BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG THỊ THẢO

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ
NỬA TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trần Đình Kế đã tận tình
hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn
thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất
trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả


15

3 Tính ổn định hoá được yếu của hệ điều khiển
22
3.1 Tính ổn định hóa được yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tài liệu tham khảo

34

ii


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giả sử X và U là không gian Banach. Xét hệ điều khiển dạng
D0α x(t) ∈ Ax(t) + Bu(t) + F (t, xt ), t > 0,

(0.1)

x(t) = ϕ(t), t ≤ 0,

(0.2)

ở đó D0α , α ∈ (0, 1), là đạo hàm cấp phân số theo nghĩa Caputo, A sinh ra C0 -nửa
nhóm trên X , B : U → X là toán tử tuyến tính bị chặn, ϕ ∈ B với B là không
gian pha sẽ được giới thiệu trong phần sau, F : [0, ∞) × B → P(X) là ánh xạ đa
trị, và xt ký hiệu trạng thái lịch sử của hệ và được xác định bởi xt (s) = x(t + s)
với s ∈ (−∞, 0].

phản hồi nếu tồn tại toán tử tuyến tính D : U → X sao cho với u(t) = Dx(t), tập
nghiệm S(ϕ) = ∅ và thoả mãn
1. Ổn định: với bất kì > 0, tồn tại δ > 0 sao cho khi |ϕ|B < δ thì supt>0 |xt |B


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Ổn định hoá cho hệ điều khiển cấp phân số
tuyến tính

Giả sử A là toán tử tuyến tính với miền D(A) là phần tử sinh của một C0 -nửa
nhóm {etA }t≥0 trên X . Ký hiệu
σ(A)

là phổ của A,

s(A)

là bán kính phổ của A,

ω(A)

là độ tăng trưởng mũ của A,
là độ tăng trưởng cốt yếu của A,

ωess (A)

ln etA
t→∞
t

trong đó s(A) = sup{Re(λ) : λ ∈ σ(A)}; ω(A) = lim

(iii) ωess (A) = ωess (A + K), ở đó K : X → X là toán tử compact;
4


(iv) Với mỗi ω > ωess (A) tập σ(A) ∩ {λ ∈ C : Re(λ) ≥ ω} là bị chặn.
Nhắc lại rằng với mỗi ω > ωess (A) cố định (ω được gọi là điểm tách phổ) thì
σ(A) có thể được viết dưới dạng σ(A) = σu (A) ∪ σs (A) (xem [9, Định lý V.3.7]),
ở đó
σu (A) = σ(A) ∩ {λ ∈ C : Re(λ) ≥ ω}
σs (A) = σ(A) ∩ {λ ∈ C : Re(λ) < ω}.

Chúng ta có thể thấy rằng σu (A) là bị chặn và tách σs (A) bởi một đường cong
đóng ΓC . Khi đó theo kết quả của Kato [17, Định lý 6.17], ta thu được biểu diễn
tương ứng của không gian trạng thái và toán tử A như sau
X = Xu ⊕ Xs , A = Au ⊕ As ,

ở đây Xu = P X, Xs = (I − P )X , P là toán tử chiếu
P =

1
2πi

(λI − A)−1 dλ
ΓC

và
Au = A

Xu


1
=
Γ(1 − α)

(t − s)−α f (s)ds.
0

5


Xét bài toán Cauchy
D0α x(t) = Ax(t) + f (t), t > 0, α ∈ (0, 1],

(1.1)

x(0) = x0 .

(1.2)

Định nghĩa 1.3. Một hàm x ∈ C([0, T ]; X) được gọi là nghiệm tích phân của
(1.1)-(1.2) trên khoảng [0, T ] khi và chỉ khi
t

x(t) = Sα (t)x0 +

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds, ∀t ∈ [0, T ],

(1.3)

θA


0

φα (θ) =

1
απ

∞

(−1)n−1 θn−1
n=1

Γ(nα + 1)
sin nπα, θ ∈ (0, ∞).
n!

(1.6)

Công thức của (1.3) và của các toán tử Sα (·), Pα (·) có thể tìm thấy trong bài
báo [33]. Chúng ta gọi Sα (·) và Pα (·) là toán tử giải thức cấp phân số sinh bởi
toán tử A.
Trong (1.1)-(1.2), ta đặt f (t) = Bu(t), khi đó chúng ta bàn về hệ điều khiển
tuyến tính
D0α x(t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0,

(1.7)

x(0) = x0 .


e−sθ θδ φα (θ) dθ, s ≥ 0,

Ψα,δ (s) =

(1.9)

0

ở đó φα cho bởi (1.6). Khi đó ước lượng quan trọng sau được chứng minh trong
[1].
Bổ đề 1.2 ([1]). Tồn tại số Dδ sao cho
0 ≤ Ψα,δ (s) ≤

Dδ
, ∀s > 0.
s1+α

(1.10)

Cho trước toán tử A, ký hiệu S(·) và {Sα (·), Pα (·)} tương ứng là C0 -nửa nhóm,
các toán tử giải thức cấp phân số sinh ra bởi A. Khi đó chúng ta có
∞

φα (θ)S(tα θ)dθ,

Sα (t) =
0

(1.11)


(1.14)

,

và
Pα

L(X)

≤ αM min

1
D1
, 2 2α
Γ(1 + α) a t

,

với bất kì t > 0, ở đó D0 , D1 là các hằng số cho trong Bổ đề 1.2.
7

(1.15)


Chứng minh. Ta biết rằng (xem, ví dụ, [33, Bổ đề 3.2])
Sα (t)

L(X)

≤ M, Pα (t)


L(X) dθ
θ

dθ = M Ψα,0 (atα ) ≤

0

M D0
atα

(1.17)

và
∞

Pα (t)

L(X)

θφα (θ) S(θtα )

≤α
0

∞

αθφα (θ)e−at

≤M

tách phổ ω mà ωess (A) < ω < 0 thì s(As ) = ω(As ) < 0.
Giả sử Du là toán tử phản hồi sao cho (Au , P B) ổn định hoá được, và đặt
D = (Du , 0) ∈ L(X, U). Khi đó sử dụng các lập luận tương tự như trong chứng
minh [6, Định lý 3.32] (cũng xem [30, Định lý 6.1]), ta có toán tử A = A + BD

8


sinh ra một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định mũ, nghĩa là tồn tại các hằng số
dương M ≥ 1, a > 0 sao cho
S(t)

L(X)

≤ M e−at , t ≥ 0.

(1.19)

Sử dụng điều khiển phản hồi u(t) = Dx(t), nghiệm tích phân của (1.7)-(1.8) cho
bởi công thức
x(t) = Sα (t)x0 .

Từ đó và Bổ đề 1.3 ta có
x(t) ≤ Sα (t)

L(X)

x0 = O(t−α ) khi đó t → +∞,

Bất đẳng thức cuối cho ta điều phải chứng minh.


0

Vì nửa nhóm t → etA là liên tục theo chuẩn, và toán tử BDS(s) bị chặn với mỗi
s ≥ 0, nên ánh xạ
t

e(t−s)A BDS(s)zds, t > 0,

t→
0

9


liên tục đều, với tất cả z nằm trong tập bị chặn. Vì thế ánh xạ t → S(t)z cũng
liên tục đều với t > 0. Nghĩa là, nửa nhóm S(·) cũng liên tục theo chuẩn. Sử
dụng các lập luận như trong [31, Định lý 3.2], chúng ta có các họ giải thức cấp
phân số Sα (·), Pα (·) cũng liên tục theo chuẩn. Do vậy khẳng định thứ nhất được
chứng minh. Khẳng định thứ hai cũng được chứng minh bởi sử dụng [1, Mệnh
đề 2.2].
Để chứng minh khẳng định thứ ba, theo công thức (1.21) chúng ta quan sát
thấy rằng nếu t → etA là nửa nhóm compact thì S(t), t > 0, là toán tử compact.
Từ đây và [31, Định lý 3.5], ta có Sα (t) và Pα (t) là toán tử compact với mọi
t > 0.

1.2

Không gian pha



(1.22)

ở đó γ là số dương. Khi đó Cγ là không gian pha thoả mãn tiên đề (B1)-(B3) với
K(t) = 1, M (t) = e−γt ,

10

(1.23)


và Cγ là không gian Banach với chuẩn cho bởi
|φ|B = sup eγθ φ(θ) .
θ≤0

Một ví dụ khác về không gian pha như sau. Giả sử rằng 1 ≤ p < +∞, 0 ≤ r < +∞
và g : (−∞, −r] → R là hàm đo được Borel không âm trên (−∞, −r). Giả sử CLpg
là lớp các hàm ϕ : (−∞, 0] → X sao cho ϕ liên tục trên [−r, 0] và g(θ) ϕ(θ) pX ∈
L1 (−∞, −r). Một nửa chuẩn trên CLgX cho bởi công thức
−r

|φ|

CLgX

=

sup { ϕ(θ)

X }+


ở đó G : (−∞, 0] → R+ là hàm bị chặn địa phương. Ta biết từ [15] rằng nếu (1.25)(1.26) thoả mãn, thì CLpX thoả mãn (B1)-(B3). Hơn nữa, ta có thể lấy

1
với 0 ≤ t ≤ r,
1
K(t) =
(1.27)
1+ −r g(θ) dθ p với t > r;
−t

1

max 1+ −r g(θ) dθ p , G(−t) p1
với 0 ≤ t ≤ r,
−t
M (t) =
(1.28)
1
1
p

−r
max
p
g(θ) dθ , G(−t)
với t > r.
−t

1.3


Bây giờ, ta giới thiệu một vài độ đo không compact. Giả sử L > 0 và D ⊂ E =
C([0, T ]; X), đặt
ωT (D) = sup e−Lt χ(D(t)), ở đo D(t) := {x(t) : x ∈ D},

(1.29)

t∈[0,T ]

modT (D) = lim sup

max

δ→0 x∈D t,s∈[0,T ],|t−s|
χ

= 0 khi và chỉ khi L là toán tử compact.

χ

≤ L

L(E) ;

Ta nhắc lại một số ước lượng cơ bản về MNC.
Mệnh đề 1.6. ([16]) Nếu {ωn } ⊂ L1 (0, T ; X) sao cho
ωn (t)

X

≤ ν(t), với hầu khắp nơi trên [0, T ],

với ν ∈ L1 (0, T ), thì
t

χ

t

ωn (s) ds

≤2

χ({ωn (s)}) ds


q(s) ds,
0

0

Trong luận văn này ta sẽ sử dụng một vài khái niệm và kết quả của giải tích
đa trị. Giả sử Y là không gian metric.
Định nghĩa 1.6. ([16]) Một ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

13


(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu với mọi tập con đóng V ⊂ E tập F −1 (V ) :=
{y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là tập con đóng của Y ;
(ii) nửa liên tục dưới yếu nếu với mọi tập đóng yếu V ⊂ E tập F −1 (V ) là tập
con đóng của Y ;
(iii) đóng nếu đồ thị ΓF := {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập con đóng của Y × E ;
(iv) compact nếu F(Y ) là tập compact tương đối trong E ;
(v) tựa compact nếu hạn chế của F trên mỗi tập con compact A ⊂ Y là compact.
Bổ đề 1.8. ([16, Định lý 1.1.12]). Giả sử G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng
tựa compact với giá trị comapct. Khi đó G là u.s.c.
Bổ đề 1.9. ([4, Mệnh đề 2]). Giả sử X là không gian Banach và Ω là một tập
con khác rỗng của không gian. Giả sử rằng G : Ω → P(X) là ánh xạ đa trị với
giá trị lồi compact yếu. Khi đó G là u.s.c yếu khi và chỉ khi {xn } ⊂ Ω mà từ sự
hội tụ mạnh xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) suy ra sự hội tụ yếu yn
y0 ∈ G(x0 )
(đúng tới một dãy con).
Cuối cùng ta nhắc lại một số nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén.
Định nghĩa 1.7. Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là nén tương

x(t) = ϕ(t), t ≤ 0.

(2.2)

Giả sử T > 0 và ϕ ∈ B, ký hiệu Cϕ là tập tất cả các hàm liên tục y : [0, T ] → X
sao cho y(0) = ϕ(0). Khi đó Cϕ là không gian con đóng của C([0, T ]; X) với chuẩn
y

C

= sup

y(t) .

t∈[0,T ]

Với ϕ ∈ B và y ∈ C([0, T ]; X), chúng ta định nghĩa hàm y[ϕ] : (−∞, T ] → X bởi
y[ϕ](t) =

y(t) với t ∈ [0, T ],
ϕ(t) với t < 0.

Với x ∈ Cϕ , ký hiệu
PFp (x) = {f ∈ Lp (0, T ; X) : f (t) ∈ F (t, x[ϕ]t )}.

Lập luận như trong [11], ta có PFp hoàn toàn xác định. Bởi công thức (1.3), ta
có định nghĩa nghiệm tích phân cho hệ (2.1)-(2.2) như sau.
Định nghĩa 2.1. Một hàm x : (−∞, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của
bài toán (2.1)-(2.2) trên (−∞, T ] khi và chỉ khi x(t) = ϕ(t) với t ≤ 0, và tồn tại
15

(A) C0 -nửa nhóm sinh bởi toán tử A là liên tục theo chuẩn.
(B) Không gian pha B thoả mãn (B1)-(B4).
(F) Ánh xạ đa trị F : R+ × B → Kv(X) thoả mãn
(1) với hầu khắp t ∈ R+ ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) là u.s.c;
(2) với mỗi v ∈ B cố định, ánh xạ đa trị F (·, v) : [0, T ] → Kv(X) luôn có
hàm chọn đo được mạnh với mỗi T > 0;
(3) tồn tại hàm không âm m ∈ Lploc (R+ ) với p >

1
sao cho với mọi v ∈ B,
α

ta có
F (t, v) ≤ m(t)|v|B ,

với hầu khắp t ∈ R+ , ở đó F (t, v) = sup{ ξ : ξ ∈ F (t, v)};
(4) nếu nửa nhóm sinh bởi toán tử A không compact thì với mỗi tập bị
chặn Ω ⊂ B, ta có
χ(F (t, Ω)) ≤ k(t) sup χ(Ω(θ))
θ≤0

với hầu khắp t ∈ R+ , ở đó k ∈ Lploc (R+ ) là một hàm không âm.
16


Trước khi phát biểu kết quả trong phần này, ta chứng minh một tính chất quan
trọng của PFp .
Bổ đề 2.1. Giả sử (F) thoả mãn. Khi đó ánh xạ đa trị PFp là u.s.c yếu.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.9, ta cần chứng minh rằng nếu {xk } ⊂ Cϕ với xk → x∗
và fk ∈ PFp (xk ) thì fk f ∗ ∈ PFp (x∗ ).


17


tương đối và do đó
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)fn (s) ds

χ({Qα (fn )(t)}) ≤ χ
0
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)

≤2

χ χ({fn (s)}) ds

0

= 0.

Từ Mệnh đề 1.5, ta thấy {Qα (fn )} là tập liên tục đồng bậc. Do đó, theo định
lý Arzelà-Ascoli ta có {Qα (fn )} là tập compact tương đối. Lập luận như trong
chứng minh của Bổ đề 2.1, ta có fn (t) → f ∗ (t) với hầu khắp t ∈ (0, T ), và do đó
Qα (fn ) → Qα (f ∗ ). Từ đây và (2.4) chúng ta có
y ∗ (t) = Sα (t)ϕ(0) + Qα (f ∗ )(t), ∀t ∈ [0, T ],

ở đó f ∗ ∈ PFp (x∗ ). Do đó y ∗ ∈ Σ(x∗ ). Do đó ta đã chứng minh được Bổ đề 2.2.

p−1
p

(m(s))p x[ϕ]s

ds

0

≤ SαT ϕ(0) + PαT

ở đây SαT = sup

Sα (t)

t∈[0,T ]

p

ds

0

p−1
αp − 1

T
L(X) , Pα

1


= sup

L(X) .

t∈[0,T ]

Sử dụng tiên đề (B2), ta có
x[ϕ]s ≤ K(s) sup

x(r) + M (s)|ϕ|B

r∈[0,s]

≤ KT sup

x(r) + MT |ϕ|B ,

r∈[0,s]

18

(2.6)


với
KT = sup K(s), MT = sup M (s).
s∈[0,T ]

s∈[0,T ]

C2
0

(m(s))p KTp ( sup

r∈[0,s]

x(r) )p + MTp |ϕ|pB ds

ở đó
p−1
αp − 1

C1 = SαT ϕ(0) , C2 = PαT

p−1
p

T

αp−1
p

,

(2.7)

.

Vì vế phải của (2.7) không giảm nên ta có

t

(m(s))p ψ(s) ds,

ψ(t) = C3 + C4
0

và M0 = {x ∈ Cϕ : ( sup x(r) )p ≤ ψ(t)}. Hiển nhiên, M0 là tập con lồi đóng
r∈[0,t]

của Cϕ . Tuy nhiên, từ (2.8) chúng ta thấy nếu x ∈ M0 thì z ∈ M0 . Do đó
Σ(M0 ) ⊂ M0 .
Bây giờ, chúng ta xây dựng tập con M như yêu cầu. Với k ≥ 1, ký hiệu
Mk = coΣ(Mk−1 ). Theo định nghĩa của Mk , chúng ta có các tính chất sau đây
• Mk là tập lồi đóng;
• Mk ⊂ Mk−1 , với mọi k ≥ 1;
• Mk là tập liên tục đồng bậc, do Mệnh đề 1.5.

Đặt M =

Mk . Khi đó M là tập lồi khác rỗng và liên tục đồng bậc. Thêm
k≥1

vào đó, Σ(M) ⊂ M. Do đó ta sẽ chỉ ra rằng M là tập compact. Theo định lý
19


Arzelà-Ascoli, ta cần chứng minh χ(M(t)) = 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Để chứng minh
điều này, ta sẽ kiểm tra µk (t) = χ(Mk (t)) → 0 khi k → ∞. Thật vậy, sử dụng
Mệnh đề 1.7, ta có


(t − s)α−1 k(s) sup χ(Mk−1 (r)) ds
r∈[0,s]

0
t

≤ 4PαT

(t − s)

(α−1)p
p−1

p−1
p

(k(s))p ( sup µk−1 (r))p ds

ds

r∈[0,s]

0

0

= 4PαT

1

p

(k(s))p ( sup µk−1 (r))p ds,

( sup µk (t)) ≤ C5
r∈[0,t]

ở đó C5 = (4PαT )p

p−1
αp−1

p−1

(2.9)

r∈[0,s]

0

T αp−1 . Đặt ζk (t) = ( sup µk (t))p thì (2.9) được viết
r∈[0,t]

lại như sau

t

(k(s))p ζk−1 (s) ds.

ζk (t) ≤ C5