TRƯờng đại học hùng vơng
Khoa khoa học tự nhiên
Một số ứng dụng của phơng pháp toạ độ
trong việc giảI toán ở trờng thpt Ngời hớng dẫn: Ths. Nguyn Chớ Thanh
Ngời thực hiện : Nguyn Phng Tho
Lớp K
4
ĐHSP Toán



3

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ
thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác. Chính 4

4

O
i
j
x x
y
y
M(x, y)

Chương 1
:
C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ

1. Các khái niệm cơ bản.
1.1. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng
Hệ tọa ñộ afin (O;
i

,
j

) có cơ sở (
,


=(x, y).
Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ của vectơ
OM

ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm
M. Kí hiệu: M(x, y)
⇔
OM xi y j
= +

 
.
1.3. Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho các véctơ:
1 2
( , )
a a a
=

;
1 2
( , )
b b b
=


vµ c¸c ®iÓm A(x
A
, y
A


= (a
1
+ b
1
, a
2
+ b
2
)
•
(
)
1 1 2 2
,
a b a b a b
− = − −



•
k
1 2
( , )
a ka ka
=


•


0
a b a b a b
⊥ ⇔ + =


.
5

5

•
Nếu
a

,
b

khác
0

thì: cos(


⇔
1
1
x kx
B
A
x
M
k
y ky
B
A
y
M
k







−
=
−
−
=
−


+
=
§iÓm M là trọng tâm cña
∆
ABC

⇔

3
3
x x x
B
A C
x
M
y y y
B
A C
y
M








=( A, B)
có phương trình là: A(x- x
0
) + B( y- y
0
) =0.

Phương trình tham số của ñ−êng thẳng ñi qua ñiểm M (
0 0
,
x y
) và có
vect¬ chØ ph−¬ng
u

( a, b) là:
0
0
x x at
y y bt





= +
= +


Phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M (

6

6

a
a'
n
n'
O
x
y
z
M
i
k
j
M'

Phng trỡnh ủng thng ủi qua A( a, 0) v B(0, b) cú phng trỡnh:
1
x y
a b
+ =
. (còn gọi là phơng trình đoạn chắn)

0
A x B y C
+ + =
.

Khi ủú mi ủng thng ca chựm cú phng trỡnh dạng:

(
)
1 1 1 2 2 2
( ) 0
Ax B y C A x B y C

+ + + + + =
vi
2 2
0

+
.

Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng

Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (d
1
) có phơng trình:
Ax + By +C = 0 và một điểm M(
0 0
,
x y

+ +
.
Hỡnh 1.2
Nh vậy: 2 đờng thẳng (a) và (a) vuông góc với nhau
' ' 0
AA BB
+ =
.

Đờng tròn có tâm I( a, b); bán kính R > 0 có phơng trình là:
(x- a)
2

+ (y- b)
2
= R
2
.
1.5. Khỏi nim h trc ta ủ trong khụng gian
Cho 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz ủụi mt vuụng gúc
với nhau và chung một điểm gốc O. Gọi
i

,
j

,
k



),nếu vectơ
a

ñược viết dưới dạng:
a

=
xi y j zk
+ +

 
thì
cặp số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ
a

,
kí hiệu:
a

=(x, y, z).
+ Trong không gian Oxyz, tọa ñộ của vectơ
OM

ñược gọi là tọa ñộ của
ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y, z)
⇔
OM xi y j zk
= + +



Ta có:

a

+
b

= (
1 1 2 2 3 3
, ,
a b a b a b
+ + +
).

(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
a b a b a b a b
− = − − −


.
 k
1 2 3
( , , a )
a ka ka k
=

.

2 1 2 1 2 1
x x y y z z
− + − + −
.

Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M
1
M
2
theo tỉ số k:
1 2
MM kMM
=
 

ñược xác ñịnh bởi công thức:
1 2
1 2
1 2
1
1
1
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z

B B B
A A A
M
+ + +
.
8

8

A
B
C
D
A
B
C
A
B


Đặc biệt:
u



v

. 0
u v
=

.
Nếu
0
u



,
v

0


thì: cos(
,
u v

) =


v
(
)
2 2 2
, ,
v x y z

kớ hi

u l
,
u v
l m

t vect

xỏc
ủ
nh b

i:,
uv


, 0
u v=


.

,
u u v

v
,
v u v
, . .sin
u v u v
=



k

R.

, , ,
u v t u v u t


+ = +
Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ
u

,
v

,
t

đồng phẳng là:
, 0
u v t=



=


.
hay:
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
y y z z z z x x x x y y
S
ABC
y y z z z z x x x x y y

= + +

Thể tích hình hộp dựng trên 3 vectơ
AB

,
AD

,
'
AA

là:

6
AB AC AD
.

Điểm G là trọng tâm

ABC
khi và chỉ khi:
G =
( , , )
3 3 3
x x x y y y z z z
B B B
A C A C A C
+ + + + + +
.

Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi:
G =
( , , )
4 4 4
x x x x y y y y z z z z
B D B D B D
A C A C A C
+ + + + + + + + +
.


A B C
+ + >
).

Một số trờng hợp đặc biệt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0).
mp: Ax + Cz+D = 0 song song với Oy.
mp: Ax+ D = 0 song song với mp(yOz).
mp: x= 0 là mp(yOz).

ABC
có
,
n AB AC=



là vectơ pháp tuyến của mp(ABC).

Phơng trình
1
x y z
a b c
+ + =
đợc gọi là phơng trình đoạn chắn của
mặt phẳng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c

0).


10

10

M
Mo
d
d'
u
u'
Nếu (P) cắt (P) theo đờng thẳng (

) thì mọi mặt phẳng qua (

) có phơng
trình:

(Ax+ By+ Cz+D) +
à
(Ax+ By+ Cz+ D)=0, (
2 2
0
à

( ', ', ')
n A B C
=

. Khi đó:
1 2
,
u n n=

là vectơ chỉ phơng của ().

Đờng thẳng (

) qua điểm M(
0 0 0
, ,
x y z
) có vectơ chỉ phơng
( , , )
u a b c


có: + Phơng trình tham số là:
0
0
0
x x at


,
đờng thẳng (d) qua M(
0 0 0
' , ' , '
x y z
) có vectơ chỉ phơng
( ', ', ')
u a b c

. Khi
đó:
+ d và d đồng phẳng


0
, ' 0
u u MM=



.
+ d cắt d

0
, ' 0
: : ': ': '

' : ' : '
x x y y z z

( tức là
, '
u u


cùng
phơng nhng không cùng phơng
0 0
'
M M

).
+ d

d

u

;
'
u

;
0 0
'
M M


0 0 0 0 0 0
' : ' : '
x x y y z z

.
+ d và d chéo nhau

0
, ' 0
u u MM



.
Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Cho đờng thẳng (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct











+ +
+ + +

+ (d) nằm trên (P) khi và chỉ khi:
0 0 0
Aa Bb Cc = 0
Ax By Cz D = 0





+ +
+ + +

Khoảng cách
Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M
0
(
0 0 0
, ,
x y z
).
Khi đó khoảng cách từ M
0

d M d M H
u= =



.
Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau:
Trong không gian cho 2 đờng thẳng chéo nhau có phơng trình tham số:
(d
1
):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct





= +
= +
= +
(d
2

12

12

P
(d)
(d')
w
n
tính theo công thức:
( )
1 1 1
1 1 1
0 0
0 0 0 0 0 0
1 2
2 2
2
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
' ' '
, ', '
' ' '
( , )
, '

p, q, r) và
'
u

=(p, q, r).
Góc giữa 2 đờng thẳng (d) và (d) đợc tính theo công thức:
cos((d), (d)) =
2 2 2 2 2 2
' ' '
. ' ' '
pp qq rr
p q r p q r
+ +
+ + + +
.
Đặc biệt: (d)

(d)

pp + qq+ rr = 0.

Góc giữa hai mặt phẳng:
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0
(
2 2 2
0
A B C
+ +
),
( , , )


(P) khi và chỉ khi:
AA + BB + CC = 0.

Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, (
2 2 2
0
A B C
+ +
)
và đờng thẳng (d) có phơng trình:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct





= +
= +
= +
, (
2 2 2
0

ϕ
≤
90
0
.
§Æc biÖt: (d)

(P) hoÆc (d)
⊂
(P) khi vµ chØ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0.
c
x
Chng 2: Một số lớp bài toán giảI bằng phơng pháp
toạ độ
2.1. Cỏc bi toỏn tớnh toỏn

Phơng pháp giải:
+ Chọn hệ tọa độ thích hợp:
- Trong mặt phẳng, chọn hệ tọa độ có 2 đờng thẳng vuông góc với
nhau, gốc tọa độ là giao điểm của 2 đờng thẳng đó.
- Trong không gian, chọn hệ tọa độ có đỉnh và các trục Ox, Oy, Oz là
tam diện vuông hoặc ta vẽ thêm một số đờng để đợc một tam diện
vuông. Gắn các trục Ox, Oy, Oz thích hợp.
+ Biểu diễn các điểm đ cho qua hệ tọa độ vừa chọn. Tìm phơng trình các
đờng, mặt đ cho.
+ Sử dụng các kiến thức hình học giải tích, phơng trình đờng, mặt, các
công thức tính khoảng cách, diện tích, góc, thể tích để làm sáng tỏ yêu cầu
bài toán.
Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có 3 kích thớc là a, b, c.
Hy tính khoảng cách giữa hai đờng chộo nhau BD và CD theo các kích
thớc a, b, c.
Gii:
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho các tia Ox, Oy, Oz trùng với các tia AB, AD,
AA( Hỡnh 2.1). Theo cách đặt đó và theo bài ra ta có:A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A(0, 0, c); C(a, b, 0).

P
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 0 1
1 1 1
abc
a b b c c a
a b c
+ +
=
+ +
+ +
.
Vậy khoảng cách giữa BD và CD bằng
2 2 2 2 2 2
abc
a b c b a c
+ +
.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh BC, CA, AB lần
lợt lấy các điểm M, N, P sao cho:
MB NC PA

MC NA PB
= = .
Chứng minh rằng: a) CP

MN.
b) CP= MN.






1
1
1
1
1 1
CM CB
k
k
CN CA
k
k
CP CA CB
k k









=
+
=





+

+
+ +

1
( , )
1
k
MN
k k

+

;
1
( , )
1 1
k
CP
k k
+ +

.

a ) Ta thấy:


;
2
2
2
2
2
1 1
1 1 (1 )
k k
CP
k k k
+
= + =
+ + +

.
Vậy MN= CP (đpcm).

2
.
Gii:
Chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz sao cho: O

C, các điểm D, S
lần lợt nằm trên các trục Oy, Oz (Hỡnh 2.3). Khi đó: Ox

AB. Ta có:
C(0, 0, 0); D(0,
3
a
, 0); B(a,
3
a
, 0); E(
2
a
,
3
2
a
, 0); S(0, 0, a).
CD


=(0,
3
a
, 0);

3
6
2
4
3. 2
a
a a
= .
Vậy góc giữa 2 đờng thẳng SE và CD là góc
thoả mn: cos(
SE

,
CD

)=
6
4
.
Để tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng
SE, CD ta lập phơng trình mp(P) chứa CD
và song song với SE.

Hỡnh 2.3
Mp(P) qua C(0, 0, 0) nhận
SE

và
CD


a
, 0, -
2
3
2
a
).
Do đó phơng trình mp(P) là:
2
3
a x-
2
3
2
a
z =0. Từ đó ta có:

17

17



Phơng pháp giải:
+ Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
u v u v
+ +

dấu = xảy ra

.
u k v
= (
k

>0),

u v u v



dấu = xảy ra

.
u k v
=

(k > 0)
+ Sử dụng sự tơng giao của các đờng trong mặt phẳng: Trong mặt phẳng

u v x x
+ = + + + +

. Mặt khác:
( 1 3 ,3 2) (4,5)
u v x x
+ = + + + =

2 2
4 5 41
u v + = + =

.
Mà:
u v u v
+ +

nên:
2 2
2 10 6 13 41
x x x x+ + + +
.
Dấu = xảy ra
u kv
=

với k > 0 nên :
1 3
2 2 9 3
3 2

18

18

Bài 5. Tìm m để hệ phơng trình sau có 1 nghiệm duy nhất:

2 2
2 2
6 8 0 (1)
2 1 0 (2)
x y x y
x y mx





+ + =
+ =

Giải:
Phơng trình (1) là phơng trình đờng tròn(C), tâm I
1
(
1
2
, 3); bán kính
R
1
=

1
3
2
m
+
, R
1
+ R
2
=
5
2
+
2
1
m
+
, nên ta có:

2
2
1
3
2
m
( m

7).

2
2 7 22 0
m m
+ =

2
11
2
m
m





=

=

Vậy có hai giá trị m = 2, m = -
11
2
để hai đờng tròn đ cho tiếp xúc ngoài
nhau.
+ Trờng hợp 2: (C) và (C) tiếp xúc trong: Tức là: I
1
2
2 7 22 0
m m
+ =
2
11
2
m
m





=

=

Vậy có hai giá trị của m để hệ đ cho có nghiệm duy nhất.


) và
đờng y=
2
mx m
+
.(2)
Xét đờng cong:
2
2 2
0
y 4
4
y
x
x y






=
+ =
(I)

Hỡnh 2.4

(I) là nửa phía trên trục Ox của đờng tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 2 có
phơng trình:






=

=
+
=

Gi 2 ủim B(-2, 0) v C(2, 0), h s gúc ca ủng thng AB: k
AB
=
2
3
, h
s gúc ca ủng thng AC: k
AC
= -2.
Vy: Phơng trình có hai nghiệm khi

0 < m <
2
3
; -2 < m <
4
3

.

+ + +
.

20

20

m
x
O
B
D
2
2
C
A
x+ m- 2= 0
x= m
I
-2
-2

x x x
+ + + =

48 4 3
= ;
(
v
=

1, 1, 1)
v
=


3
.
Ta có:
.
u v
=

12 và
.
u v
=1 2 3 50 3
x x x
+ + +

x m x m m
x m





+ <
+ =
(I)
1. Tìm m để hệ có nghiệm.
2. Tìm m để hệ có đúng một nghiệm.
3. Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Giải: Hỡnh 2.5
(I)


2 2
( )( 2 ) 0 (1)
4 (2)
x m x m
x m





+
+


2 2
2 0 (0,2)
4 (2,0)
x m B
x m C





+ =

+ =