TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
-----oOo-----

VÕ THỊ CẨM LOAN
Lớp DH5L
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÀNH VẬT LÝ
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM
GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT
3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1
5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 2
6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2
7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2
8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2
9. Cấu trúc khóa luận ................................................................................Trang 2
PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .............................................Trang 3
1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3
1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6
1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng...............................................Trang 8
1.4 Phương pháp tách bi
ến......................................................................Trang 11
1.5 Phương pháp biến thiên tham số.......................................................Trang 15
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ....................Trang 17
2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng của hàm Green.......................Trang 17
2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green ..................................................Trang 20
2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green .................................................Trang 21
2.4 Hàm điều hòa. Biễu diễn Green ........................................................Trang 23
CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .....................................Trang 27
3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 27
3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian .....................................................Trang 30
3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt .............Trang 30
3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt.......................Trang 33
3.2.3 Bài toán truyền nhi
ệt trong miền tròn ............................................Trang 35
3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng ........................................................Trang 38
PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 45

Fourier, phương trình Laplace, ... thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp,
trong khi đó nếu dùng phương pháp hàm Green thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn
giản hơn nhiều, phương pháp hàm Green là phươ
ng pháp không giải trực tiếp phương
trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác để tìm hàm
Green. Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green. Phương pháp hàm Green là
một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán
biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường không đề cặp đến phương pháp này,
hoặc đề cặp quá ít, làm cho sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp này
vào bài tập. Yêu cầu bổ sung một phương pháp giải hiệu qu
ả cho bài toán truyền nhiệt
là rất cần thiết.
Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “Sử dụng phương pháp hàm Green
để giải một số bài toán truyền nhiệt”.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt.
• Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green.
• Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán truyền
nhiệt.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Cơ sở lý lu
ận về bài tập vật lý.
• Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green.
• Các bài tập truyền nhiệt .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu cơ sở toán học cho việc xây dựng hàm Green.
• Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán
truyền nhiệt.
• Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Green.
- 3-
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ:
1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý
Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải
quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí
nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý.
1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý
Xét về mặt phát triển tính tự lực của ngườ
i học và nhất là rèn luyện kỷ
năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong
quá trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều
khâu trong quá trình dạy học.
- Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình
dạy học vật lý người học được làm quen với bả
n chất của các hiện tượng vật
lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài
thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó
chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn
đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất
hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình gi
ải người học sẽ phát hiện lại quy
luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn.
- Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào
các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể

tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời số
ng, đặc biệt có những bài tập khi giải
đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử
dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày.
- Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật
lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan
đ
iểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa
học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở
chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiên trì, vượt khó,
ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến
cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn,
tăng cườ
ng hứng thú học tập.
- Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức
và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người
học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý
1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý
−
Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được
câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ
khoa học chặt chẽ. Quá trình giải một bài toán thực chất là tìm hiểu
điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa
trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ có th
ể có của cái đã
cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ
trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối
liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa
là đã tìm được lời giải đáp cho bài toán đặt ra.

những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà
lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đế
n lời giải cho bài toán
phức tạp trên.
− Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận
không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó
nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại
lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có
một đại lượng chưa biết là đại lượ
ng cần tìm.
Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương
pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều
kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay
để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế
hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp
nhữ
ng dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây
dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.
1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý
Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra
một cách khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán
vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là:
Bước 1:
− Tìm hiểu đề bài
− Đọ
c ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.
− Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
− Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm
để thu được các dữ liệu cần thiết.
Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất

người học nắm đượ
c phương pháp giải các bài tập điển hình.
− Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập
− Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và
phát triển tư duy của người học.
− Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ
thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thự
c tế, kỹ
thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết.
− Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người
học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình
thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó.
− Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ
nắm v
ững tri thức của người học.
1.2 Bài toán biên
Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng
)()()(...)()()(
1
1
1
10
xFyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx

2
(x),…, y
n
(x)}, nghiệm tổng quát y
c
của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến
tính của tập nghiệm cơ bản:

- 7-
y
c
= C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+…+C
n
y
n
(x), (1.2.2)
trong đó: C
1
, C
2, …,
C
n

,)(,)(
/
βα
== ayay với
α
,
β
là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho
trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương
trình vi phân (1.2.3) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương
trình có dạng :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠+=+
≠+=+
0,)()(
0,)()(
2
22
2
21
/
2221
2
12
2

=+++
β
α
)()()()(
)()()()(
/
2423
/
2221
/
1413
/
1211
aycaycbycbyc
bycbycaycayc

Trong đó: c
ij
, i= 1,2, j=1,2,3,4 và
α
,
β
là các hằng số; được gọi là điều kiện biên
hỗn hợp.
Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1:
( ) ( ) ( ). (1.2.5)
dy
Ly pxy qx
dx
=+ =

dP
px
dx
=

Tích phân (1.2.7) thu được
CxPCxPCxPy
eCeCyeeee
CxP
==⇒==⇒
+−=
−−+−
1
)(
1
)()(ln
,
)(ln
y

Vậy nghiệm tổng quát của (1.2.6) là
)(
1
xP
C
eCy
−
=
Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng
)(

==⇒=⇒=+
−
x
PxP
p
p
deqxuuxqe
dx
du
xqyxp
dx
dy
0
)()(
.)()()()()(
ξξ
ξ

Suy ra nghiệm riêng
∫
−
=
x
PxP
p
deqey
0
)()(
.)(
ξξ

A
được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác
dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân
ψ
với
^
A
và được gọi là
“toán tử
^
A
tác dụng lên hàm
ψ
cho hàm
ϕ
”
^
ψ ϕ
=A- 9-
Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1
: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân

^
A
=
^

Ví dụ 3
: Toán tử Laplace:

222
2
222
x yz
∂ ∂∂
∇= + +
∂ ∂∂() ()
222
2
222
xx
x yz
ψ ψψ
ϕψ
∂ ∂∂
=∇ = + +
∂ ∂∂
(1.3.4)

Vì các hàm
ψ
và
ϕ
ở trong biểu thức (1.3.1) nói chung là những hàm phức


^^
11 2 2
,
ψ ϕψϕ
= =AA
, nên (3.5) trở thành:
()
^^ ^
1 1 2 2 11 22 11 2 2
ψ ψϕϕ ψψϕ
+ =+ = + =CA CA C C AC C- 10-
Nghĩa là
ϕ
là tổ hợp tuyến tính của hai hàm
12
,
ϕ ϕ
. Hay nói cách
khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp
tuyến tính của hai hàm
12
,
ψ ψ
thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng
của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt.
Rõ ràng rằng các toán tử


^
A
( )
xΨ
= A
( )
xΨ

Khi đó ta nói
( )
xΨ
là hàm riêng của toán tử
^
A
và phương trình trên
gọi là phương trình trị riêng của toán tử
^
A
. còn A được gọi là trị riêng ứng
với hàm riêng
( )
xΨ
của toán tử
^
A
.
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với
một trị riêng ( cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm
riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để

^
A
, biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng
()
L,0.
Gọi
n
A và
( )
xu
n
là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử
^
A

thì phương trình trị riêng của toán tử
^
A
là:

- 11-
()
nn
n
uA
x
u
i =
∂
∂

là:
1=⇒=
LiALiA
nn
eCeC

( )
π
nLA
LA
n
n
2
1cos
=⇒
=⇒

Từ đó ta được
L
n
A
n
π
2
= . ( n= 0;2;3;…).
Ta thấy A
n
có giá trị gián đoạn theo số nguyên n.
Còn hàm riêng tương ứng với A
n


trên
[
)
∞×∂
,0
U

( )
1.4.1

trênU
{ }
0
=×
t

Ở đây g: U
ℜ→
là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại một nghiệm có dạng
() ()()
xwtvtx =,
µ

( )
0; ≥∈ tUx
;
( )
1.4.2


xwtvtx
t
,
, =
µ
,
( ) ( ) ( )
xwtvtx ∆=∆ ,
µ

Từ đó
( ) ( )
0, ,
t
x txt
µµ
=−∆=
( ) ( )
xwtv
,

( ) ( )
vt wx−∆

Nếu và chỉ nếu
()
()
()
()
xw

tv
tv ∆
==
µ
,
( t
Ux ∈≥ ,0
).
Khi đó
/
v
µν
=
(1.4.4)
ww
µ
=∆
(1.4.5)
Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w,v và hằng số
µ
.
Trước hết, để ý rằng, nếu
µ
đã biết, nghiệm của (1.4.4) là v=de
t
µ
với d là hằng
số tùy ý. Vì thế, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.4.5).
Ta nói rằng
λ

trên
[
)
∞×∂
,0
U

với điều kiện ban đầu
( )
dw
=
0.,
µ
. Do đó hàm
µ
được xác định bởi (1.4.6) thỏa
mãn (1.4.1), với điều kiện
dwg =
. Tổng quát hơn, nếu
n
λλ
,.....,
1
là các giá trị riêng ,
n
ww ,......,
1
là các hàm riêng tương ứng và
m
dd ,....,

λ
µ
−
=
∑
=
1
(1.4.8)
Thỏa mãn các điều kiện ban đầu
( )
=0.,
µ
k
k
k
wd
∑
∞
=
=
1
µ
. Nếu ta có thể tìm
được
,.....,
1
wm
v.v. sao cho
gwd
k

Chuỗi (1.4.10) hội tụ theo một nghĩa thích hợp nào đó.
Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình
môi trường tổ ong.
( )
0=∆−
γ
µµ
t
trong
( )
∞×ℜ ,0
n
(1.4.11)
Trong đó nghiệm
0≥
µ
và 1>
γ
là hằng số. Đây là một phương trình khuếch tán
phi tuyến, với tốc độ khuếch tán của mật độ
µ
phụ thuộc vào chính
µ
.
Như ở ví dụ trứơc, ta tìm một nghiệm dạng
() ()()
xwtvtx =,
µ

( )

() ()
.0, ≠tvxw

Ta giải phương trình vi phân thường đối với v và tìm được
()()
λ
λµγ
−
+−=
1
1
1 tv
, với hằng số
0>
λ
nào đó.Để tìm w ta xét phương trình
đạo hàm riêng
( )
uww =∆
γ
(1.4.14)
Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng
α
xw =
với hằng số
α
sẽ được xác định
sau. Khi đó

- 14-

αγαγµ
(1.4.17)
Tóm lại, với mỗi
0
>
λ
hàm
()()
α
γ
λγµ
xut
−
+−=
1
1
1

Thỏa mãn phương trình
( )
1.4.11
, các tham số
µα
,
được xác định bởi (1.4.16),
(1.4.17).
Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi
tuyến tương thích với hàm
µ
có dạng tích (1.4.12). Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm

Nếu và chỉ nếu
()()()
tvxDwH
,
−=

( )
,0, >ℜ∈ tx
n

Với hằng số
µ
nào đó. Vì thế, nếu
()
µ
=DwH

Với
,R∈
µ
thì
() ()
butxwtx +−=,
µ

Sẽ thõa mãn
( )
0== DuH
t
t

không thuần nhất tổng quát:
() ()Lu f x
=

Xác định trong khoảng a <x < b, phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó
L là toán tử Sturm –Liouville có dạng
.
ddu
Lpq
dx dx
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong trạng thái
dừng
2
2
du
L
dx
=

Phương trình vi phân thường không thuần nhất luôn có thể giải bằng phương pháp
biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình không thuần nhất
1
()ux
và
2

1
v
và
2
v
không phải là hằng số nên
12
12
0
dv dv
uu
dx dx
+=

Vi phân
() ()Lu f x
=
được thoã mãn nếu
112 2
().
dv du dv du
p pfx
dx dx dx dx
+=

Phương pháp biến thiên tham số tạo ra hai phương trình vi phân cho các hàm
chưa biết
1
/dv dx
và là:

⎝⎠

Trong đó
21
12
du du
cpu u
dx dx
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
, hằng số c tuỳ thuộc vào việc lựa chọn
1
u

và
2
u
.
Nghiệm tổng quát
() ()Lu f x=
được cho bởi
11 2 2
uuv uv= +
, ở đây
1
v
và
2

=−=− −=−
⎜⎟
⎝⎠

Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất
1
() 0L u
=
và
2
()0L u =
được
dùng đến. Giải phương trình trên suy ra
/Wcp
=
hay là
pWc
=
.
Tiểu kết :
Trong chương này chúng tôi đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan
trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây
dựng phương pháp hàm Green.


2
2
0
*
210
2
2
*
yxa
dx
dy
xaxa
dx
yd
xayL
yxayxa
dx
d
yxa
dx
d
yL
x
x
+−+=⇒
+−=

Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1.1) và (2.1.2) để xác định đồng nhất thức Lagrange của
hai hàm u(x) và v(x) như sau

⎢
⎣
⎡
+=

Được gọi là hàm song tuyến.
Đồng nhất thức Lagrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định trên miền
{}
bxaxI ≤≤= /
. Tích phân đồng nhất thức (2.1.3) ta có đồng nhất thức các hàm
Green.
[]
)5.1.2(,),()]()([
*
∫
=−
b
a
b
a
xx
vuPdxvuLuvL

Trong đó
[]
)()]()()()([)()]()()()([
)()]()()()([)()]()()()([),(
/
0
/


- 18-
Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên
ở hai điểm như sau
)7.1.2(
)(;)(
);()(
2211
⎩
⎨
⎧
==
=
gyBgyB
xfyL
x

Trong đó: L
x
là toán tử tuyến tính cho bởi (2.1.1); g
1
; g
2
là các hằng số và B
1
, B
2

là các toán tử biên tuyến tính dạng Robin:
bx

)(
222
111
βα
βα
(2.1.8)
Sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet
12
( ) ( ); (2.1.9)
() () 0, () () 0(2.1.10)
x
L yfx
By ya By yb
=
== ==

Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1.1) và (2.1.5) thành
biến mới
ξ
và viết đồng nhất thức Green theo biến mới
[]
)11.1.2(,))(),(()]()()()([
*
∫
=−
b
a
b
a
vuPdvLuuLv

a
b
a
b
a
vyPdvLydfv )12.1.2())](),(([)()()()(
*
ξξξξξξξ
ξ

Trong đó:
[]
)()]()()()([)()]()()()([
)()]()()()([)()]()()()([),(
/
0
/
01
/
0
/
0
/
01
/
0
ayavaaavaaavayaaayaa
bybvbabvbabvbybabybavyP
b
a

∫
+=
−=
=−
εξ
εξ
ξξδξ
x
x
xydxy )15.1.2()()()(

Thay v(
ξ
)=G
*
(
ξ
;x) vào đồng nhất thức Green (2.1.12),rút gọn thành
)16.1.2());(),(());(),(()()()();(
***
xaGayPxbGbyPxydfxG
b
a
∫
−=−
ξξξ

Nghiệm y(x) trong bài toán (2.1.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân
(2.1.16) . Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.1.16). Hàm f(
ξ

xaGayaaxbGbybaxGyP
ξξ
ξξ
ξξ

Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp. Từ đó ta có nghiệm của
(2.1.16) là
)18.1.2()();()(
*
∫
=
b
a
dfxGxy
ξξξ

Trong đó G
*
(
ξ
;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình
baxxGL ≤≤−=
ξξδξ
ξ
),());((
**
, với các điều kiện biên
)19.1.2(0);(][,0);(][
***
2

ξδξ

Với các điều kiện biên
0);(][,0);(][
***
2
***
1
==== xbGGBxaGGB

Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x các toán tử
( L
x
, B
1
, B
2
) có dạng liên hợp của nó là (
*
2
*
1
*
,,
BBL
x
), điều kiện biên liên hợp được
chọn là
0),(
*

xxGLtxG
x
x
−=
−=
δξ
ξδξ
(2.1.23)
Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất
thức Green
)24.1.2(0);();()]();()();([
))];(();());(();([],[
***
*****
=−=−−−=
=−=
∫
∫
ξξδξξδ
ξξ
tGtGtxxGxtxG
txGLxGxGLtxGGGP
b
a
b
a
xx
b
a


=+ <<
⎪
∂∂
⎪
⎪
==
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩

Bước 1:
Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở rộng hàm
riêng ta chọn nghiệm có dạng
∑
∑
∞
=
∞
=
=
=
1
1
sin)(),(
sin)(),(
n
n

⎛
+
π
.
Nghiệm có dạng :

- 21-

∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=

n
n
d
l
n
l
u
l
xn
ux
0
1
sin)(
2
)0(
sin)0()(
ξ
πξ
ξϕ
π
ϕ

∑
∞
=
=
1
sin)(),(
n
n

⎜
⎝
⎛
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
2
sin)(
2
),(
t
l
an
l
ed
l
n

2
00
22
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

n
t
l
an
l
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
∫∫
∑
∫
∞
=


Bước 3
: Đưa ra hàm Green
∑
∞
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
)(
2
sinsin
2
),;,(
n
t
l
an
e
l
xn
l
n