Bài toán biên thứu hai đối với phương trình
Monge-Ampere Elliptic

Bùi Văn Toan

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Toán Giải Tích; Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Chương 1. Trình bày bài toán biên thứ hai đối với phương trình
det(uij): Một số kiến thức bổ trợ (nón lồi, đa diện lồi; siêu mặt lồi và hàm
lồi; nón tiệm cận; ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi; phương
trình Monge-Ampere), bài toán biên thứ hai đối với phương trình det (các
nghiệm yếu và nghiệm suy rộng, bài toán biên thứ hai, bài toán biên thứ hai
trong lớp đa diện lồi). Chương 2. Tìm hiểu bài toán biên thứ hai đối với
phương trình tổng quát: phát biểu định lý về sự tồn tại nghiệm, xây dựng
không gian nghiệm, chứng minh định lý.

Keywords: Toán giải tích; Phương trình toán học; Bài toán biên

Content
Phương trình Monge-Ampere loại elliptic trong không gian
n
R
có dạng:

det( ) ( , , )
ij
u f x u Du

Bố cục luận văn chia làm 2 chương:
Chương 1: Bài toán biên thứ hai đối với phương trình

ij
g( x )
det(u )
R( Du)
.
Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát .
Chương 1. Bài toán biên thứ hai đối với phương trình
ij
g(x)
det(u )
R(Du)


1.1 . Một số kiến thức bổ trợ.
1.1.1. Nón lồi, đa diện lồi.
1.1.2. Siêu mặt lồi và hàm lồi.
Tập F được gọi là một mặt lồi n-chiều (hoặc một siêu mặt lồi) trong
n
E
nếu F là
một miền gồm biên của một thể lồi (n+1)-chiều H trong nghĩa là F là một tập con
mở, liên thông của
H
trong tô pô của cảm sinh bởi .
Với
1o
X ,X

o t t o
f t X tX f X z t f X tf X      


đúng với mọi
1o
X ,X G
.
b) Nếu là một hàm lõm trong G, với khi đó bất đẳng thức :
 
 
 
 
 
11
11
o t t o
f t X tX f X z t f X tf X      


đúng với mọi
1o
X ,X G
.
1.1.3. Nón tiệm cận
1n
E
H
1n
E

A
LM
và

AB
LL
thì

B
LM
.
1.1.4. Ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi
1.1.4.2. Ánh xạ chuẩn tắc.
1.1.4.3. Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi.
1.1.4.4. Một số tính chất đối với ánh xạ chuẩn tắc của hàm lồi.
1.1.4.5. Độ cong R của các hàm lồi.
1.1.4.6. Các tính chất của hàm lồi liên quan đến độ cong R của chúng.
Định lý 1.1.4.6.1 Cho
     
12
z x z x W G

,
và
   
12
z x z x
trên
G
, trong đó G là

i)
QG,

ii)
   
12
z x z x x Q,,  

iii)
   
12
z x z x x Q,.  

Nếu có ít nhất một điểm
o
xG
mà
   
21
z o z o
xx\   
, khi đó:
   
12
R z Q R z Q, , , ,  
.
1.1.5. Phương trình Monge-Ampere.
1.1.5.1. Các phương trình Monge-Ampere cổ điển (n=2)
1.1.5.2. Phương trình Monge-Ampere n- chiều đơn giản nhất
det( ) ( , , )

Khi đó, bài toán biên thứ hai của phương trình (1.1) có một nghiệm suy rộng u(x) và
nghiệm này là duy nhất sai khác một hằng số cộng tính.
1.2.3. Bài toàn biên thứ hai trong lớp các đa diện lồi
Định lý 1.2.3.1 . Nếu các số
12
, , ,
m
  
là các số không âm và đẳng thức
()
1
()
n
k
n
i
E
i
Rp






, (1.9)
1n
E

đúng, khi đó bài toán biên thứ hai có nghiệm trong lớp các đa diện lồi

,
K
xu

là các hàm số thoả mãn Giả thiết 2. Giả sử tồn tại hai số
kk
ab,
sao cho :
kk
ab    

Và :
a )
 
 
,
n
K
E
x k x q dx  


với mọi ;
b)
 
 
*
,;
n
Kk



ở đó z = k(x) là phương trình của nón K và
 
*
12
, , ,
n
K
   

 
 
12
1
, , , , , .


  

n
n
i i n
i
x x x x x x E

Khi đó phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng lồi u(x) với nón tiệm cận
K , và
 
kk

Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Ilya J.Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic
Equation, Springer-Verlag. Berlin New York
[3] Rokafeler R.T (1970), Convex Analysis, Princeton, N.J.
[4] Pogorelov A.V (1964), Monge-Ampere equations of elliptic type, Groningen,
Noordhoff, Groningen.