1
LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã được sự chỉ đạo, hướng dẫn,
động viên tận tình của cô giáo: Th.S Đoàn Thị Chuyên, giảng viên khoa Toán -
Lí – Tin, đồng thời nhận được sự góp ý về đề tài, tạo điều kiện thuận lợi về cơ
sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của các thầy cô trong khoa Toán – Lí –
Tin, phòng nghiên cứu khoa học và thư viện trường đại học Tây Bắc. Bên cạnh
đó tôi còn nhận được sự động viên giúp đỡ của các bạn trong tập thể lớp K47 -
đại học sư phạm Toán, sự giúp đỡ trong việc đánh máy, in ấn của tất cả bạn bè,
người thân.

Nhân dịp này, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ,
động viên quý báu của các thầy cô, các bạn, tới những người thân, các đơn vị
liên quan, đặc biệt là cô giáo Th.S Đoàn Thị Chuyên.

Sơn La, tháng 05 năm 2010
Người thực hiện
Lê Thị Liễu

2
MỤC LỤC

Tài liệu tham khảo:………………………………………………..……………32
3

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn khoá luận
Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen
với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ
bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình
truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp
phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic.
Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường
đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều
này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền
bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc
phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng,
tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi
hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ
của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì
vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự
khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn
sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và
bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu
khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài
toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”.
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương
trình parabolic cấp hai.
2.2. Phương pháp nghiên cứu

5 CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian
()
k
C Ω

Ta dùng các kí hiệu sau:
+)
()C Ω
là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên
Ω
.
+)
()
k
C Ω
là tập hợp các hàm xác định trên
Ω
sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại
và liên tục trên Ω.
+)
()C
∞
Ω
là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên

.
+)
00
()()()
kk
CCCΩ=Ω∩Ω
.
+)
00
()()()CCC
∞∞
Ω=Ω∩Ω
.
1.1.2. Không gian L
p

Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt
quan trọng là không gian L
p
mà dưới đây ta sẽ khảo sát.
Định nghĩa.
Cho một không gian
Ω
và một độ đo
µ
trên một
σ −
đại số F các tập
con
6

Lebesgue thì ta viết
().
p
L Ω

Tập hợp
(,)
p
L µΩ
( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn
với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn

1
().
p
p
p
ffdµ
Ω
=
∫

Định lí 1.
Không gian
(,)
p
L µΩ
với
1 p≤<+∞


Chứng minh
Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó,
n
x∈R

Kí hiệu
(,)UxR
là hình hộp

{ }
(,):,1,
n
ii
UxRyRyxRin=∈−<=

7
Giả sử
()
p
fL∈Ω
và
0ε >
. Đặt
()0fx=
với
x∉Ω
, và xét như một
hàm thuộc
()


vì hàm
R
g
liên tục trên
(0,1)UR+
nên nó liên tục đều trên
(0,)UR
.
Do vậy
0δ∃>
sao cho

()(),,(0,),,
n
p
RR
gxgyRxyURxyεδ
−
−<∈−<

lấy
2
N
Rnδ
−
=
với N là một số nguyên nào đó để
δ
đủ nhỏ. Chia hình hộp

−
−=−<

Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm
j
x
. Ta có

(0,)
p
p
R
UR
ghdx ε−<
∫

Đặt
0
R
g =
, h(x) = 0 đối với
\(0,)
n
xUR∈R
ta được
8
1
1
1
(0,)

p
p
ppp
RR
URUR
UR
fxgxdxgxhxdxfxdx


≤−+−+





∫∫∫
R
11
(0,1)(0,)
()()()()
pp
pp
RR
URUR
fxgxdxgxhxdx
+

≤−+−



LpΩ≥
là tính liên tục toàn cục của nó.
Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục)
Giả sử
Ω
là một miền thuộc
,(),1,()0
n
p
fLpfx∈Ω≥=R
bên ngoài
.Ω

Khi đó với mỗi
0ε >
tồn tại một số
0δ >
, sao cho

()(),
p
fxfxydx ε
Ω
−+<
∫

với mọi y thỏa mãn
.y δ<

1.1.3. Trung bình hóa

()
0
lim0.
p
h
L
h
uu
Ω
→
−=

Định lí 6.
9
Nếu
1
,()fgL∈Ω
, thì

()()()().
hh
fxgxdxfxgxdx
ΩΩ
=
∫∫

Định lí 7.
Nếu
1
()fL∈Ω

()()(1)()()uxxdxvxDxdx
α
α
ψψ
ΩΩ
=−
∫∫
, với mọi
0
()Cψ
∞
∈Ω
,
ở đó
1212
(,,...,),...
nn
αααααααα==+++
và

12
12
.
...
n
n
D
xxx
α
α

()()()
loc
uxuxL−∈Ω
nên
12
()()0uxux−=
hầu khắp nơi trong
Ω
.
Suy ra
12
()()uxux=
hầu khắp nơi trong
Ω
.
ii) Nếu
0
()()vxC
∞
∈Ω
thì theo công thức Ostrograsdki ta có

()()(1)()(),uxxdxvxDxdx
α
α
ψψ
ΩΩ
=−
∫∫
với hàm tuỳ ý

ijnjin
ff
xxxxxxxx
αα
αα
αααα
αα
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂∂∂

+
1
1
.........
j
in
ijn
v
xxxx
α
α
αα
α
∂
∂∂∂∂

=
1
1

dxvdx
xxxx
α
α
α
αα
α
ω
ΩΩ
∂
=−
∂∂∂∂
∫∫

=
1
1
,
.........
j
in
jin
f
fdx
xxxx
α
α
ααα
Ω
∂

Xét hàm
()fxx=
trên (-1;1).
ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại
0x∀≠
. Tại x = 0 thì không tồn tại đạo
hàm vì
(0)1,(0)1ff
−+−−
==−
. Ta sẽ chứng minh
()fxx=
có đạo hàm suy
rộng trên toàn trục số.
11
Xét

11
0
11
,(),
dv
xdxvdxvC
dx
ω
∞
−−
=−∀∈
∫∫
R

vvv
xdxxdxxdx
xxx
−−
∂∂∂
=+
∂∂∂
∫∫∫

hay
101
110
vvv
xdxxdxxdx
xxx
−−
∂∂∂
=−+
∂∂∂
∫∫∫0101
1010
1
1
(1)1
.
vdxvdxvdxvdx
vdxω

1212
''
.
......
nn
nn
vv
fdxfdx
xxxxxx
αα
αα
αααα
ΩΩ
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂
∫∫

Do
00
('),()vCvC
∞∞
∈Ω∈Ω
với
'Ω⊂Ω
nên
12

'
11.vdxvdx

α
αα
ω
∞
ΩΩ
∂
=−∀∈Ω
∂∂∂
∫∫

Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng

1
1
...
n
n
f
xx
α
αα
ω
∂
=
∂∂
trên
'.Ω

vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng
Dv

Chứng minh
Do 0 < h < d,
'x∈Ω
và hàm
0
()
xy
C
h
θ
∞
−

∈Ω


với
',x∈Ω
nên khi sử
dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được

()()(),
n
n
h
xy
DuxDxhuydy
h
αα
θ