Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
TÓM TẮT KHÓA LUẬN
"Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Khóa luận chia làm ba phần chính:
I. PHẦN MỞ ĐẦU(4 TRANG).
II. PHẦN NỘI DUNG(58 TRANG).
III. PHẦN KẾT LUẬN(1 TRANG).
Phần nội dung của khóa luận được chia làm 3 chương:
Chương I: Kiến thức liên quan.
1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng.
1.2 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxy.
1.3 Phép toán vectơ trong mặt phẳng.
1.4 Các công thức trong mặt phẳng.
1.5 Khái niệm hệ tọa độ trong không gian.
1.6 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxyz.
1.7 Các phép toán vectơ trong không gian.
Chương II: Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ.
2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán.
2.2 Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm cố định.
2.3 Bài toán quỹ tích.
2.4 Bài toán dựng hình.
2.5 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình.
2.6 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình.
2.7 Bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2.8 Bài toán cực trị.
Chương III: Một số bài tập vận dụng.
Ngoài ra khóa luận còn có:
PHẦN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 1 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp

V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng của
phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và các bạn bè,
anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học,
kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và
các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 2 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Phần II: NỘI DUNG
Phần này, em tập trung nhắc lại những kiến thức liên quan trong hệ tọa độ phẳng và hệ
tọa độ không gian: khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, của một vectơ, phép toán vectơ
(các phép cộng, trừ, tích của các vectơ), các công thức ( công thức trung điểm, trọng tâm,
điểm chia đoạn thẳng, công thức tính góc,khoảng cách), các công thức liên quan về phương
trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng,phương trình đường tròn và xét vị trí tương đối.
Ngoài ra đề cập đến một số ứng dụng về phép toán vectơ có sử dụng trong khóa luận. Trong
bản tóm tắt này, em chỉ xin trình bày một số kiến thức sử dụng nhiều trong khóa luận:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 3 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 1
Kiến thức liên quan
A. HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG
1.3 Phép toán vec tơ
Trong mục này, ta cần chú ý hai phép toán sau:
a//

b⇔a = k



x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
,t ∈ R
và có phương trìh chính tắc là:
x −x
0
a
=
y −y
0
b
.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
) là:
x −x
A
x
B

= 1 ( còn gọi là phương trình đoạn chắn).
Cho đường thẳng d có phương trình dạng: Ax + By +C = 0 hoặc y = kx +m .
+ Đường thẳng song song với d có phương trình dạng: Ax+By+M = 0 hoặc y = kx +m.
+ Đường thẳng vuông góc với d có phương trình dạng: Bx−Ay+N = 0 hoặc y = −
1
k
x+n
4
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phương trình:
(x −a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
hay x
2
+ y
2
−2ax −2by + c = 0
với c = a
2
+ b
2
−R
2
.
Phương tích của một điểm đối với đường tròn:

1
) : x
2
+ y
2
−2a
1
x −2b
1
y +c
1
= 0 và (C
2
) : x
2
+ y
2
−2a
2
x −2b
2
y +c
2
= 0.
Phương trình trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) có được bằng cách trừ hai phương trình
của hai đường tròn vế theo vế:

+ a
3
b
3
.
Đặc biệt, nếu a⊥

b ⇔a.

b = 0.
+Tích vectơ( hay tích có hướng)
c = a ∧

b =






a
2
a
3
b
2
b
3



a
2
b
1
b
2






.
Các tính chất a ∧

b = −(

b ∧a).
a và

b cùng phương ⇔a ∧

b =

0.
(a ∧

b) ⊥a và (a ∧

b) ⊥

1
2
|

AB ∧

AC |.
Gọi V ABCD.A

B

C

D

là thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 5 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
V
ABCD.A

B

C

D

=| (


0
) có vectơ pháp tuyến n(A,B,C) có phưng trình là:
A(x −x
0
) +B(y −y
0
) +C(z −z
0
) = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: Ax + By +Cz +D = 0 (A
2
+ B
2
+C
2
> 0).
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
với abc = 0 thì (P) có phương trình theo đoạn chắn là:
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(x
0

z +D
1
= 0
A
2
x +B
2
y +C
2
z +D
2
= 0
trong đó: A
2
1
+ B
2
1
+C
2
1
= 0; A
2
2
+ B
2
2
+C
2
2

2
z +D
2
= 0
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 6 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 2
Một số dạng bài toán giải bằng phương
pháp tọa độ
2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán
2.1.1 Phương pháp giải
Đối với bài toán hình học muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa các bước giải
cần tuân thủ theo các bước sau:
B
1
. Chọn hệ tọa độ thích hợp
Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng vuông góc
với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Trong không gian, thông thường chọ hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz là tam diện
vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông. Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
thích hợp.
B
2
.Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn. Tìm phương trình
đường, mặt, các đường và các mặt đã cho.
B
3
. Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải.
2.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006)

;
a
√
2
2
; 0),M(0;
a
√
2
2
; 0) và I(
a
3
;
a
√
2
2
; 0), vì I là trọng tâm của ∆ABD.
*) Chứng minh: (SBM) ⊥SAC).
Ta có
−→
BM = (−a;
a
√
2
2
; 0),
−→
AC = (a; a

√
2
2
;
a
2
)
⇒

−→
AB,
−→
AN

= (0; −
a
2
2
;
a
2
√
2
2
).
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là: V =
1
6



Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
2.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 3
Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chử nhật có chu vi không đổi, A, C là hai điểm thuộc
Ox, Oy. Chứng minh rằng đường d vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi
qua một điểm cố định.
Hướng dẫn
- Bài toán này có dáng dấp của một bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận tiện
khi ta đại số hóa bằng phương pháp tọa độ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ là Oxy trùng với góc Oxy.
Lời giải:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ).
- Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a; 0),B(a;c),C(0; c).
Đặt a +c = b = const ( vì chu vi OABC không đổi).
Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:
x
a
+
y
c
= 1 ⇔y =
−c
a
x +c.
Phương trình đường thẳng d qua B(a; c) và vuông góc với AC có dạng:
y −c =
a
c
(x −a) ⇔y =

c
⇔
a
c
(x
0
−b) −(y
0
−b) = 0, ∀
a
c
⇒

x
0
−b = 0
y
0
−b = 0
⇔

x
0
= b
y
0
= b
Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua điểm cố định M(b; b). (đpcm)
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 9 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50

2
⇒ x
2
+ y
2
= 4[(1 −2x + x
2
) +y
2
]
⇔ (3x
2
−8x +4) + 3y
2
= 0 ⇔

x −
4
3
)
2

+ y
2
=

2
3

2

kính vuông góc của đường tròn.
Giả sử hình chữ nhật cần dựng có các cạnh có độ dài lần lượt là: a, b thỏa mãn: a+b =
p(a > b > 0).
Ta sẽ có:





a
2
+ b
2
= 4R
2
a +b = p
a > b > 0
⇒







a =
p +

8R
2

Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
2.5 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình
2.5.1 Phương pháp giải
- Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
|u +v | |u | + |v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔u = kv (k > 0)
|u −v | |u | −|v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔u = kv (k > 0)
- Với mỗi phương trình, hệ phương tr ình đều cho ta mỗi phương trình là phương rình
của 1 đường vì vậy tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình là tìm giao điểm của hai
đường, hoành độ và tung độ của giao điểm là nghiệm của phương trình.
2.5.2 Các ví dụ
Ví dụ 8
Giải phương trình:
√
x
2
+ 2x +10 +
√
x
2
−6x +13 =
√
41 (∗)
Lời giải:
(∗) ⇒

(x +1)
2
+ 9 +


7
5
.
Ví dụ 9
Tìm m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất

x
2
+ y
2
−x −6y + 8 = 0 (1)
x
2
+ y
2
−2mx −1 = 0 (2)
Lời giải:
Phương trình (1) là phương trình đường tròn có tâm I
1

1
2
; 3

,R
1
=

5
4

m −
1
2

2
+ 3
2
,R
1
+ R
2
=
√
5
2
+
√
1 +m
2
Để (C
1
) tiếp xúc ngoài (C
2
) ⇔ I
1
I
2
= R
1
+ R

2
+ 1)
⇔

5(m
2
+ 1) = 7 −m ⇔ 5(m
2
+ 1) = 49 −14m +m
2
(m  −7)
⇔ 2m
2
+ 7m −22 = 0 ⇒


m = 2
m = −
11
2
( tmđk m  7)
Vậy có hai giá trị m = 2,m = −
11
2
để hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài nhau.
Trường hợp b. (C
1
),(C
2
) tiếp xúc trong

1 +m
2





⇔ 2m
2
+ 7m −22 = 0 ⇒


m = 2
m = −
11
2
Vậy có hai giá trị của m để hệ đã cho cho có nghiệm duy nhất.
2.6 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình
2.6.1 Phương pháp giải
* Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
uv  |u ||v |; |u +v | |u | + |v |
|u −v | |u | −|v |; |u +v +w | |u | + |v |+ |w |
ax +by + c < 0:
+ Với b > 0 ⇒ y  −
ax
b
−
c
b
.

√
x
2
+ x + 1 −
√
x
2
−x + 1  1. (*)
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 13 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:
Tập xác định: D ≡ R
(∗) ⇔





x +
1
2

2
+

√
3
2



⇒ |u |=





x +
1
2

2
+

√
3
2

2
.
v =

x −
1
2
;
√
3
2


2.7 Bài toán chứng minh bất đẳng thức
2.7.1 Phương pháp giải
* Sử dụng các công thức:
uv  |u ||v |; |u+v | |u |+ |v |
|u −v | |u | −|v |;|u +v +w | |u | + |v |+ |w |
* Chú ý cần chọn các vectơu,v; so sánh |u ||v | với tích vô hướng của hai vectơu,v.
2.7.2 Các ví dụ
Ví dụ 14
Chứng minh:
1.x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2


x
2
1
+ y
2
1
+ z

+ y
2
1
+ z
2
1
).(x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
)
( Bất đẳng thức Bunhiacôpxky).
Lời giải:
Trong không gian chọn:
u = (x
1
; y
1
; z
1
)
v = (x
2
; y
2

x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2


x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
.

x
2
2
+ y
2
2
+ z

1
).(x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
)
Ví dụ 16
Chứng minh rằng ∀x,y ∈ R ta luôn có:

x
2
+ 10x +4y
2
+ 28y +74 −

x
2
−6x +4y
2
+ 4y +10  10.
Lời giải:
Từ phương trình đã cho ta biến đổi vế trái, ta được:

x
2

+ (2y +1)
2
u −v = (8,6) ⇒ |u −v |= 10
Theo tính chất: |u −v | |u | −|v |
⇔

x
2
+ 10x +4y
2
+ 28y +74 −

x
2
−6x +4y
2
+ 4y +10  10( đpcm)
2.8 Bài toán cực trị
2.8.1 Phương pháp giải
* Sử dụng các bất đẳng thức vectơ:
uv  |u ||v |; |u+v | |u |+ |v |
|u −v | |u | −|v |;|u +v +w | |u |+ |v |+ |w |
* Chọn hệ tọa độ, các vectơ thích hợp.
* Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng tìm cực trị.
* Lựa chọn phương pháp tìm cực trị: phương pháp tam thức bậc hai, sử dụng bất đẳng
thức hoặc sử dụng đạo hàm.
2.8.2 Các ví dụ
Ví dụ 18
Cho ba số dương x, y, z và x +y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
u =

x,
1
x

⇒ |u |=

x
2
+
1
x
2
;
v =

y,
1
y

⇒ |v |=

y
2
+
1
y
2

2
+
1
x
2
+

y
2
+
1
y
2
+

z
2
+
1
z
2
≥

(x +y +z)
2
+

1
x
+

x
+
1
y
+
1
z

2
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
81(x +y +z)
2
+

1
x
+
1
y
+
1
z

2
≥ 2.9(x + y + z)

1
x
+

+
1
z

2
≥
√
2.81 −80 =
√
82
Vậy: ⇒

x
2
+
1
x
2
+

y
2
+
1
y
2
+

z
2

2
+
1
z
2
là MinP =
√
82 ⇔ x = y = z =
1
3
.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 16 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 3
Một số bài t ập vận dụng
Trong chương này, em đưa ra 21 bài tập có lời giải liên quan đến các dạng bài vừa nêu,
bổ sung, làm rõ và phong phú thêm các dạng bài; đồng thời em cũng đưa ra 10 bài tập tự giải
đầy đủ các dạng nhằm giúp người đọc tự thử sức bản thân sau khi tham khảo khóa luận
17
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua các bài toán trên, cũng đủ để thấy hết những ưu điểm, nhược điểm của phương pháp
tọa độ. Và tất nhiên, cũng là vừa đủ để chúng ta có thể thấy việc chọn hệ tọa độ như thế nào
là thích hợp.
Muốn giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ, ta cần chọn hệ trục tọa độ sao cho hình
vẽ của hình vẽ của chúng ta dễ quan sát tốt nhất trên hệ trục đó, việc tính toán cũng dơn giản
nhất. Để chọn được một hệ tr ục tọa độ tốt, chúng ta cần căn cứ vào các yếu tố cố định của
bài toán đã cho.
Tuy nhiên, khi đã chọn được hệ trục tọa độ tốt rồi, cũng cần phải có phương pháp tính và
kĩ năng tính tốt, thì việc giải một bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ mới trở nên đẹp

9. Nguyễn Phương Thảo, (2009), Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc
giải toán ở trường THPT, khóa luận tốt nghiệp trường ĐH Hùng Vương.
10. Các trang web: vnmath.com.vn; vuptnk.tk; pdanghai.wordpress.com; ; các diễn đàn
toán học.v.v
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 19 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50