Sáng kiến kinh nghiệm
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT
Đặt vấn đề
1. Lý do chọn chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy toán tôi nhận thấy phương pháp toạ độ chiếm một vị
trí quan trọng trong chương trình toán ở bậc học PTTH.
- Học sinh thường chỉ sử dụng phương pháp toạ độ để giải các bài toán trong
hình học giải tích hoặc dùng phương pháp toạ độ để khảo sát hàm số, các emcòn
ngờ rằng đây là một phương pháp rất hay, bằng việc khai thác triệt để các tính
chất hình học tiềm ẩn trong một số các bài toán ta có thể giải quyết những khó
khăn mà khi giải bằng phương pháp khác có thể gặp phải.
- Phương pháp toạ độ cho phép ta không những giải được các bài toán hình học
mà còn có thể giúp ta giải được một số bài toán: Số học, đại số, tổ hợp và suy
luận lôgíc một cách dễ dàng, trực quan, tránh được cả những lý luận dài dòng và
thoát ra khỏi những ảnh hưởng không có lợi cho trực giác.
2. Mục đích:
- Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ xin phép được trình bày
một số ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài, dạng toán đại số về
bất phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, và hệ phương trình mà học
sinh PTTH thường gặp.
- Và mục đích giúp các em hiểu thêm về phương pháp này. Và từ đó có thể giải
quyết được những khó khăn gặp phải khi làm toán.
I) Phương pháp toạ độ để giải bất phương trình - hệ bất phương trình chứa tham
số:
a) Cơ sở lý thuyết:
Xét bất phương trình: f(x) < g(x) (1) TXĐ: D
• Ta đã biết: Gọi S là tập nghiệm ⇒ S = {x
0
∈ D  f(x
0

• Nhận xét trên Oxy: y = m là đường thẳng // Ox hoặc ≡ Ox.
1/ Bất phương trình:
( )



∈
≥
Dx
mxf
có nghiệm ⇔
( )
mxf
D
≥max
2/ Bất phương trình:
( )



∈
≤
Dx
mxf
có nghiệm ⇔
( )
mxf
D
≤
min

2
3
Trang: 2
t
1
t
2
Sáng kiến kinh nghiệm
VËy: -3 ≤ x ≤ 6 th×: 3 ≤ t ≤ 3
2
⇒ t
2
= 9 + 2
( )( )
xx −+ 63
⇒
( )( )
xx −+ 63
=
2
9
2
−t
Bài toán trở thành: Xác định m để: t
2
-2t ≥ 9 - 2m có nghiệm t ∈
[ ]
23;3
Cách1:
Ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai








>
≥−+
<
lý) (V« 231
02629
3
10
m
m
KL: Vậy với m ∈ [3; +∞) thoả mãn
Cách2: Bằng phương pháp toạ độ:
Xét: f(t0 = t
2
- 2t Trên
[ ]
23;3
Ta có: f'(t) = 2t - 2 = 0 ⇔ t = 1 ∉
[ ]
23;3
f(3) = 3
f
( )
261823 −=

0
;α) ∈ S:
( )



∈
≥
Dx
mxf
0
0
0;
Vậy x
0
là nghiệm của hệ (1), (2)
(⇒) Giả sử hệ
( )



∈
≥
Dx
mxf
0
0
0;
có nghiệm tức ∃x
0

x
mmxx
xm
có nghiệm
• Nhận xét: với yêu cầu của bài toán. Việc ? bằng phương pháp đại số thuần tuý
gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên nếu vận dụng phương pháp toạ độ thì ta được
lời giải gọn gàng thuận lợi hơn nhiều.
II) Phương pháp toạ độ để giải phương trình - hệ phương trình:
1/ Cơ sở lý luận:
ĐL: Giải sử hàm số f(x) lt trên D
• Nếu ∃
( )
xf
D
max
và
( )
xf
D
min
.
Khi đó phương trình: f(x) = m có nghiệm ⇔
( )
xf
D
min
≤ m ≤
( )
xf
D

2
22
x
mx
mx
Trang: 4
Sáng kiến kinh nghiệm
Các điểm M(x; y) thoả mãn hệ (1), (2), (3) được biểu diễn bằng miền gạch trên
hình vẽ:
áp dụng định lý (2) suy ra hệ (1), (2), (3) có nghiệm ⇔ 1 ≤ m ≤ 3.
NX: Nếu bài toán trên có thể yêu cầu Giải và biện luận theo m.
x
2
- 6x + m
2
- 2m + 6 ≤ 0 với 1 ≤ x ≤ 3 và m ≥ x
Ta đi đến kết luận:



<
>
1
3
m
m
bất phương trình vô nghiệm
m=3 bất phương trình có nghiệm x = 3
m = 1 bất phương trình có nghiệm x = 1
1 < x < 3 bất phương trình có nghiệm 1 < x < 3

2
2
2
2
1
1
Cách1:
• nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm
• nếu m = 0 khi đó:
( )
( )





≤++
≤++01
01
2
2
2
2
yx
yx
⇔


2
=
m
Bài toán trở thành xác định m để
(O
1
) tiếp xúc ngoài với (O
2
)
⇔ R
1
+ R
2
= O
1
O
2
⇔
a22 =
⇔ a =
2
1
Cách2:
Học sinh thường làm bài này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ:
• Điều kiện cần: Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x
0
, y
0
)
⇒ (y

(1)
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
yx
yx
⇒ x
2
+ (x + 1)
2
+ (y + 1)
2
+ y
2
≤ 1 (3)
Nhận thấy (3) là hệ quả của hệ (1) (2)
⇔
0
2
1
2
2
1

x
Do (3) có nghiệm duy nhất:





−=
−=
2
1
2
1
y
x
Nên hệ (1) (2) có nhiều nhất là một nghiệm
Trang: 6
x
O
y
Sáng kiến kinh nghiệm
Thử lại ta thấy:





−=
−=
2

1
, y
1
) B(x
2
; y
2
)
Khi đó
( )
1212
; yyxxAB −−=
Độ dài
( ) ( )
2
12
2
12
yyxxAB −+−=
3 điểm A, B, C bất kỳ : •
ACBCAB =+
•
ACBCAB ≥+
Dấu " = " xảy ra ⇔
BCAB,
cùng hướng ⇔
BCAB,
cùng hướng hoặc 1 véctơ
là
0

,
b
),
a
⊥
b
⇔
a
.
b
= 0
⇒
a
.
b
≤ 
a
.
b

Dấu "=" xảy ra ⇔
a
,
b
cùng phương hoặc có một véctơ là
0

a
cùng phương
b

1
, z
2
- z
1
)
•
( ) ( ) ( )
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB −+−+−=
• M(x, y, z) chia AB theo tỷ số k
⇔









+
=
+
=

2
; z
2
)
°
a
cùng phương
b
⇔ ∃k:
b
= k
a
°
a
.
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
° cos(
a

a
.
b
KH: [
a
,
b
]
[
a
,
b
] = 
a
.
b
sin(
a
,
b
)
°
a
= (x
1
; y
1
; z
1
)

) đến ∆: Ax + By + Cz + D = 0
⇒ d =
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
3. Miền trên mặt phẳng toạ độ xác định bởi phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình
a) Trên mp Oxy. Ta biết rằng ∀ đường thẳng d: ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2
> 0)
Chia mặt phẳng toạ độ ra làm 2 phần
S
1
= {(x;y): ax + by + c > 0}
S
2
= {(x;y): ax + by + c > 0}
trong thực tế để xác định được ta chỉ cần xét dấu của f(x; y) = ax + by + c tại 1
điểm trên 1 miền nào đó.
• NX: 1/ Sau khi xét dấu trên trên 1 miền ta suy ra được dấu của miền còn lại
2/ Để việc xác định dấu của 1 miền đơn giản ta thường chọn miền có chứa gốc
toạ độ O(0; 0) hoặc miền có chứa điểm có toạ độ "đẹp"
Trang: 8
Sáng kiến kinh nghiệm
• Chẳng hạn:

2
= {(x; y): x+ y + 1 ≥ 0}
S
3

= {(x; y): x - y + 3 ≤ 0}
Khi đó miền nghiệm của hệ (I) là S
S = S
1
∩ S
2
∩ S
3
được biểu diễn bằng miền ∆ABC gạch chéo kể cả biên
b) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy
đường tròn tâm I(a; b): (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
Khi đó S
1
=
( ) ( ) ( )
{ }
2
22
:; Rbyaxyx >−+−
S

, y
0
) trên 1 miền từ đó
suy ra dấu của y = f(x) trên 1 miền còn lại
VD3: Giải hệ phương trình:





≤−+−+
≤−
(2)
(1)
0222
0
22
2
yxyx
yx
(I)
Giải:
Trên hệ trục toạ độ Đềcác Oxy
• Xác định miền nghiệm S
1
=
( )
{ }
0:;
2

° Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình có nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
Trang: 10
I
Trên hệ trục toạ độ Oxy vẽ
y = 2
x
(C) và (d): y = -x + 6
Nhận thấy (C) ∩ (d) tại M(2; 4) duy
nhất
KL: phương trình (1) có nghiệm duy
nhất x = 2
Cách2: Bằng cách khác
Sáng kiến kinh nghiệm
° Xác định tham số để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có
nghiệm
$2. Vận dụng cơ sở lý thuyết để giải phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình
I) Phương pháp toạ độ khảo sát phương trình đại số:
Cơ sở lý luận: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) xác định trên D
1/ Trên hệ trục Đềcác vuông góc Oxyvẽ 2 đồ thị: y = f(x) (C
1
) v

à y = g(x) (C
2
)
thoả mãn D
Khi đó hoành độ giao điểm của (C
1



=<=
=>=
4 2 - 6 x - 6 VP
4 2 2 VT
2x
không thoả mãn
Vậy phương trình (1) không có nghiệm x > 2
• Nếu x < 2 thì
VPVT <⇒



=<=
=<=
4 2 - 6 x - 6 VP
4 2 2 VT
2x
không thoả mãn
Vậy phương trình (1) không có nghiệm x < 2
• KL: Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2
NX: ° Khi giải bằng phương pháp này học sinh cần lưu ý: đồ thị hàm số đồng
biến và đồ thị hàm số nghịch biến nên cách nhau thì cắt tại 1 điểm duy nhất
° Đồ thị hàm số nghịch biến hoặc đồng biến với đồ thị hàm số không đổi nếu
cắt nhau thì cũng cắt tại điểm duy nhất
Dựa vào nhận xét này: ta có thể đoán nhận ra nghiệm của f(x) = g(x)
Sau đó chứng minh duy nhất
Tuy nhiên nếu bài toán có nhiều nghiệm (tức là f(x) = g(x) có nhiều nghiệm)
thì phương pháp trên bó tay. Nhưng phương pháp toạ độ vẫn có thể giải quyết





−
2
1
;1
B(a, 1)
Vậy phương trình có 2 nghiệm
phân biệt



−=
=
1
0
x
x
Sáng kiến kinh nghiệm
Giải:
Cách 1: Đặt t = x
2
≥ 0
Bài toán trở thành giải và biện luận theo m số nghiệm t ≥ 0 của: t
2
+ 2t + 3 -m =0
• TH1: Nếu P = 3 - m = 0 ⇔ m = 3
phương trình (2) có 2 nghiệm




<
≥
⇔





∀>
>−
≥−
⇔





>
>
≥∆
m
m
m
m
m
S
P








<
>−
≥−
<−
⇔











>
>
≥∆
<∆
m
m
m

Sáng kiến kinh nghiệm
có f(x) = 4x
3
- 4x = 0 ⇔



±=
=
1
0
x
x
Bảng biến thiên:
x -
∞
-1 0 1 +
∞
f(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x)
+
∞

CT
CĐ
CT
+
∞
Dùa vµo b¶ng biÕt thiªn ta cã thÓ biÖn luËn:
• m = 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1

⇔ (x
2
- 2m + 1)(x
2
- 4x + 1 + 2m) = 0
⇔
( )
( )




=++−
−=
2
1
0214
12
2
2
mxx
mx
phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ?
• phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2m - 1 > 0 ⇔ m >
2
1
• phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = 3 - 2m > 0 ⇔ m <
2
3
Các em kết luận: với

−=
0214
12
0
2
0
2
0
mxx
mx

⇔ x
0
= k thay vào (1) ta được: k
2
= 2k - 1 ⇔ k = 1
Vậy k ≠ 1 thì phương trình (1) và phương trình (2) không có nghiệm chung
KL: phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔





<<
<<
2
3
1
1
2

2
2
2
qqxppx
+−++−
trên mặt phẳng toạ độ với hệ trục toạ độ Oxy Đặt điểm A(x - p;
p
) B(x -q;
q
)
Khi đó
( )
2
2
ppxOA +−=

( )
2
2
qqxOB +−=

AB
=
( ) ( )
22
pqqp −+−
Khi đó f(x) =
( ) ( )
2
2

mxxxx =++++− 11
22
2/ Phương pháp toạ độ để khảo sát bất phương trình; hệ bất phương trình đại số:
Như đã biết, bất phương trình: f(x) < g(x) (1) có TXĐ: D
Gọi S là tập nghiệm của
⇒ S =
( ) ( ){ }
000
: xgxfDx <∈
Để giải bất phương trình trên bằng phương pháp toạ độ.
Ta làm như sau:
Bc1: Vẽ: y = f(x) và y = g(x) trên cùng
1 hệ trục Oxy
Bc2: Tìm những phần đồ thị y = f(x)
nằm phía dưới: y = g(x)
Bc3: Tìm hình chiếu của phần đồ thị Ox
⇒ KL nghiệm của bất phương trình (1)
Chẳng hạn: ở hình vẽ bên ⇒ bất phương trình f(x) < g(x) có tập nghiệm x
1
<x<x
2
• MĐ1: f(x) < g(x) ∀x ∈ D
⇔ đường thẳng y = f(x) nằm hoàn toàn dưới: y = g(x)
• MĐ2: f(x) < g(x) ∀x ∈ D
⇔ đường thẳng: y = f(x) không nằm hoàn toàn dưới: y = g(x)
NX:
•
( )
( )
mxf

D
≥min

• f(x) ≤ m có nghiệm ∀x ∈ D ⇔
( )
mxf
D
≤max
Trang: 16