhỏ nên (x - XoÝ rất nhỏ, bỏ
qua số hạng cuối cùng ta được phương trình:
f(x 0) + ( x - Xo) f (*o) = 0

(2.1.2)

Như vậy, ta đã thay phương trình (2.1.1) bằng phương trình (2.1.2) đơn
giản hơn nhiều và (2 . 1.2 ) tuyến tính đối với Jt.
Gọi X ị là nghiệm của (2.1.2) do đó ta cỏ:f(x0) + (JC/ —Xo). f (*o)
^

Xỉ
1


10


2.2 Mô tả phương pháp bằng hình học
Giả sử hàm sốf(x) liên tục trên [a, b] có đồ thị là cung AB
+ N euf ( x). f (x)> 0 thì qua điểm B(b,f(b)) dựng tiếp tuyến với đồ thị
У =ЛХ)>tiếp tuyến cắt Ox tại X].
TÙX/ dựng đường thẳng song song với Oy , đường thẳng này cắt đồ thị
у =f(x) tại Kjixiflxj)). Qua Kị dựng tiếp tuyến với đồ thị và nó cắt Ox tại x2.
Tiếp tục quá trình này ta được dãy {xn }.
+ N ếu/ ( x) . f (x)< 0 thì qua điểm A(a,f(a)) dựng tiếp tuyến với đồ thị
у = f(x) và làm hoàn toàn tương tự như trên.
Từ đó có các trường họp được mô tả như sau:
K|

В

А
О

О
А

f ’ > 0, f ’ > 0

f ’ < 0 , f ’ 0

2.3 Bậc hội tụ
Định nghĩa
Số a e R , a > 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn X* nếu tồn tại
hằng số с ^ 0 sao cho:
X n +l ~

X


f ( x n)

(2.4.1)

Ta sử dụng khai triển Taylor trong lân cận của nghiệm r,f(r) = 0.
Ta có:
f (x„)

= f ( r ) + ịxn - r ) f ( r ) + ^ ( x „ - r ) 2f (r)+ ..„
= - U \ r ) + ị ỉ n 2f \ r ) + --,

!
I
" 1
111
f (xn) = f (r) + (xn - r ) f (r) + ^ ( x n - r ý f (r)+..„

(2.4.2)

= f \ r ) - u \ r ) + ụ n2f" \r )+ ...,
Ta sử dụng công thức khai triển Maclaurin của hàm —— , ta được:
=1+C + C2+~;

1
1- í

(2.4.3)

Với khoảng hội tụ là 1^1< 1. Từ (2.4.1), (2.4.2) và sử dụng (2.4.3) ta
được:


Vậy bậc hội tụ của phương pháp Newton là p = 2.
2.5 Sai số của phương pháp Newton
Ta có:
l/(* n )l
m

0 < m > | / ’(x ) |,a < X < b
Ngoài ra ta có công thức đánh giá sai số khác là:
\ a - x n \ < ^ - \ x n - x n+1\2 , với | / " 0 ) | 2 M

Vì đạo hàm / , / không đổi dấu trên [a, b] nên ta có:
m = m in \\f \à ) \. \ f (fr)|Ị
2.6 Một số ví dụ
a) Ví dụ
Ví dụ 2.6.1: Giải phương trình bằng phương pháp Newton:
X2 — e x — 1 = 0
Giải
Đặt f ( x ) = X2 — e x — 1 =>f ’(x) = 2x — e x

14

(2 .6 .1)


C ó / ( —1) = - - < о ,/ ( - 2 ) = 3 - e ’ 2 >

< 0.

Do đó phương trình (2.6.1) có nghiệm X* G (—2, —1)

f (x„)

ß x j.f'ix j1

0

-1.1

-0.122871084

-2.532871084

0.048510595

1

-ỉ. ỉ 485ỉ 0595

1,96786636. l ơ 3

-0.99803467

-1.97174148. ỈO 3

2

-]. 146538884

-3.18317218.103


ỉ. 147757632.

Giải ví dụ 2.6.1 trên Maple:
[> fsolve(xA2-exp(x)-l,{x});
(x = -1.147757632)
Đồ thị của phương trình là:

15


Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.1 vói nghiệm:
X * * -1 .1 4 7 7 5 7 6 3 2 :

n

0

1

2

n

-1.1

-1.148510595

-1.146538884

0.047757632


Giải ví dụ 2.6.1 bằng chương trình Pascal:

16


Progam Giaividu2.6.1;
Uses crt;
VarxO, x l, w, e : real; i: byte;
x: array [l ..10] o f real;
function/ (x: real): real;
begin
f: = sqt(x)-exp(x) - 1;
end;
funtion Dhf(x: real): real;
begin
Dhf: = 2*x -exp(x);
end;
Begin
writeC nhap sai so w = '); readln(w);
xvriteC chon xap XỈ ban dau xO = '); readln(xO);
writelnC cac xap xi tiep theo la: ');
Ỉ: = 1; e: = 0;
repeat
begin
x l : = xO - f(x0)/Dhf(x0);
writeln ( ' xf, i ,']=

x l: 2: 9);



(2 .6 .2)

ỉ =0

Giải
Đặt f(x ) = X5 - X - 1 =>f (x) = 5x4 - 1
Ta có:

/ ( /) =-1 <0, f(3/2) = 5.09375 > 0

=>,f { l ) j { 3 / 2 ) < 0.

Do đó phương trình f(x) = 0 có nghiệm X* e (7;3/2)
Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như
sau:
'f Tí

+1

*^■1

^0

r
Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.2) là x3& 1.167303979 với độ chính
xác 10~4.
Giải ví dụ 2.6.2 trên Maple:
[>fsolve(xA5-x-l,{x});
{x = 1.167303978}
Đồ thị của (2.6.2) là:

Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.2 VÓI nghiệm:
X** 1.167303978:

n

0

1

2

4

x„

1.2

1. ỉ 69222886

1.16731102

ỉ .167303979