i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS.TS. Tống
Đình Qu ỳ. Các kết quả được viết chung với các tác giả khác đã được sự
nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào
trước thời gian công bố.
Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014
Tác giả của luận án
Trần Thị Ngân
ii
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy
hướng dẫn, GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS. TS. Tống Đình Quỳ. Em vô
cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình , quí báu mà các thầy đã dành cho em
trong suốt quá trình thực hiện luận án. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp
đỡ, góp ý của PGS.TS Bùi Khởi Đàm, TS. Trần Cảnh. Các thầy đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn và chỉ bảo cho em những vấn đề có liên quan
đến luận án để em có thể hoàn thiện như ngày hôm nay.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các cán bộ nghi ên cứu thu ộc
Viện Toán ứng dụng và tin học. Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy
cô thuộc Viện đ ào tạo sau đ ại học trường Đại học Bách Khoa H à Nội đã
tạo một môi trường làm việc hết sức thuận lợi giúp em thực h iện tốt công
việc nghiên cứ u của mình.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường đại học Công
nghệ thông tin và Truyền thông, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản,
đã hết sức tạo đ iều kiện về thời gian và công việc để em có thể tập trung
hoàn thành quá trình học tập, nghiên cứu của mình. Đồng thời, em xin
gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ em
trong suốt quá trình nghiên cứu.

Chương 3
Giải một loại bài toán Mayer không lồi mở rộng với ràng
buộc trạng thái 67
3.1 Đặt bài toán và một số chú ý mở đầu . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Sự hội tụ của d ãy điều khiển tựa tối ưu . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Quy trình Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Chương 4
Áp dụng vào mô hình hợp lý cực đại 108
4.1 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Mô hình hợp lý cực đại ước lượng tham hàm . . . . . . . . . . 113
4.3 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa ước lượng tham số . . . . 120
4.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Kết luận chung 129
Danh mục các công trình đã công bố của luận án 130
Tài liệu tham khảo 131
Phụ lục: Phần code các chương trình chính 136
v
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
PTVP phương trình vi p hân
ĐKTƯ điều khiển tối ưu
PPMC phương pháp Monte Carlo
QHĐĐ quy hoạch đo được
DTNN dò tìm ngẫu nhiên
XXTT xấp xỉ tu yến tính
HLCĐ hợp lý cực đại
CNĐ chấp nhận được
TƯ tối ưu
vtnn vec tơ n gẫu nhiên
đlnn đại lượng ngẫu nhi ên

Hình 4.6: Đồ thị hàm g(s) = g(s; u), u = u
(r)
= u
(100.000)
= 0.182
1
MỞ ĐẦU
Các bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) dạng tất định (determi nistic op-
timal control) xuất hiện trên quốc tế đã quá nửa thế kỷ nay, gắn với tên
tuổi của Pontriagin (1959), Bellman (1957) và với nh ững mô hình ứng dụng
phong p hú trong điều khiển học của nhiều lãnh vực kỹ thuật và quản lý
kinh tế. Trong bài toán này, vào mỗi thời điểm t ∈ [t
o
, T ] ⊂ R
1
(thời gian
điều khiển) đ ối tượng được điều khiển y( t) ∈ R
n
(gọi là biến trạng thái)
liên hệ với yếu tố điều khiển u(t) ∈ R
m
(gọi là biến điều khiển) bởi 1 hệ
phương trình vi phân (PTVP) thường (h oặc đạo hàm riêng) theo ẩn hàm
y(t) (t
o
≤ t ≤ T) (gọi là hệ động lực) và biến điều khiển có thể không phụ
thuộc biến trạng thái (gọi là điều khiển theo chương trình - programme
control) hoặc phụ thuộc biến trạng thái u(t) = u

t; y(s)

các bài toán cực đại cần giải trong nguyên lý Pontryagin, ta có thể chọn
biến điều khiển thuộc lớp h àm bậc thang (hoặc tuyến tính từng khúc) trên
[t
o
, T ] với lưu ý rằng: Do hàm mục tiêu trong các bài toán cực đại là hàm
lõm (theo u) trên miền lồi, nên ta có thể sử dụng công cụ của quy hoạch
lồi (xem, chẳng hạn [40]) để giải bằng số các bài toán đặt ra.
Khi vượt ra ngoài khuôn khổ của những bài toán điều khiển lồi nói trên,
nguyên lý Pontryagin (trong dạng điều kiện cần của điều khiển "tối ưu")
cũng đã được phát biểu ([21] tr.231-232) cho bài toán điều khiển không có
tính lồi và không có điều kiện ràng buộc, với hàm mục tiêu có dạng Mayer
và biến điều khiển thuộc lớp những hàm liên tục từng khúc. Tuy nhiên,
do bài toán điều khiển (theo chương trình) này không có tính lồi và do
nguyên lý cực đại nói trên chỉ là điều kiện cần, nên khái niệm "tối ưu"
trong trường hợp này chỉ được hiểu theo nghĩa địa phương (không phải là
tối ưu toàn cục). Ngoài ra, do bài toán cực đại trong nguyên lý Pontryagin
nói chung không có dạng của bài toán quy hoạch lồi nên phải dùng phương
pháp Monte Carlo [13] (tr.271-309) để giải nó.
- Phương pháp ẩn : Phương ph áp này thường sử dụng cho bài toán điều
khiển tổng h ợp Mayer có biến trạng thái hoặc điều khiển là bình phương
khả tích và có điều kiện ràng buộc đối với biến trạn g thái. Cơ sở của phương
pháp ẩn dùng để giải bài toán này là nguyên l ý quy hoạch động Bellman
[29] (Mục IV.3), mà liên quan đến việc thiết lập các bài toán cực đại trong
nguyên lý này ta cần giải phư ơng trình quy hoạch động (trong dạng phương
trình đạo hàm riêng đối với ẩn hàm Bellman. Larson (1968) và L amarechal
(1972) đã dùng phương pháp lưới (sai phân) [21] (tr.184-185) để giải quyết
3
vấn đề này nhưng cũng gập nhiều khó khăn, khi phải nội suy kết quả tính
toán trên lưới nhất là khi số chiều n lớn; thậm chí có khó khăn không khắc
phục được như trường hợp n ≥ 4. Michailevich và Shor đã tránh được

o
, T ] bởi lưới điểm cách
đều {t
n
:= t
o
+ nh}
N
n=0
với bước lưới h và thay thế đạo hàm (thường hoặc
riêng phần) trong hệ động lực của bài toán ĐKTƯ (trong mô hình liên tục)
bởi sai phân tương ứng, ta có thể rời rạc hóa hệ động lực nói trên thành
phương trình sai phân (gọi là hệ động lực rời rạc) và rời rạc hóa bài toán
ĐKTƯ thành mô hình ĐKTƯ rời rạc ứng với bài toán ĐKTƯ ban đầu.
Trong những điều kiện nhất định về hàm mục tiêu và hệ động lực của bài
toán Mayer (có hoặc không có ràng buộc trạng th ái), người ta đã chỉ ra [27]
(tr.12-33) sự hội tụ (theo mục tiêu) của hàm điều khiển hằng từng khúc
(còn gọi là điều khiển bậc thang (BT)) lập từ lời giải bài toán rời rạc về lời
giải của bài toán ĐKTƯ (liên tục) tương ứng. Khi đó, nếu bài toán ĐKTƯ
có tính lồi thì bài toán rời rạc tương ứng là 1 bài toán quy hoạch lồi và ta
có thể dùng các phương pháp sai phân trực tiếp, như gradien, hướng có thể,
Errou - Gurvitz [27] (tr.83-90) của quy hoạch phi tuyến để giải bài toán
điều khiển rời rạc này. Ta cũng cũng có thể sử d ụng các phương pháp của
quy hoạch n gẫu nhiên nh ư: phạt ngẫu nhiên [26](tr.212-214), tựa gradient
ngẫu nhiên [26] (tr.101-104) để giải nó. Ngoài ra, người ta còn dùng các
phương pháp sai phân gián tiếp để giải bài toán trên dựa vào ngu yên lý cực
đại rời rạc [27] (tr.61-83).
- Phương pháp Mont e Carlo (PPM C) :
+ Trong các bài toán ĐKTƯ có tính lồi, phương ph áp TSH hàm điều khiển
đã được sử dụng kết hợp với việc mô phỏng nghiệm của hệ động lực (tuyến

đó: Phương trình vi phân với đạo hàm suy rộng và mô hình hợp lý cực đại
dùng để đặt bài toán ĐKTƯ từ 1 thực tế ứng dụng, các phương pháp số
trong ĐKTƯ và mô hình dò tìm n gẫu nhiên dùng để giải bài toán.
Chương 2 : Thiết lập mô hình rời rạc của bài toán Mayer không có tí nh lồi,
trong ngữ cảnh hệ động lực là PTVP (th ường và đạo hàm riêng) với đạo
hàm suy rộng và các giả thiết về tính Lipschitz theo tất cả các biến (trạng
thái, điều khiển và thời gian) củ a hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng
thời chỉ ra sự hội tụ (theo mục tiêu) của điều kh iển BT lập từ ĐKTƯ
6
trong bài toán rời rạc về ĐKTƯ trong bài toán liên tụ c. Phương pháp
Monte Carlo được sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết
lập điều khiển ngẫu nhiên BT hội tụ hầu chắc chắn (hcc) theo mục tiêu về
ĐKTƯ của bài toán Mayer nói trên.
Chương 3 : Thiết lập mô hình rời rạc củ a bài toán Mayer kh ông lồi có
ràng buộc trạng thái, trong đó hệ động lực là PTVP (thường và đạo hàm
riêng) với đạo hàm thông thường và các giả thiết về tính Lipschitz theo
biến trạng thái, liên tục theo biến điều khiển và Lebesgue-khả tích theo
biến thời gian của hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng thời chỉ ra sự hội
tụ (theo mục tiêu) củ a điều khiển BT lập từ ĐKTƯ trong bài toán rời rạc
về ĐKTƯ trong bài toán liên tục. Phương pháp Monte Carlo cũng được
sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết lập điều khiển ngẫu
nhiên BT hội tu hcc theo mục tiêu về ĐKTƯ của bài toán Mayer có ràng
buộc trạng thái nói trên.
Chương 4 : Mở rộng mô hình hợp lý cực đại (HLCĐ) kinh đ iển về ước
lượng (ƯL) tham số thành Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham hàm và
Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham số (trong dạng bài toán ở Chương
2 và 3), để dùng kết quả 2 chương này vào việc giải số bài toán UL tham
hàm trong mật độ xác suất có điều kiện của chấn tâm động đ ất và bài toán
UL tham số trong mật độ xác suất của biên độ chấn cấp động đất. Các
kết quả tính toán đều gắn với các số l iệu thực trên vù ng Tây Bắc Bộ nước

f : [a, b] → R
n
: f
C
:= max
a≤t≤b

f(t)

< ∞

, (1.1.1)
C
k
(a, b) :=

f : [a, b] → R
n
: f
C
k
:=
= max
a≤t≤b

f(t), f
(1)
(t), ··· ,  f
(k)
(t)

i
(t)

1
2
, f
(k)
(t) :=

n

i=1
(f
(k)
i
)
2
(t)

1
2
. (1.1.4)
7
8
Từ giải tích cơ sở, ta biết rằng: Nếu f, F : [t
o
, T ] → R
1
là những hàm số,
với f ∈ C(t

(t), ··· , f
n
(t)

với
tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue [11] (tr.168-174), ta có thể mở rộng
những kết quả trong [36] (Định lý VI.3.1) ra trường hợp n-chiều, dưới dạng:
Định lý 1 .1 .1 Nếu hàm véc tơ f = (f
1
, ··· , f
n
) ∈ L
1
(t
o
, T ) thì ∀t ∈ [t
o
, T ]
hầu khắp nơi (hkn) ta có:
d
dt
t

t
o
f(x)dx = f(t) ⇔
d
dt
t


, b
k
) ⊂ [t
o
, T ] (∀k = 1 ÷ K), (a
k
, b
k
) ∩(a
i
, b
i
) = ∅ ( k = i), (1.1.8)
ta có :
K

k=1
f(b
k
) −f(a
k
) < ε (Khi
K

k=1
(b
k
− a
k
) < δ). (1.1.9)


là tuyệt đối liên tục
trên [t
o
, T ] nếu và chỉ nếu mọi thành phần f
i
(t) (i = 1 ÷n) là những hàm
số t uyệt đối liên tục trên [t
o
, T ]. Khi đó hàm véc tơ f(t) là liên tục đều
trên [t
o
, T ].
Trường hợp n = 1 (hàm số tuyệt đối liên tục), ta có các mệnh đề sau:
Bổ đề 1.1.1 ([36], Mục V I.4.4) Mọi hàm số f : [t
o
, T ] → R
1
liên tục tuyệt
đối đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của 2 hàm đơn điệu không giảm,
liên tục tuyệt đối trên [t
o
, T ].
Bổ đề 1.1.2 ([36], Địn h lý VI.1.1) Mọi hàm số f : [t
o
, T ] → R
1
đơn điệu
đều có trên [t
o


t
o
f(x)dx ⇔ F
i
(t) =
t

t
o
f
i
(x)dx (∀i = 1 ÷n). (1.1.10)
Định lý 1.1.3 Giả sử hàm véc tơ F (t) =

F
1
(t), ··· , F
n
(t) l à tuyệt đối
liên tục trên [t
o
, T ]. Khi đó sẽ tồn tại đạo hàm (hữu hạn):
˙
F (t) =

˙
F
1
(t), ··· ,

˙
F
i
(x)dx = F
i
(t) −F
i
(t
o
)
(∀i = 1 ÷n).
(1.1.11)
10
Bây giờ ta xét Bài toán Cauchy trên [t
o
, T ] trong R
n
:
˙y(t) = g

t, y(t)

∈ R
n
(t
o
< t ≤ T), (1.1.12)
y(t
o
) = y

thông thường và hàm đã cho g(t, y) =

g
1
(t, y), ··· , g
n
(t, y)

, xác định với mọi (t, y) ∈ [t
o
, T ] ×R
n
; Còn (1.1.13)
là điều kiện đầu, xác định bởi véc tơ y
o
:= ( y
o1
, ··· , y
on
) ∈ R
n
(đã cho).
Liên quan đến sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán Cauchy (còn gọi
là nghiệm của phương trình vi phân) (1.1.12)-(1.1.13), người ta thường đưa
ra 1 loại điều kiện đủ (gọi là điều kiện Lipschitz) dưới đây:
g(t, y

) −g(t, y”) ≤ Ly

−y” (∀t ∈ [t

trình tí ch phân Voltera tương ứng (gọi là phương pháp t ích phân phương
trình vi phân), nêu trong mệnh đề sau:
Định lý 1.1.5 Nếu hàm hợp véc tơ g( t) := g

t, y(t)

là L-khả tích theo
t ∈ [t
o
, T ]:
g( ·) := g

·, y(·)

∈ L
1
(t
o
, T ), (1.1.15)
thì mọi nghiệm của phương trình tích phân:
y(t) = y
o
+
t

t
o
g

x, y(x)

t

t
o
g

x, y(x)

dx ( ∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn)).
Khi đó, từ giả thiết (1.1.15) và Định lý 1.1.1 ta suy ra:
˙y(t) =
d
dt
t

t
o
g

x, y(x)

dx = g

t, y(t) (∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn)). (1.1.17)
Mặt khác, từ (1.1.16) ta còn suy ra y(t
o

(t) ≡ 0 (∀k ≥ 0, t ∈ [a, b] \ [α, β]), với : ϕ
(o)
(t) := ϕ(t), (1.1.18)
và ký hiệu : [α, β] := supp ϕ.
Định nghĩa 1.1.2 Lớp các hàm khả vi vô hạn có giá compac nói trên:
D(a, b) :=

ϕ ∈ C
∞
(a, b) : supp ϕ = ∅

(1.1.19)
gọi là không gian cơ sở trên (a,b). Mỗi hàm (số) ϕ ∈ D(a, b) gọi là một
hàm cơ sở.
Trong không gian cơ sở D(a, b), ta đưa vào phép cộng (2 ph ần tử) và phép
nhân (phần tử với 1 số), dưới dạng thông thường:
ϕ
D(a,b)
:=
ϕ
1
+ ϕ
2
(∀ϕ
1
, ϕ
1
∈ D(a, b))
⇒ ϕ(t) := ϕ
1

đạo hàm cấp k (k ≥ 0) h ội tụ đều về đạo
hàm ϕ
(k)
(t) (cấp k) của ϕ(t):
∃ [α, β] ≡ supϕ
n
⊂ (a, b) (∀n ≥ 1) : lim
n→∞
ϕ
(k)
n
[α,β]
=
ϕ
(k)
(∀k ≥ 0), (1.1.20)
và ký hiệu: lim
n→∞
ϕ
n
D(a,b)
=
ϕ , hay : ϕ
n
D(a,b)
→
ϕ (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.4 [22], [36] (IV.4.3) Một phiếm hàm Y : D(a, b) → R
1
1

y
: D(a, b) → R
1
. Hàm suy rộng
Y : D(a, b) → R
1
được gọi là kỳ dị (phi chính quy), nếu nó không biểu
diễn được dưới dạng tích phân (1.1.22).
Để đ ơn gi ản cách trình bày, dưới đây ta chỉ xét các hàm suy rộng chính
quy và gọi tắt nó là hàm suy rộng. Khi đó, có thể mở rộng Định nghĩa 1.1.4
thành khái niệm "hàm suy rộng véc tơ", như sau:
Định nghĩa 1.1.5 Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục Y = ( Y
1
, ··· , Y
n
) :
D(a.b) → R
n
được gọi là một hàm suy rộng véc tơ (n-chiều) trên (a,b),
nếu mọi thành phần Y
i
: D(a.b) → R
1
(i = 1 ÷ n) đều là những hàm suy
rộng trên (a,b) và có th ể biểu diễn mỗi ánh xạ này dư ới dạng tích phân,
gắn với một hàm véc tơ y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L

(1.1.22*)
trong đó y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L
1
(a, b) gọi là hàm sinh của hàm suy rộng véc
tơ Y = Y
y
.
Chú ý 1.1.2 Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Mỗi hàm suy rộng véc tơ
Y = Y
y
được đặc trưng bởi hàm sinh y tương ứng. Bởi vậy, việc xác định
hàm suy rộng này (theo (1.1.22*)) đưa về việc xác định hàm sinh (véc tơ)
y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L
1
(a, b).
14
Định nghĩa 1.1.5* Tập hợp D
∗
(a, b) được gọi là không gian các hàm suy
rộng véc tơ trên (a,b), nếu nó là lớp các ánh xạ tuyến tính liên tục (dạng
(1.1.22*)) Y = Y
y

y
1
D
∗
(a,b)
:=
Y
y
2
⇔ y
1
L
1
(a,b)
:=
y
2
(∀ Y
y
1
, Y
y
2
∈ D
∗
(a, b)) . (1.1.23*)
Trong không gian D
∗
(a.b) ta đưa vào phép cộng (2 hàm suy rộng) và phép
nhân (hàm suy rộng với 1 số), dưới dạng thông thường:

+y
2
(ϕ) = Y
y
1
(ϕ) + Y
y
2
(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)),
(1.1.24)



Y
λy
D
∗
(a,b)
:=
λ.Y
y
(∀ϕ ∈ D
∗
(a, b), λ ∈ R
1
)
⇒ Y
λy
(ϕ) = λ.Y
y

(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), với : Y
y
n
:= Y
n
, Y
y
:= Y (1.1.25)
và ký hiệu : lim
n→∞
Y
n
D
∗
(a,b)
=
Y.
Chú ý 1.1.4 Với các khái niệm "hội tụ" (trong định nghĩa trên) và "liên
tục" (trong Định nghĩa 1.1.4), D
∗
(a, b) trở thành không gian tuyến tính
của những ánh xạ Y : D(a, b) → R
n
tuyến tính liên tục (trong dạng tích
phân (1.1.23)).
Với chú ý rằng: Nếu ϕ ∈ D(a, b) thì đạo hàm cấp 1 của nó ϕ
(1)
∈ D(a, b).
15
Bởi vậy ta có thể đưa ra khái niệm "đạo hàm" (phép tính đạo hàm trong






˙
Y
y
(ϕ) ≡
dY
y
dt
(ϕ) =

˙
Y
y
1
(ϕ), ··· ,
˙
Y
y
n
(ϕ)

:=
= −Y
y
(ϕ
(1)

)
(∀i = 1 ÷n, ϕ ∈ D(a, b)).
Chú ý 1.1.5 Từ (1.1.26) và (1.1.23) ta có:
˙
Y
y
(ϕ) = Y
(−y)
(ϕ
(1)
) =
b

a

−y( t)

ϕ
(1)
(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)). (1.1.27)
Khi đó, do ϕ
(1)
∈ D(a, b) (∀ϕ ∈ D(a, b) nên
˙
Y
y
= Y
(−y)
là hàm suy rộng
véc tơ ứng với hàm sinh −y ∈ L

có hàm sinh y ∈ C
1
(a, b) thì
đạo hàm su y rộng
˙
Y
y
là 1 hàm suy rộng véc tơ có hàm sinh là ˙y ∈ C(a, b) :
˙
Y
y
(ϕ) = −
b

a
y(t)ϕ
(1)
(t)dt = Y
˙y
(ϕ)(∀ϕ ∈ D(a, b), y ∈ C
1
(a, b)) . (1.1.28)
16
Chứng minh. Nếu ϕ ∈ D(a, b) là 1 hàm cơ sở nào đó thì từ (1.1.19) ta suy
ra tính liên tục của các hàm số ϕ(t), ϕ
(1)
(t) trên [a,b]. Khi đó do các hàm
véc tơ ˙y, y ∈ C(a, b) và do ϕ(a) = ϕ(b) = 0 (xem (1.1.18)), nên từ công
thức tích phân từng phần (véc tơ) ta có:


y(t)ϕ
(1)
(t)dt.
Từ công thức trên và từ định nghĩa của khái niệm hàm suy rộng véc tơ Y
˙y
∈
D
∗
(a, b) trong (1.1.23), ta có: Y
˙y
(ϕ) = −

b
a
y(t)ϕ
(1)
(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)).
Kết hợp điều này với (1.1.26) ta thu được (1.1.28).
Từ Chú ý 1.1.5 ta nhận thấy đạo hàm suy rộng véc tơ
˙
Y
y
(y ∈ L
1
(a, b))
cũng là 1 hàm suy rộng véc tơ
˙
Y
y
∈ D

y
dt
∈ D
∗
(a, b) của Y
y
∈ D
∗
(a, b).
Chú ý 1.1.6 Từ (1.1.29) ta nhận thấy rằng việc xác định đạo hàm suy rộng
˙
Y
y
của hàm suy rộng Y
y
∈ D
∗
(a, b) tương đương với việc xác định đạo hàm
suy rộng ˙y của hàm y ∈ L
1
(a, b). Nghĩa là việc xét các đạo hàm suy rộng
˙
Y
y
∈ D
∗
(a, b) chuyển thành việc xét các đạo hàm suy rộng ˙y ∈ L
1
(a, b).
2

∈ D
∗
(a, b) là hàm suy rộng và đạo hàm
˙
Y =
˙
Y
y
∈ D
∗
(a, b)
được hiểu theo nghĩa suy rộng (với y, g ∈ L
1
(a, b)), thì (1.1.30) có dạng:
˙
Y
y
D
∗
(a,b)
=
G
g
⇔
˙
Y
y
(ϕ) = G
g
(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), (1.1.32)

Nghiệm y ∈ L
1
(a, b) của nó cũng gọi là nghiệm yếu (hay suy rộng).
Khi xét phương trình vi phân thường (1.1.31) trên khoảng đóng [t
o
, T ] ⊂
(a, b) ta có thể thiết lập bài toán Cauchy (1.1.12)-(1.1.13) và dùng phương
pháp tích phân phư ơng trình vi phân (Định lý 1.1.5) chuyển nó về phương
trình tích phân, để giải quyết bài toán đặt ra trong Chương 3 của Luận án.
Nhằm tạo ra những công cụ tương tự giải bài toán đặt ra trong Chương 2
của Luận án, chúng tôi nhắc lại một số mệnh đề dưới đây:
Định lý 1.1.6 ([36], Định lý IV.4.1) P hương trình vi phân suy rộng:
˙
Y
y
D
∗
(a,b)
=
0 ∈ D
∗
(a, b) (1.1.34)
chỉ có nghiệm Y
y
∈ D
∗
(a, b) với hàm sinh y ∈ L
1
(a, b) là hàm hằng:
y(t) ≡ c(const) (∀t ∈ (a, b) (hkn)). (1.1.34*)

o
< t ≤ T),
y(t
o
) = y
o
:= ( y
o1
, ··· , y
on
) ∈ R
n
,
(1.1.35)
với ˙y ∈ L
1
(a, b) là đạo hàm yếu của y ∈ L
1
(a, b), ta có thể dựa vào Định lý
1.1.8 để dùng p hương pháp tích phân phương trình vi phân chuyển (1.1.35)
về phương trình tích phân tương ứng, như dưới đây:
Hệ quả 1.1.1 Nếu hàm hợp g(t) := g

t, y(t)

∈ R
n
là liên tục trên [t
o
, T ]:

Định lý 1.1.8 ta suy ra y ∈ C
1
(t
o
, T ). Khi đó, do hàm ˙y(t) (t ∈ [t
o
, T ]) là
Rieman-khả tích trên [t
o
, T ]) nên từ công thức Neuton-Leibnitz (1.1.6) ta
thu được (1.1.37), với tích p hân h iểu theo nghĩa Rieman. Như ng từ tính
Rieman-khả tích của hàm liên tục g

t, y(t)

ta suy ra tín h L-khả tích của
hàm này [11] (tr.196). Do đó nghiệm y(t) ∈ R
n
(t ∈ [t
o
, T ]) nói trên cũng
là nghiệm của phương trình tích phân (1.1. 37), với tích phân hiểu theo
nghĩa Lebesgue.
Ngược lại, nếu y(t) ∈ R
n
(t ∈ [t
o
, T ]) là nghiệm của phương trình tích
phân (1.1.37) thì từ (1.1.5) ta suy ra:
˙y(t) =

, T ]) nói trên của (1.1.37) cũng là nghiệm của phương trình vi phân
(1.1.35), trong đó d o y ∈ C
1
(a, b) nên từ (1.1.28) và Định nghĩa 1.1.8 ta
có thể xem đạo hàm thông thường ˙y(t) trong (1.1.38) như 1 dạng đặc biệt
của đạo hàm yếu trong (1.1.35).
1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall
Khi ước lượng miền biến thiên của nghiệm y(t) ∈ R
n
phương trìn h
tích phân (1.1.37) hoặc khoảng cách y(t) −y(t

) của nghiệm này tại các
thời điểm t và t’, trong luận án chúng tôi thường sử dụng bất đẳng thức
Gronwall, cho bởi mệnh đề dưới đây:
Định lý 1.1.9 [29] (Phụ lục A). Giả sử m(t) là hàm liên tục, g(t) ≥ 0
là hàm khả tích, h(t) ≥ 0 là hàm giới nội trên [s, T], sao cho:
0 ≤ m(t) ≤ h(t) +
t

s
g( x)m( x)dx (s ≤ t ≤ T ), (1.1.39)
Khi đó ta có:
m(t) ≤ h(t) +
t

s
g( x)h(x)

e