Mục lục
LỜI CẢM ƠN

2

MỞ ĐẦU

4

Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

NỘI DUNG


9

1.5

Khái niệm hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6

Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ . . . . . . . . . . . 13

1.7

Các phép toán vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2

Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ
2.1

19

Các bài toán hình học chứng minh, tính toán . . . . . . . . . . . 19
1


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

2.2

2.3

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bài toán giải phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . 30
2.5.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . 33
2.6.1


67

TÀI LIỆU THAM KHẢO

68

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

2

SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo- Thạc Sỹ
Nguyễn Quốc Tuấn- người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến những thầy cô đã giảng dạy em trong
bốn năm qua, những kiến thức mà em tiếp thu được trên giảng đường Đại học
sẽ là hành trang giúp em vững bước trong tương lai.
Em cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các anh chị khóa trước đã giúp đỡ và cho
em những lời khuyên về chuyên môn trong quá trình thực hiện khóa luận.
Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả bạn bè, gia đình,
những người luôn kịp thời động viên và giúp đỡ em vượt qua những khó khăn
trong cuộc sống.
Em xin chân thành cám ơn!
Sinh viên

giải bằng phương pháp tọa độ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình. Hay đó là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài
toán cực trị.
Với các lí do đó đã gợi cho em đề xuất đề tài "Ứng dụng của phương pháp
tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp".
Qua việc nghiên cứu nội dung này, em đã có điều kiện củng cố lại kiến thức
đã học, bổ sung thêm nhiều điều bổ ích.

II. Mục đích nghiên cứu
Với các lý do như ở trên em đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau:
- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ.
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy dược tầm quan trọng và
tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

5

SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài toán sử
dụng phương pháp tọa độ để giải.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán sơ cấp.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp tọa độ để

1.1

Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng

Hệ tọa độ afin (O; i; j) có cơ sở (i; j) gồm hai vectơ đơn vị vuông góc với
nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ Descartes vuông
góc). Kí hiệu: Oxy

1.2

Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ

Trong hệ trục tọa độ (O; i; j)
Nếu a là một vectơ bất kì có a = xi + y j thì cặp số (x, y) được gọi là tọa độ
của a. Kí hiệu: a = (x, y).
−−→
Nếu một điểm M bất kì trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: OM = xi + y j thì
tọa độ điểm M là M(x, y).

8


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

1.3

Phép toán vec tơ

Trong mặt
 phẳng Descartes cho các vectơ: a = (a1 , a2 ); b = (b1 , b2 ). Ta có:


−
→
Trong mặt phẳng Oxy với A(xA , yA ), B(xB , yB ) thì tọa độ của vectơ AB là
−
→
AB = (xB − xA , yB − yA ).

1.4

Các công thức

Công thức trung điểm, trọng tâm

 xI = xA + xB
2
Điểm I là trung điểm đoạn AB ⇔
y
+
yB
A
y =
I
2
 xG = xA + xB + xC
3
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔
 y = yA + yB + yC
G
3

 x = x + at
0
,
 y = y + bt

t ∈R

0

x − x0 y − y0
=
, (a, b = 0).
a
b
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) là:
x − xA
y − yA
=
(Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0).
xB − xA yB − yA
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng:

và có phương trình chính tắc là:

Ax + By +C = 0,

A2 + B2 = 0

Từ phương trình tổng quát ta có một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u =
(−B, A) và một vectơ pháp tuyến là n = (A, B).


⇒ cos(d1 , d2 ) =

A21 + B21 . A22 + B22

+Công thức tan: Cho hai đường thẳng
d1 : y = k1 x + b1 , d2 : y = k2 x + b2 ⇒ tan(d1 , d2 ) =

k2 − k1
1 + k1 k2

Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong hệ tọa độ đề các xét hai đường thẳng:
d1 : A1 x + B1 y +C1 = 0
d2 : A2 x + B2 y +C2 = 0
Đặt: D =

A1 B1

, Dx =

A2 B2

C1 B1
C2 B2

, Dy =

A1 C1
A2 C2


β
α

là phương trình đường thẳng qua S, trừ d2 .

Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phương trình:
(x − a)2 + (y − b)2 = R2 hay x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0
với c = a2 + b2 − R2 .
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Cho đường tròn (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(x0 , y0 ) ∈ (C) có phương trình là:
(x0 − a)(x − a) + (y0 − b)(y − b) = R2
Phương tích của một điểm đối với đường tròn:
Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 .
Phương tích của điểm M(x0 , y0 ) đối với (C):
PM/(C) = x02 + y20 − 2ax0 − 2by0 + c
+ PM/(C) > 0 ⇔ M ở bên ngoài đường tròn (C).
+ PM/(C) < 0 ⇔ M ở bên trong đường tròn (C).
+ PM/(C) = 0 ⇔ M nằm trên đường tròn (C).
Trục đẳng phương của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ): Tập hợp tất cả các điểm
có cùng phương tích đối với hai đường tròn.
Cho hai đường tròn có phương trình:
(C1 ) : x2 + y2 − 2a1 x − 2b1 y + c1 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 − 2a2 x − 2b2 y + c2 = 0.
Phương trình trục đẳng phương của (C1 ) và (C2 ) có được bằng cách trừ hai
phương trình của hai đường tròn vế theo vế:
2(a1 − a2 )x + 2(b1 − b2 )y + c1 − c2 = 0.

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz.

1.6

Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ

Trong không gian Oxyz
−−→
Cho một điểm M tùy ý. Khi đó ta có: OM = xi + y j + zk và gọi bộ ba số (x,
y,z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho. Kí hiệu: M(x, y,
z).
Cho vectơ a với a = a1 i + a2 j + a3 k .
Khi đó bộ ba số (a1 , a2 , a3 ) được gọi là tọa độ của vectơ a đối với hệ trục tọa độ
Oxyz cho trước. Ta viết: a = (a1 , a2 , a3 ).

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

13

SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

1.7

Các phép toán vectơ

Các phép tính

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

−→
−→
Điểm M(x, y, z) chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số k: MA = kMB, (k = 1) được
x1 − kx2


x
=



1−k

y1 − ky2
xác định bởi công thức:
y=

1−k


z
− kz2

1

 z=
1−k

a2 a3
b2 b3

;

a3 a1
b3 b1

;

a1 a2
b1 b2


.

a ∧ b = −(b ∧ a).
a và b cùng phương ⇔ a ∧ b = 0.

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

14

SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

(a ∧ b) ⊥ a và (a ∧ b) ⊥ b.

3
3
3
G là trọng tâm tứ diện ABCD
xA + xB + xC + xD yA + yB + yC + yD zA + zB + zC + zD
⇔ G(
,
,
).
4
4
4
Công thức phương trình mặt phẳng
Măt phẳng (P) đi qua M(x0 , y0 , z0 ) có vectơ pháp tuyến n(A, B,C) có phưng
trình là: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 +
B2 +C2 > 0).
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm
A(a, 0, 0), B(0, b, 0),C(0, 0, c) với abc = 0 thì (P) có phương trình theo đoạn
x y z
chắn là:
+ + = 1.
a b c
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng α và β có phương trình tổng quát
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

15

SVTH: Bùi Thị Mãnh

Khoảng cách từ điểm M(x0 , y0 , z0 ) đến mặt phẳng α : Ax + By +Cz + D = 0
được tính bởi công thức:
d(M, α) =

| Ax0 + By0 +Cz0 + D |
√
A2 + B2 +C2

Chùm mặt phẳng
Mọi mặt phẳng của chùm xác định bởi hai mặt phẳng α và β đều có phương
trình dạng:
α(A1 x + B1 y +C1 z + D1 ) + β (A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0
hoặc (trừ mặt phẳng β ):
A1 x + B1 y +C1 z + D1 + µ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0

Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0 , y0 , z0 ) và nhận vectơ
a(a1 , a2 , a3 ) = 0 làm vectơ chỉ phương thì :
∆ có phương trình tham số là:

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

16




x = x0 + a1t


 M∈
/d


 n=0
d≡d ⇔
 M∈d

−−→
d, d’ chéo nhau ⇔ n.MM = 0

d cắt d’ ⇔ a.a = 0

d ⊥ d ⇔ a.a = 0
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua M(x0 , y0 , z0 ) và có vectơ chỉ phương là a(a1 , a2 , a3 )
và cho mặt phẳng α có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi n(A, B,C) là
vectơ pháp tuyến
 của α. Ta có các điều kiện sau: 
 a.n = 0
 a.n = 0
d⊂α ⇔
d//α ⇔
 M∈α
 M∈
/α
d cắt α ⇔ n.a = 0
d ⊥ α ⇔ n = ka
Công thức tính khoảng cách
Để tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆ ta sử dụng công


18

d(∆, ∆ ) = d(M0 , α).

SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50


Chương 2

Một số dạng bài toán giải
bằng phương pháp tọa độ
2.1

Các bài toán hình học chứng minh, tính toán

2.1.1

Phương pháp giải

Đối với bài toán hình học muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa các
bước giải cần tuân thủ theo các bước sau:
B1 . Chọn hệ tọa độ thích hợp
Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng
vuông góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Trong không gian, thông thường chọ hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz
là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông. Gắn các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp.
B2 .Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn. Tìm

Khi đó:
Phương trình đường tròn (I):

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

b
x2 + (y − )2
2

20

b2
= .
4
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50


Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"

Phương trình đường tròn (O):

(x − a)2 + y2 = 1.

Đường thẳng CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (O) nên có
b2
b2
2
phương trình là:
−2ax + a + by − = 1 − ⇔ 2ax − by + b2 = 0.

2
2
2
−b
Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K(
; 0).
2a
Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa mãn phương trình đường thẳng CD, suy ra K
thuộc CD.
Vậy ba điểm K, C, D thẳng hàng.

Nhận xét
Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải. Trong cách giải
bằng phương pháp tọa độ như trên nhận xét CD là trục đẳng phương của hai
đường tròn (I) và (O) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiều trong tính toán.

Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =

√
a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm BM và AC. Chứng minh mặt phẳng
(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

21

SVTH: Bùi Thị Mãnh

2 2 2
2 2
2
3 3
của ∆ABD.
*) Chứng minh:
(SBM)
√ ⊥ (SAC).
√
a 2
−
→
−→
Ta có
BM = (−a;
; 0), AC = (a; a 2; 0)
2
→
−→ −
⇒ BM.AC = 0 ⇒ BM ⊥ AC.
Mặt khác:
Từ đây suy ra

SA ⊥ (ABCD) nên BM ⊥ SA.
BM ⊥ (SAC)
⇒ (SBM) ⊥ (SAC) (đpcm).

*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
√
√

√
a3 2
1 −
→ −→ →
−
AB, AN .AI =
V=
(đvtt).
6
36

Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là:

2.2

Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm
cố định

2.2.1

Phương pháp

Điểm M(x0 , y0 ) được gọi là điểm cố định của họ đồ thị y = f (m, x), (m ∈ T
là tham số) nếu mọi đồ thị của họ đó ứng với mọi giá trị m ∈ T đều đi qua M.

2.2.2

Các ví dụ

Ví dụ 3

a
a
a2
y − c = (x − a) ⇔ y = x + c −
c
c
c
a
a
do a + c = b
⇒ y = x + b(1 − )
c
c
Giả sử d đi qua điểm cố định M(x0 ; y0 ).
a
a a
Khi đó: y0 = x0 + b(1 − ),∀
c
c c
a
a
⇔ (x0 − b) − (y0 − b) = 0, ∀
c
c


 x =b
 x −b = 0
0
0

trên cạnh AB với 0 < m < b = 1.
Ta có MB = CN, suy ra N(1 + m − b, 0).
1+m−b m
Suy ra trung điểm P của MN có tọa độ P
;
.
2
2
−−→
và MN = (1 + m − b; −m).
Suy ra phương trình đường trung trực của MN là:
1+m−b
m
(1 + m − b) x −
−m y−
= 0.
2
2
1
hay
m(x − y − 1 + b) + (1 − b)x − (1 − b)2 = 0.
2
Từ đây ta thấy đường thẳng này luôn đi qua điểm cố định

2.3

Bài toán quỹ tích

2.3.1