luận văn một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường thpt - Pdf 19

TRƯờng đại học hùng vơng
Khoa khoa học tự nhiên
Một số ứng dụng của phơng pháp toạ độ
trong việc giảI toán ở trờng thpt Ngời hớng dẫn: Ths. Nguyn Chớ Thanh
Ngời thực hiện : Nguyn Phng Tho
Lớp K
4
ĐHSP Toán

Phú Thọ, Tháng 06 năm 2009 2

2



3

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ
thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác. Chính
vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết.
Hình học giải tích ñược sáng lập ra ñồng thời do hai nhà bác học
người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655). Đặc trưng của
môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học.
Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã
chứng tỏ ưu ñiểm của mình. Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các
bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều mà còn giải
ñược các bài toán trong không gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc
vẽ hình ñể giải toán là ñiều không thể. Gần ñây, trong nhiều kì thi tuyển
sinh ñại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài
toán không liên quan tới hình học nhưng ñược giải bằng phương pháp tọa
ñộ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Hoặc ñó là các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị. Điều ñó
ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa
ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”.
Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tôi ñã có ñiều kiện củng cố
lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích.


) có cơ sở (
,
i j
 
) gồm hai
vectơ ñơn vị vuông góc với nhau ñược gọi là hệ
tọa ñộ trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa ñộ
Descartes vuông gãc). KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1).
1.2. Tọa ñộ vectơ- Tọa ñộ ñiểm
Đối với hệ trục tọa ñộ (O;
i

,
j

), nếu vectơ
a

ñược Hình 1.1
viết dưới dạng:
a

=
xi y j
+
 
thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ
a

.

, y
A
); B(x
B
, y
B
) Ta có:


a

=
b


1 1
2 2
a b
a b





=
=


a




a

=
2 2
1 2
a a
+


AB=
( )
( )
2
2
y y
x x
B A
B A
− + −


1 2 2 1
a b a b a b
⇔ =



.

=
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
ab a b
a a b b
+
+ +
.

1.4. Các công thức liên quan

§iÓm M(
,
x y
M M
)chia ñoạn AB theo tỉ số k

-1

MA kMB
=




1
1
x kx

)

là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB
1
2
1
2
x x
B
A
x
y y
B
A
y







+
=

+
=


Phương trình ñường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A
2
+ B
2


0.
§ường thẳng cho bởi (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn
n

= ( A, B); vect¬ chØ
ph−¬ng
u

(-B, A).

Đường thẳng ñi qua ñiểm M (
0 0
,
x y
) và có vect
ơ pháp tuyến
n

=( A, B)
có phương trình là: A(x- x
0
) + B( y- y
0

u

( a, b) là:
0 0
x x y y
a b
− −
=
.

Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (
0 0
,
x y
) và có hệ số góc k
cho
tr
ước: y = k(x- x
0
) + y
0
. 6

6

a
a'

ng th

ng
cắt nhau: (d
1
):
1 1 1
0
Ax B y C
+ + =
v ủng thng (d
2
):

2 2 2
0
A x B y C
+ + =
.

Khi ủú mi ủng thng ca chựm cú phng trỡnh dạng:

(
)
1 1 1 2 2 2
( ) 0
Ax B y C A x B y C

.

Góc giữa hai đờng thẳng
Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (a) có
phơng trình: Ax + By +C = 0 và (a) có
phơng trình: Ax + By +C = 0. Khi đó:
góc

giữa hai đờng thẳng (a) và (a) đợc
tính theo công thức: cos

=
2 2 2 2
' '
. ' '
AA BB
A B A B
+
+ +
.
Hỡnh 1.2
Nh vậy: 2 đờng thẳng (a) và (a) vuông góc với nhau
' ' 0
AA BB
+ =
.

Đờng tròn có tâm I( a, b); bán kính R > 0 có phơng trình là:
(x- a)
2


7

+ Đối với hệ trục tọa ñộ (O;
i

,
,
j k


),nếu vectơ
a

ñược viết dưới dạng:
a

=
xi y j zk
+ +

 
thì
cặp số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ
a

,
kí hiệu:
a


1 1 1
, ,
x y z
);
2
M
(
2 2 2
, ,
x y z
).
Ta có:

a

+
b

= (
1 1 2 2 3 3
, ,
a b a b a b
+ + +
).

(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
a b a b a b a b

2 2 2 2
, ,
M x y z
là ñộ dài
của vectơ
1 2
M M

, ñược xác ñịnh bởi: d =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
− + − + −
.

Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M
1
M
2
theo tỉ số k:
1 2
MM kMM
=
 

ñược xác ñịnh bởi công thức:
1 2
1 2
1 2



Đặc biệt: Nếu k= -1 thì M là trung ñiểm của ñoạn thẳng M
1
M
2
. Khi ñó
tọa ñộ của ñiểm M là:
( , , )
2 2 2
x x y y z z
B B B
A A A
M
+ + +
. 8

8

A
B
C
D
A

u v x x y y z z
= + +

.

Đặc biệt:
u



v

. 0
u v
=

.
Nếu
0
u



,
v

0


thì: cos(

)
1 1 1
, ,
u x y z

v
(
)
2 2 2
, ,
v x y z

kớ hi

u l
,
u v
l m

t vect

xỏc

nh b

i:



n


, 0
u v=


.

,
u u v

v
,
v u v
, . .sin
u v u v

ku v u kv k u v


= =


k

R.

, , ,
u v t u v u t


+ = +
Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ
u

,
v

,
t

đồng phẳng là:
, 0
u v t

2
S AB AC
ABC=


.
hay:
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
y y z z z z x x x x y y
S
ABC
y y z z z z x x x x y y

= + +

Thể tích hình hộp dựng trên 3 vectơ
AB

,
AD

,



.

Điểm G là trọng tâm

ABC
khi và chỉ khi:
G =
( , , )
3 3 3
x x x y y y z z z
B B B
A C A C A C
+ + + + + +
.

Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi:
G =
( , , )
4 4 4
x x x x y y y y z z z z
B D B D B D
A C A C A C
+ + + + + + + + +
.

Vectơ
0
n


Một số trờng hợp đặc biệt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0).
mp: Ax + Cz+D = 0 song song với Oy.
mp: Ax+ D = 0 song song với mp(yOz).
mp: x= 0 là mp(yOz).

ABC

,
n AB AC=



là vectơ pháp tuyến của mp(ABC).

Phơng trình
1
x y z
a b c
+ + =
đợc gọi là phơng trình đoạn chắn của
mặt phẳng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c

0).
Vị trí tơng đối của 2 mặt phẳng- Chùm mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P): Ax+ By+ Cz+ D= 0.
Khi đó: (P)


M
Mo
d
d'
u
u'
Nếu (P) cắt (P) theo đờng thẳng (

) thì mọi mặt phẳng qua (

) có phơng
trình:

(Ax+ By+ Cz+D) +
à
(Ax+ By+ Cz+ D)=0, (
2 2
0
à
+
).
Phơng trình của đờng thẳng:
Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P): Ax+ By+ Cz+ D= 0,
(P)

(P)= (

). Khi đó phơng trình tổng quát của (


=

là vectơ chỉ phơng của ().

Đờng thẳng (

) qua điểm M(
0 0 0
, ,
x y z
) có vectơ chỉ phơng
( , , )
u a b c


có: + Phơng trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct





= +
= +
= +

. Khi
đó:
+ d và d đồng phẳng


0
, ' 0
u u MM=



.
+ d cắt d

0
, ' 0
: : ': ': '
u u MM
a b c a b c







=

0 0
'
M M

).
+ d

d

u

;
'
u

;
0 0
'
M M

cùng phơng. 11

11

u
u'
d1

Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Cho đờng thẳng (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct





= +
= +
= +
qua M(
0 0 0
, ,
x y z
) có vectơ chỉ phơng
( , , )
u a b c

và mp(P): Ax + By + Cz + D=0 có vectơ pháp tuyến
( , , )
n A B C
=



+ +
+ + +

Khoảng cách
Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M
0
(
0 0 0
, ,
x y z
).
Khi đó khoảng cách từ M
0
tới (P) đợc xác định nh sau :
0 0 0
0
2 2 2
Ax
( ,( ))
By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
.
Cho điểm M
1
và đờng thẳng (d) đi qua M
0

x x at
y y bt
z z ct





= +
= +
= +
(d
2
):
0
0
0
' '
' '
' '
x x a t
y y b t
z z c t





= +
= +

1 1 1 1
' ' '
, ', '
' ' '
( , )
, '
' '
' ' ' '
a b c
a b c
u u M M
x x y y z z
d d d
u u
c a
b c a b
c a
b c a b
= =
+ +




.
Góc


2 2 2
0
A B C
+ +
),
( , , )
n A B C
=

và (P): Ax + By + Cz + D = 0
(
2 2 2
' ' ' 0
A B C
+ +
),
' ( ', ', ')
n A B C
=

.
Khi đó: Góc

giữa (P) và (P) đợc tính theo công thức:
cos

=
2 2 2 2 2 2
' ' '
. ' ' '

= +
= +
= +
, (
2 2 2
0
a b c
+ +
). 13

13

Khi ®ã: gãc
ϕ
gi÷a (d) vµ (P) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:
sin
ϕ
=
2 2 2 2 2 2
.
Aa Bb Cc
A B C a b c
+ +
+ + + +
, 0

ϕ

14

14

A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
y
z
a
b
c
x
Chng 2: Một số lớp bài toán giảI bằng phơng pháp
toạ độ
2.1. Cỏc bi toỏn tớnh toỏn

.
Do đó: d(CD, BD) = d[C, (ABD)]= 15

15

A
B
C
x
y
M
N
P
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 0 1
1 1 1
abc
a b b c c a
a b c
+ +
=
+ +
+ +
.
Vậy khoảng cách giữa BD và CD bằng

Do đó:
BM kMC
CN kNA
AP kPB







=
=
=






1
1
1
1
1 1
CM CB
k
k
CN CA
k

( , )
1 1
M
k
k
N
k
k
P
k k









+

+
+ +

1
( , )
1
k
MN
k k

2
1 1
1 1 (1 )
k k
MN
k k k
+
= + =
+ + +

;
2
2
2
2
2
1 1
1 1 (1 )
k k
CP
k k k

là đờng thẳng đi qua
đỉnh S và trung điểm E của cạnh BC, d
2
là đờng thẳng đi qua C và trung
điểm D của cạnh AB. Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng d
1

d
2
.
Gii:
Chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz sao cho: O

C, các điểm D, S
lần lợt nằm trên các trục Oy, Oz (Hỡnh 2.3). Khi đó: Ox

AB. Ta có:
C(0, 0, 0); D(0,
3
a
, 0); B(a,
3
a
, 0); E(
2
a
,
3
2
a

cos(
SE

,
CD

) =
2
3
6
2
4
3. 2
a
a a
= .
Vậy góc giữa 2 đờng thẳng SE và CD là góc
thoả mn: cos(
SE

,
CD

)=
6
4
.
Để tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng
SE, CD ta lập phơng trình mp(P) chứa CD
và song song với SE.

= =




= (
2
3
a
, 0, -
2
3
2
a
).
Do đó phơng trình mp(P) là:
2
3
a x-
2
3
2
a
z =0. Từ đó ta có:
17

17

2.2. Cỏc bi toỏn gii phng trỡnh, h phng trỡnh

Phơng pháp giải:
+ Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
u v u v
+ +

dấu = xảy ra

.
u k v
= (
k

>0),

u v u v



dấu = xảy ra

.
u k v
=

(k > 0)

( 1) 9 ( 3) 4
u v x x
+ = + + + +

. Mặt khác:
( 1 3 ,3 2) (4,5)
u v x x
+ = + + + =

2 2
4 5 41
u v + = + =

.
Mà:
u v u v
+ +

nên:
2 2
2 10 6 13 41
x x x x+ + + +
.
Dấu = xảy ra
u kv
=

với k > 0 nên :
1 3
2 2 9 3

2 2
2 2
6 8 0 (1)
2 1 0 (2)
x y x y
x y mx





+ + =
+ =

Giải:
Phơng trình (1) là phơng trình đờng tròn(C), tâm I
1
(
1
2
, 3); bán kính
R
1
=
5
2
. Phơng trình (2) là phơng trình đờng tròn (C), tâm I
2
(m, 0); bán
kính R


+
, R
1
+ R
2
=
5
2
+
2
1
m
+
, nên ta có:

2
2
1
3
2
m
+
=
5
2
+

m m
+ =

2
11
2
m
m





=

=

Vậy có hai giá trị m = 2, m = -
11
2
để hai đờng tròn đ cho tiếp xúc ngoài
nhau.
+ Trờng hợp 2: (C) và (C) tiếp xúc trong: Tức là: I
1
I
2
=
1 2
R R


2
11
2
m
m





=

=

Vậy có hai giá trị của m để hệ đ cho có nghiệm duy nhất. 19

19

A
B
C
O
x
y
1
2
-2

y
x
x y






=
+ =
(I)

Hỡnh 2.4

(I) là nửa phía trên trục Ox của đờng tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 2 có
phơng trình:
2 2
4
x y
+ =
.
Xét: y=
2
mx m
+
(2) là đờng thẳng () có hệ số góc k= m và với mọi giá
trị của m đờng thẳng () luôn đi qua điểm A(1, 2).
Vậy phơng trình đ cho có nghiệm khi đờng thẳng (): y=
2

=
2
3
, h
s gúc ca ủng thng AC: k
AC
= -2.
Vy: Phơng trình có hai nghiệm khi

0 < m <
2
3
; -2 < m <
4
3

.
Phng trỡnh cú 1 nghim khi
2
3
< m; m< -2.
2.3. Cỏc bi toỏn gii bt phng trỡnh, h bt phng trỡnh

Sử dụng bất đẳng thức vectơ: .
u v u v


; .
u v u v


D
2
2
C
A
x+ m- 2= 0
x= m
I
-2
-2
Giải:
Tập xác định: x
3 50
,
2 3
.
Trong khụng gian Oxyz chọn:
u

= (
1
x
+
,
2 3
x



12 và
.
u v
=1 2 3 50 3
x x x
+ + +
.

.
u v
.
u v

hay
1 2 3 50 3 12
x x x
+ + +
.
Vậy bất phơng trình đúng với
3 50
,
2 3
x

x m x m
x m





+
+

Xét hệ toạ độ Oxm, ta có:
+ Các điểm M(x, m) thoả mn (1) thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi 2
đờng thẳng x- m = 0 và x- 2+ m= 0.
+ Các điểm M(x, m) thoả mn (2) thuộc phần trong hình tròn tâm O(0, 0)
bán kính R= 2 (kể cả đờng viền).
+ Các điểm thoả mn hệ thuộc miền gạch trong hình vẽ 2.5, với toạ độ A, D
là nghiệm của hệ:
2 2
0
( 2, 2)
4
( 2, 2)
x m
A
x m
D



21

Chiếu 2 cung AB và CD lên Om ta đợc:
I
m
2,2=
.
Vậy: a) Hệ có nghiệm khi m


2,2
.
b) Hệ có đúng một nghiệm khi:
2 0 2 2
m m
< < <
.
c) Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi:
0 2
m< < .
2.4. Cỏc bi toỏn chng minh bt ủng thc

Phơng pháp giải:

u b a c u b a c
= = + +

2 2
( 1, ) ( 1) ( )
v b c a v b c a
= = +

;
Ta có:
( 2,0) 2
u v u v
+ =

+ =

;
2 2 2 2
( 1) ( ) ( 1) ( )
u v b c a b c a
+ = + + + +

;
Mà:
u v u v
+ +

nên:
2 2 2 2
( 1) ( ) ( 1) ( ) 2

2 2
1
x y
+ =
.
Vì c+ d= 3, gọi N(c, d) thì N

(d): x+ y- 3 = 0.
22

22

O
y
J
x
3
3
1
1
-1
(d)
I

( , )
MN c a d b


MN cd ac bd
= +
10 2( )
cd ac db
= + +
. Hỡnh 2.6

2
10
2
MN
ac bd cd

+ + = .
Do ủú:
ac bd cd
+ +
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MN đạt giá trị nhỏ
nhất.
Vậy MN là đoạn IJ vuông góc với (d), đờng IJ là phân giác của góc phần
t thứ nhất nên I
2 2
( , )
2 2
; J(
3 3
,

2 3
;
2 2
a b c d
= = = =
.
2.5. Cỏc bi toỏn tỡm cc tr

Phơng pháp giải:
Bớc 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp biểu diễn các điểm cần thiết qua hệ
tọa độ.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tợng cần tìm cực trị.
Bớc 3: Lựa chọn phơng pháp tìm cực trị: Phơng pháp tam thức bậc
hai, sử dụng bất đẳng thức hoặc sử dụng đạo hàm.
Bài 11. Cho các số thực x, y, z thoả mn: x+ 2y+ z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P=
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
x y z x y z + + + + + .
Giải: 23

23

A
B
M
I

đờng thẳng (d) là:
1
1 2
1
x t
y t
z t





= +
= +
= +

Gọi I= (d)

(P)

Tọa độ của I là nghiệm của hệ:
1
1 2
1
2 0
x t
y t
z t
x y z


7 11 7
, ,
3 3 3
).
24

24


Đờng thẳng AB đi qua B(2, 2, 2) nhận
u

(7 ,11, 7) làm vectơ chỉ
phơng có phơng trình là:
2 7
2 11
2 7
x t
y t
z t





= +
= +

.
Vậy điểm M
4 4 4
, ,
9 9 9

là điểm cần tìm. Khi đó: AB=
219
3
.

Giá trị nhỏ nhất của P là:
219
3
khi x= z=
4
9
, y=
4
9

.
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=

u v


=
2(2 2sin( ))
4
a x

+ +
.
4 2 2
A a + .
Dấu =xảy ra khi và chỉ khi:
1 1
cos
sin
a x
a x
=
+
+

cos
sin( ) 1
4
sinx x
x





25

A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
x
y
z
M
2a
a
M(x, y)
B(1, 0)
x
y
A
O
H
Bài 13. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD cạnh đáy dài gấp
đôi chiều cao. Điểm M trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc


=


0
( )
'. '
0
'. ' '. '
x a
MA MC
MA MC MA MC

= Vậy max

=90
0


x
0
= a.

M là trung điểm của AB.
Vậy giá trị lớn nhất của góc

là:

=90
0
.

x y x x y + = + +
.


Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học © DMCA.com Protection Status