TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGỌC YÉN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PARABOL GIẢI
GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
PHI TUYỂN

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

HÀ N Ộ I-2 0 1 5


LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,
và được sự đồng ý của Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Khuất Văn Ninh em
đã thực hiện đề tài “ủ n g dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương
trình phi tuyến”.



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................. 1
NỘI DUNG............................................................................................................ 3
Chương 1. Kiến thức liên quan....................................................................... 3
1.1

Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối........................................... 3
1.1.1 Số gần đúng.......................................................................................3
1.1.2 Sai số tuyệt đ ố i................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tương đối................................................................................ 3

1.2

Làm tròn số và sai số của phép làm tròn.................................................... 4
1.2.1 Làm tròn s ố ........................................................................................ 4
1.2.2 Sai số của phép làm tròn.................................................................... 5

1.3

Cách viết số xấp x ỉ....................................................................................... 7
1.3.1 Chữ số có nghĩa,chữ số chắc............................................................7
1.3.2 Chữ số đáng tin ................................................................................ 7
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ .........................................................................7

1.4 Tỷ sai phân................................................................................................... 6
1.5

Một số khái niệm về dãy s ố ......................................................................... 8

Chúng ta đã biết, Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu đời,
đặc biệt tù’ khi máy tính điện tủ’ ra đời, ngành khoa học này phát triển rất
nhanh chóng. Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng
dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng.
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng. Nó nghiên cứu lý thuyết
xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường
gặp... Đặc biệt Giải tích so chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần
đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học. Trong
nghiên cún khoa học và trong các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc
ruộng đất,...) dẫn đến cần phải giải các phương trình phi tuyến, tuy nhiên các
phương trình này thường phức tạp, do đó nói chung khó có thế giải được
(đưa được về các phương trình cơ bản) bằng các biến đổi đại số, hoặc không
tránh khỏi sai số, ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán. Hơn nữa, vì các
công thức nghiệm của phương trình phi tuyến thường phức tạp, cồng kềnh,
nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua công
thức cũng vẫn gặp phải rất nhiều khó khăn. Vì vậy, các phương pháp giải gần
đúng đã sớm được xây dựng, với các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai
số, đồng thời tiện lợi cho việc lập trình và tiết kiệm số lượng các phép tính,
thời gian tính toán, vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn.
Chính vì vậy nên em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em
là: “ứ ng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình p h ỉ
tuyến“.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Hiểu và nắm vững phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi
tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho

Đe nắm vững và hiểu rõ hơn về phương pháp Parabol giải gần đúng
phương trình phi tuyến trong chương này em xin trình bày về một số kiến
thức liên quan trực tiếp như: sai số, làm tròn số, tỷ sai phân, một số khái niệm
về hàm số, hàm số liên tục, hàm khả vi, sự tồn tại nghiệm của phương trình.
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối
1.1.1 Số gần đúng
Ta nói rằng a là số gần đúng của số a nếu như a không sai khác a nhiều, hiệu
số À = ị^a - a ) là sai số thực sự của a.
Neu A > 0 thì a là giái trị gần đúng thiếu của a .
Neu A < 0 thì a là giái trị gần đúng thừa của a .
1.1.2 Sai số tuyệt đối
Vì rằng a nói chung không biết nên cũng không biết À, tuy nhiên có thế thấy,
tồn tại Àa >0 thỏa mãn điều kiện:
Ia - a\ < Aa .
Số Aa thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a.
Neu số xấp xỉ của a* có sai số tuyệt đối là Afl thì ta viết:
a = a ± Aa
với ịa* - aị < Aa .
1.1.3 Sai số tương đối
Tỷ số ổ =

\a

là sai số tương đối của a.

3


Ta có thể suy га: Д =|ö|.c>

^. 10l hoặc ịi= -.1 0 * mà OLị Ik số lẻ.

1.2.2 Sai số của phép làm tròn
Ta ký hiệu sai số của phép làm tròn là Г , như vậy а - а - Г , rõ ràng

Vì а - а < \а* —а\ + а - а < Аа + Го, do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt đối

tăng thêm Г .

Giả sử hàm số thực^ = / (x) xác định trên [я,/?] và

X. G [ a , b ] ,

V i = 0 ,1 ,2 ,...,п;х. Ф X j,i Ф j .

Khi đó tỷ số
(XM - Xi)
được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số ^ = f ( x ) tại X = (0,1...,/7-1)
và được ký hiệu là: / (x.,x.+1)
[ / ( * ! . .
) - / ( w
. l
) ]
*
.
и д
Á
o
U A „
---------------- được
gọi là tỷ sai: phân
cap
2 của hàm
sôí
Tỷ sôí -------------Т Л

XM - X t

у = f(x) tại Xị và đ ư ợ c ký hiệu là f ( x ; x +l ; x +2 ) .

Cử{x)
Với ú)x[x) = - ^ - L,(0ữ=
X — x0

í

\

í

\

1

\

và
n2 +2

1

r

r

1 I

r

> £ khi và chỉ khi n >---- 2. Vì thê nêu lây n0 - J -----2
ỉ

£

8

8


( phần nguyên c ủ a j —- 2 ) thì với mọi n > nfì ta có
n +1
lim
«->o° n +2

=

n +1
0 ,3 ỉĩ'.\/n > nAhi \u -a '\< —
2
2 1«
I 2


và lim Im I= \a\.
/1—»00*

Chứng minh: Theo định nghĩa của dãy hội tụ
I

I

£

\ / s > 0,3«(): \/n > n0 thì ịun - a ị < —

Từ đó do 11 u„ I - I a 11 < \un - a I ta suy ra 11 u„ I - I a 11< £, \/n > n0.
Vì thế dãy {| un In} hội tụ và limlw I= |a |.
//—>00

*

Định lý 4: Mọi dãy hội tụ thì bị chặn.
Chứng minh: Giả sử {un}„ là dãy hội tụ vàlimw(j = a . Theo trên
» —>00

limlw,| = M. Cho s = ỉ, theo định nghĩa 3n0 :V n > n 0 ta có
n^oo

11 u„ I - I a 11< 1, từ đó suy ra I u„ I < I a I + ỉ, V/7 > n0.
Đặt M = max{I U/ \, I u2 \,... ịun ị, I a I + /}. Ta có I u„ I < M, V/igN*
Vậy dãy { un }„ là dãy bị chặn.
Định lý 5 ( Nguyên lý Bolzano - Weierstrass):


c 1 i gi

s

{un}n là dãy cơ bản. Khi đó

theo trên {un}n là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano Weierstrass dãy {Un}n có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào
đó.Theo tính chất của dãy cơ bản, chính dãy

cũng h i t

đ n a.

Ví dụ 1: Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số {ỉ//?}/7V i
1 1
1
u ——“—I—“——+ ...H------------ .
" 1.2 2.3
n(n + 1)
Gi s

/77 > n. Khi đó:

un - 11mI um un

------------- T-- ^------- z-----------h ... H-----------{n + \){n + 2) {n + 2){n + y)
m(m + 1)

1

1

thì với mọi n, m > n0 ta có Iun - umI< £.

Vậy dãy {u„}„ hội tụ.
Ví du 2: Cho dãy {un}n với un = 1+ —+ —+
2 3 / 2

. Ta chứng minh rằng dãy

này phân kỳ.
Muốn vậy, theo nguyên lý Cauchy ta cần chứng minh rằng:
3 s > 0,v« > /20thì| u„ - um \> £.

11


Ta thấy Iu2„ —u„

Vậy dãy {u„}„ phân kỳ.
Định lý 7:
a) Neu {un}n là một dãy tăng bị chặn trên thì nó hội tụ và
limwtì = su гpиtĩ .

n^cc

n

b) Neu {u„}„ là một dãy giảm bị chặn dưới thì nó hội tụ và
ììmu

Ví dụ. Hàm số f(x) = sinx liên tục trên R.
Thật vậy, cho Xo G R . Ta có

12


X + x0

.

X - x(

s in x -s in x n = 2cos—-—- .s i n — - —< 2 sin ——— < \x - X,'0
01
2
2
2
1
(
Vì thế, cho trước £ > 0 nếu chọn ố = £ thì với mọi JCGIR thỏa mãn
|jc —x 0\ < 5 ta có|sinx - sinx0| < £ . Theo định nghĩa f ( x ) = sinx liên tục tại x0.
Vì x0 là điểm bất kỳ của M, / ’liên tục trênM .
Tương tự ta cũng chứng minh được rằng hàm sốf(x) = cosx liên tục trênM .
1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn
Định nghĩa: Cho hàm số/ : \a,b\ —>R . Neu/ liên tục trên (a, b), liên tục bên
phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta n ó i/liên tục trên [a, b \
Định lý 1: Neu hàm số liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đó.
Định lý 2: Neu hàm số / ’liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cận trên đúng
và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số Xo, Xo ’ e [a, b ] sao cho
f{xo) = sup f { x ) , f [ x 0’) = inf f ( x ) .

c) Ẫà) =Ẩl>\
Khi đó tồn tại ít nhất một điếm c 6[a, b] sao cho f ’(c) = 0.
Định lý 3 (Laggrange). Giả sử hàm số/ : [a,b] —» M có các tính chất:
1) / liên tục trên [a, b].
2) /k h ả vi trong (a, b).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c G[a ,b ] sao cho f{b) - f { à ) = f { c ) { b - à).
1.8

Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm

1.8.1 Sự tồn tại nghiệm
Xét phương trình J{x) = 0

(1-4.1)

Định lý (1.8.1)
Neu có 2 số thực a v ầ b (a < b) sao cho f{a).f[b) < 0 đồng thời f[x) liên tục
trên [a, b] thì ít nhất một nghiệm thực của phương trình ở trong [a, b].
1.8.2 Khoảng tách nghiệm
Định nghĩa:
Khoảng [ia, b] nào đó được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình
(1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.
Định lý (1.8.2)
Hàmy(jt) liên tục, đơn điệu trên [a, b] vầf{a).f(b) < 0 thì \a, b] là khoảng
tách nghiệm của phương trình.
Định lý (1.8.3):
Hàm^(x) xác định trên [a, b] có f ’(x) không đối dấu trên (a, b) và
Ẫ đ ) № < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1).
Ví dụ: Cho f(x) = x 3- 2 x - 5 = 0 hãy chứng minh phương trình có nghiệm
thực và tìm khoảng tách nghiệm ?

+ { Ẽ ậ (x~x^
trong đó c là một điểm ở giữa

X

và X o

15

.

Khi


CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP PARABOL
Như chúng ta đã biết, trong việc giải phương trình dạng / ( jc) = 0 trừ một vài
trường hợp đặc biệt, ta có công thức giải đúng còn nói chung phải sử dụng
một số phương pháp để gải gần đúng phương trình đó.
Trong chương này, ta nghiên cứu về phương pháp Parabol, một trong số các
phương pháp giải gần đúng phương trình dạng: f ( x ) = 0, (trong đó f (jc) là
một hàm phi tuyến),
2.1 Nội dung phương pháp
Xét phương trình f ( x ) = 0

(2.1 )

Giả sử đã biết trước ba xấp xỉ liên tiếp: x„, X„. Ị, x n_2 của nghiệm phương
trình (2.1). Ta xây dựng theo các mốc này đa thức nội suy Newton:
/ ( * ) = / ( * , ) + /(*„>*„-, X* - x, ) + / ( * , . *„-l >*„-2 X* -•*„)(*-*„-.) +


16

(2.3)


Phương pháp Parabol là phương pháp ba bước. Đe xây dựng được dãy
(jcn) , trước tiên ta phải biết trước ba mốc X o ,

x . ì , X . 2.

Đưa vào các ký hiệu:
z „ = x - x„,
ữ n — f ( x n, X n_i, X n_2^)>

b„ = a„(xn-x„.i)+f(x„, x„.i),
cn
khi đó phương trình (2.2) có dạng:
n

cn

0

(2.4)

(, 7-1 —b ± J b 2 —4a c
Nghiêm của (2.4) có dang z„ ' ^ = —-— — --------!LJL.
2 an
Nghiệm có môdun nhỏ nhất trong hai nghiệm z„(1), z„(2) ta ký hiệu là 2n
*,,-i)
Khi đó xấp xỉ xn+1 được tính theo công thức:
•*„+1

-x„)(x„ -X,,.,)

(2.7)

J V^/I ’^n-\ )
Bậc hội tụ của phương pháp (2.6) và (2.7) không nhỏ hơn bậc hội tụ
của phương pháp parabol. Khi sử dụng phương pháp (2.4) và (2.5) ta nên
sử dụng bảng sau:

17



x„ - X

f ( x t , x „ x a)

X2

X2 - x 2

X2 - X,

f ( x „ x 2, x , )

Xĩ

Xi - x 3

x

f ( x |.-*o)

3

- x 2

2.2 Bậc hội tụ
2.2.1 Định nghĩa
Số a eR,

a > 0


1,15

-1,5044

1

1,2

-1,13402

7,40846

2

1,25

-0,6228

10,2243

3

1,29223 -0,05992

4

1,29628 -0,00019

5

0,0045

0,04681

15,0274

37,2223

1,2963

0,00001

0,00399

Từ bảng trên ta có:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm dương là X = 1,29629 với độ
chính xác

8

=

l ơ 4.

Trong Maple: Ta dùng lệnh sau để giải ví dụ 2.1.
[> fsoỉve(xA6-3*xA2+x-ỉ, {x},0..infinity);
Kết quả:
{x = 1.296294391}
Với nghiệm đúng của phương trình là X* = 1,296294391 ta có bảng
đánh giá sai số sau:

1,29223

0,004064391

4

1,29628

0,0000144

5

1,29629

0,00000439

Phác họa đồ thị hàm số y =

X6-

3x2 + X -

ỉ

trên ^0,

Giải ví dụ 2.1 bằng pascal.
Program giaividu2.1;
Var xO, x l, x2, x3, k l, k2, k3, s, a, b, e: real;
i: byte;