Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI
Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M
m,n
(C)
m × n M
m,n
(C) m × n
m = n M

ii
= 1, ∀i = 1, p
a
ii
= −1, ∀i = p + 1, n
U(n) := {A ∈ M
n
(C);
t
AA = E
n
}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n = p + q
U(p, q) := {A ∈ M
n
(R);
t
AD
p,q
A = D
p,q
}.
O(n) SO(n) O(n)
SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}.
A(n) := {D(a
1
, , a
n
); a

x

= g · x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• x
0
∈ χ G · x
0
χ
G · x
0
:= {g · x
0
; g ∈ G},
G · x
0
G x
0
• x
0
∈ χ χ
G
x
0
:= {g ∈ G, g · x
0
= x
0
}
x

N
G
(H) := {g ∈ G; gHg
−1
= H}.
N
G
(H) G H
Aut(G/H) N
G
(H)/H
C
G
(H) := {g ∈ G; ghg
−1
= h, ∀h ∈ H}
H G
H = G
C
G
(G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G).
G χ
G χ
G × χ → χ
(g, x) → x · g
(x · g) · g

= x · (gg

)

σ
Sign(σ) := ε(σ) :=

1≤i<j≤n
σ(i) − σ(j)
i − j
.
•
ε :S
n
→ {−1, 1}
σ → ε(σ)
{−1, 1} R
∗
=
R \ {0} Kerε
•
(i
1
, , i
r
) i
j
→ i
j+1
j < r i
r
→ i
1
r > 1

1
= {id}
C
2
= {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}
C
3
= {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
G V
π G V
π G AutV
π :G → AutV
g → π(g),
π(gg

) = π(g)π(g

), ∀g, g

∈ G.
AutV GL(V ) V
V
dim V = n π n π n
B = (v
1
, , v
n
) V F ∈ AutV
B A n × n A := M

0
V
V
0
⊂ V π−
π(g)(v
0
) ∈ V
0
, ∀g ∈ G, ∀v
0
∈ V
0
.
π
0
:= π |
V
0
G V
0
π
0
π π
• V V
< ., . >:V × V → C
(v, v

) →< v, v



> = < v, v

> .
π π

G C− V
V

G−
F : V → V

C− F : V → V

π π

g ∈ G
F π(g) = π

(g)F,
V
F
−−→ V

π(g)






) = c(V, V

) = dim C(V, V

)
c(π, π

) π π

mult(π, π

)
π π

c(π, π

) = c(π

, π) = 0
G
G G
π
0
G ⊂ GL(n, C)
V = C
n
A ∈ G
G = SO(n) SU(n)
G = S
3

=

1 2 3
3 1 2

=

1 3 2

xy =

1 2 3
2 1 3

1 2 3
2 3 1

=

1 2 3
1 3 2

=

2 3

yx =

1 2 3
2 3 1

=

1 2 3

y
3
=

1 2 3
3 2 1

1 2 3
3 2 1

1 2 3
3 2 1

=

1 2 3
1 2 3

= id.
g ∈ S
3
x y S
3
=< x, y > x y
V = C
π

C
ω = e
1
z
1
+ e
2
z
2
+ e
2
z
2
∈ V
e
1
=
t
(1, 0, 0), e
2
=
t
(0, 1, 0), e
3
=
t
(0, 0, 1) z
1
, z
2

2
+ e
3
)C V
π
0
(g)(e
1
+ e
2
+ e
3
) = e
g(1)
+ e
g(2)
+ e
g(3)
= e
1
+ e
2
+ e
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
π
0
|
V
1

V V
1
V

i
z
i
=

i
z
g
−1
(i)
g ∈ S
3
V
3
a := e
1
ξ + e
2
+ e
3
ξ
2
b := e
1
+ e
2

g
f
g
(x) = f(g
−1
x).
(λ(g)f)(x) := f(g
−1
x) λ
G V
(gg

) · x = g · g

· x
λ(gg

)f(x) = f((gg

)
−1
· x) = f(g

−1
g
−1
· x) = f(g

−1
· g

x · (gg

) = x · g · g

ρ(gg

)f(x) = f(x · (gg

)) = f(x · g · g

)
ρ(g)ρ(g

)f(x) = ρ(g)f
g

(x) = f(x · g · g

).
ρ(gg

)f(x) = ρ(g)ρ(g

)f(x).
(π, V ) (π

, V

) G
π ⊕ π

)(g) =

A(g) 0
0 A

(g)

∈ GL(n + m, C).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(π, V ) (π

, V

) G V ⊗ V

V V

π ⊗ π

π π

(π ⊗ π

)(g)(v ⊗ v

) := π(g)v ⊗ π

(g)v

, ∀v ⊗ v

(g)
a
n,1
A

(g) · · · a
n,n
A

(g)

∈ GL(nm, C).
V (e
i
)
i∈I
V

(f
j
)
j∈J
V ⊗ V

(e
i
⊗ f
j
)
(i,j)∈I×J

)
• S
2
V
(e
1
⊗ e
1
, e
1
⊗ e
2
+ e
2
⊗ e
1
, e
1
⊗ e
3
, e
2
⊗ e
2
, e
2
⊗ e
3
+ e
3

− e
3
⊗ e
1
e
2
∧ e
3
:= e
2
⊗ e
3
− e
3
⊗ e
2
S
p
V ∧
p
V ⊗
2
V
e
i
1
e
i
p
:=

g (p)
, i
1
< < i
p
.
• V S
p
V
C[u, v, w]
p
p π
G V e
i
→ π(g)e
i
S
p
π ∧
p
π S
p
V ∧
p
V
•
π
0
V
∗

j
>= δ
ij
(= 1 , i = j = 0 , i = j)
(e
∗
1
, , e
∗
n
) V
∗
π G V
π
∗
V
∗
(π
∗
(g)ϕ)(v) := ϕ(π(g
−1
)v), ∀ϕ ∈ V
∗
, v ∈ V.
(π
1
, V
1
) (π, V ) G
V/V

2
π
1
G V
1
π
2
G V
2
(π, V ) (π, V )
(π, V )
(π, V )
G (π
1
, V
1
)
V
2
<, >

V
V  C
n
G−
< v, v

>:=

g∈G

)v
1
>=< v, π(g
−1
)v
1
>= 0
v
1
∈ V
1
π(g
−1
)v ∈ V
2
V
2
π(g
−1
)−
G (π, V ) G
(π
1
, V
1
) (π
2
, V
2
)

, ∀b ∈ R.
V
2
:= vC =

x
y

C
V
1
A(b)v =

x + by
y

= λ

x
y

.
λ λ ∈ C x + by = λx y = λy y = 0 λ = 1
by = 0 b
(π, V )
π = π
1
+ π
2
π


, π = π

dim V = n F F = λid λ ∈ C
i) F : V → V

π

(g)F (v) = F(π(g)v), ∀g ∈ G, v ∈ V (∗)
KerF = {v ∈ V, F (v) = 0}
π
−
V v ∈ KerF ⇒ F(v) = 0
(∗)
F (π(g)v) = π

(g)F (v) = 0
π(g)v ∈ KerF
ImF = {F (v), v ∈ V
V

π KerF = {0} KerF = V
π

ImF = {0} ImF = V

F
ii) V = V

F : V → V λ ∈ C

0
)v
= π(gg
0
)v π
= π(g
0
g)v
= π(g
0
)π(g)v
= F (π(g)v).
F λ ∈ C
F (v) = π(g
0
)v = λv, ∀v ∈ V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
g
0
∈ G V
0
= vC V
π V = V
0
V
(π, V )
G dim V = n
π
χ
π

) λ
1
, , λ
n
A(g)
χ
π
(g) =
n

i=1
λ
i
G G
π(g)
(π, V ) (π

, V

)
G
χ
π⊕π

= χ
π
+ χ
π

χ


(b), ∀ a, b ∈ G,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên