i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt cho
bản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tận
tình để tôi hoàn thành công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng
kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình
Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa
học Cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an
tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Tác giả
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 2
1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 5
1.1 Nguyên lý cực đại của E. Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman . . . . . 13
1.2.1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý . . . . . . . . 13

elliptic cấp hai và dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai.
2
3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính của
luận văn là:
Nguyên lý cực đại của E. Hopf, Alexandrov và Bakelman đối
với các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính, nguyên lý cực đại đối
với lớp phương trình elliptic cấp hai phi tuyến và đối với dạng sai phân
của phương trình Poisson. Áp dụng nguyên lý cực đại để tìm nghiệm
bằng phương pháp sai phân. Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối
với phương trình Poisson
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Nguyên lý cực đại, dạng sai phân, nghiệm xấp xỉ
của phương trình elliptic cấp hai.
Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên
cơ sở các tài liệu chuyên khảo.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyền
thống của Giải tích hàm: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về nguyên lý cực đại đối với phương
trình elliptic cấp hai. Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các tài liệu
liên quan: Giáo trình, tạp chí,
Luận văn được viết dựa trên nội dung các chương 2 và 3 của tài
liệu [3]
4
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học các
vấn đề về nguyên lý cực đại của phương trình elliptic và các ứng dụng
của nó. Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyết

ij
(x) = a
ji
(x) với mọi i, j và x ∈ Ω ⊂ R
n
(ii) Tính Elliptic: Tồn tại một hằng số λ > 0 với
λ |ξ|
2
≤
d

i,j=1
a
ij
(x) ξ
i
ξ
j
với mọi x ∈ Ω, ξ ∈ R
d
.
Do đó, ma trận

a
ij
(x)

i,j=1, ,d
là xác định dương với mọi x, và giá trị
riêng nhỏ nhất là lớn hơn hoặc bằng λ.

Mục đích của chương này là chứng minh nguyên lý cực đại cho nghiệm
của Lu = 0.
Trở lại mục đích ban đầu, chúng ta sẽ chỉ ra rằng cần phải đặt thêm
điều kiện về dấu của c (x). Để minh họa, chúng ta xét một ví dụ đơn
giản về bài toán Dirichlet
u”(x) + u(x) = 0 trên (0, π)
u(0) = u(π) = 0.
Bài toán này có họ nghiệm là
u (x) = α sin (x) .
Tùy thuộc vào dấu của α, các nghiệm này đạt giá trị cực đại hoặc cực
tiểu nghiêm ngặt tại x = π/2. Trong khi đó, bài toán Dirichlet
u”(x) −u(x) = 0
u(0) = 0 = u(π)
có nghiệm u(x) ≡ 0 như là một nghiệm duy nhất của nó.
Trước tiên chúng ta trình bày về chứng minh nguyên lý cực đại cho hàm
dưới điều hòa (subharmonic functions).
Bổ đề 1.1.1. Cho u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω), u ≥ 0 trong Ω. Khi đó
sup
Ω
u = max
∂Ω
u. (1.1)
(Do u liên tục, Ω bị chặn,
¯

∆ (u + v) > 0 trong Ω.
Ta suy ra
sup
Ω
(v + εv) = max
∂Ω
(v + εv),
khi đó
sup
Ω
u + ε inf
Ω
v ≥ max
∂Ω
u + ε max
∂Ω
v
và từ đó do mỗi ε > 0 là tùy ý chúng ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.1.1. Giả sử c(x) ≡ 0 và cho u trong Ω thỏa mãn
u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω), Lu ≥ 0
nghĩa là
d

i,j=1

của u ta có:
u
x
i
(x
0
) = 0 với i = 1, . . . , d
và
(u
x
i
x
j
(x
0
))
i,j=1, ,d
là nửa xác định âm
Từ điều kiên Elliptic ta có:
Lu(x
0
) =
d

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i

ta có với α đủ lớn điều kiện sau được thỏa mãn
Lv > λ.
Áp dụng cho u + εv với ε > 0 đủ nhỏ ta có
L(u + εv) > 0.
Tù đó suy ra (1.3).
Trường hợp Lu ≤ 0 được xét tương tự.
9
Hệ quả 1.1.1. Cho L như trong Định lý 1.1.1 và cho f ∈ C
0
(Ω), ϕ ∈
C
0
(∂Ω). Khi đó bài toán Dirichlet:
Lu(x) = f(x) với x ∈ Ω (1.4)
u(x) = ϕ(x) với x ∈ ∂Ω
có tối đa một nghiệm u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω).
Chứng minh. Giả sử ta có hai nghiệm u
1
(x) và u
2
(x) của bài toán (1.4).
Xét hiệu u(x) = u
1
(x) −u

ta có
d

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i
x
j
+
d

i=1
b
i
(x)u
x
i
≥ 0
Theo Định lý 1.1.1:
sup
Ω
+
u ≤ max
∂Ω
+
u (1.6)
Nên

+
= sup
Ω
+
u. (1.8)
Bây giờ chúng ta xét đến nguyên lý cực đại mạnh của E.Hopf.
Định lí 1.1.2. Giả sử c(x) ≡ 0 và cho u trong Ω thỏa mãn:
Lu ≥ 0. (1.9)
Nếu u có cực đại thuộc miền trong của Ω thì hàm số này phải là hằng
số.
Tổng quát, giả sử c(x) ≤ 0 và Lu ≥ 0. Khi đó u phải là hằng số nếu nó
đạt giá trị cực đại không âm bên trong miền Ω.
Để chứng minh định lý trên ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử c(x) ≤ 0 và
Lu ≥ 0 trong Ω

⊂ R
d
và cho x
0
∈ ∂Ω

. Hơn nữa, ta giả thiết:
(i) u liên tục tại x
0
,
(ii) u(x
0
) ≥ 0 nếu c(x) = 0,
(iii) u(x

B(y, R) B(y, ρ) chúng ta xét hàm
phụ:
v(x) := e
−γ[x−y]
2
− e
−γR
2
Ta có:
Lv(x) = {4γ
2
d

i,j=1
a
ij
(x)(x
i
− y
i
)(x
j
− y
j
)
−2γ
d

i=1
a

0
) + εv(x) ≤ 0 với x ∈ ∂B(y, ρ) (1.11)
Từ v = 0 trên ∂B(y, ρ), (1.11) tiếp tục được thỏa mãn trên ∂B(y, R).
Mặt khác
Lu(x) −u(x
0
) + εv(x) ≥ −c(x)u(x
0
) ≥ 0 (1.12)
do (1.10) và (ii) và vì c(x) ≤ 0. Do đó, chúng ta cần phải sử dụng Hệ
quả 1.1.2 trên
˙
B(y, R) B(y, ρ) và thu được
u(x) −u(x
0
) + εv(x) ≤ 0 với x ∈
˙
B(y, R) B(y, ρ)
12
với điều kiện là đạo hàm tồn tại, khi đó
∂
∂r
(u(x) −u(x
0
) + εv(x) ≥ 0 tại x = x
0
và do đó cho x = x
0
,
∂

0
) = m với một điểm x
0
∈ ∂B(y, R) nào đó
và
u(x) < u(x
0
) với x ∈ Ω

.
Theo Bổ đề 1.1.2:
∂u
∂r
(x
0
) = (Du(x
0
), r) > 0
nên suy ra
Du(x
0
) = 0.
Điều này là mâu thuẫn do tại x
0
ta có Du(x
0
) = 0. Suy ra điều phải
chứng minh.
13
1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman

ij
(x)) là xác định dương và đối xứng với mỗi x ∈ Ω.
Hơn nữa, cho

Ω
|f(x)|
d
det(a
ij
(x))
dx < ∞. (1.14)
Khi đó chúng ta có
sup
Ω
u ≤ max
∂Ω
u +
diam(Ω)
dω
1
d
d



Ω
|f(x)|
d
det(a
ij

là tập con của Ω trong đó các đồ thị của v nằm bên dưới một siêu phẳng
trong R
d+1
tiếp xúc với đồ thị của v tại (y, v(y)). Nếu v có vi phân tại
y ∈ T
+
(v), thì nhất thiết p(y) = Dv(y). Cuối cùng, một cách chính xác
v là lõm nếu T
+
(v) = Ω
Bổ đề 1.2.1. Cho v ∈ C
2
(Ω), ma trận Hessian
(v
x
i
x
j
)
i,j=1, ,d
là xác định âm trên T
+
(v).
Chứng minh. Cho y ∈ T
+
(v), ta xét hàm
ω(x) := v(x) − v(y) −p.(x −y).
Khi đó ω(x) ≤ 0 trên Ω, từ y ∈ T
+
(v) và ω(y) = 0. Do đó, ω có một

Với y /∈ T
+
(v), ta đặt τ
v
(v) := ∅
Ví dụ 1.2.2. Ω =
˙
B(0, 1), β > 0,
v(x) = β(1 −|x|).
15
Đồ thị của v khi đó là một mặt nón có đỉnh là chiều cao β tại 0 và có
cơ sở là hình cầu đơn vị. Chúng ta có T
+
(v) =
˙
B(0, 1),
τ
v
(y) =





B (0, β) với y = 0,

−β
y
|y|


(x
0
) = B(0, β/R). (1.17)
Bây giờ chúng ta xét ảnh của Ω xuống τ
v
τ
v
(Ω) =

y∈Ω
τ
v
(y) ⊂ R
d
.
Chúng ta sẽ giả sử L
d
kí hiệu là độ đo Lebesgue d-chiều. Khi đó chúng
ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.2. Cho v ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω). Khi đó
L
d
(τ
v

+
(v). Do đó Dv −εId có hạng
lớn nhất với ε > 0. Từ phép biến đổi công thức tích phân bội, ta có:
L
d
((Dv − εId)(T
+
(v))) ≤

T
+
(v)
|det(v
x
i
x
j
(x) −εδ
ij
)
i,j=1, ,d
|dx. (1.20)
Cho ε dần tới 0, kết hợp với (1.2.7) ta có điều phải chứng minh
16
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh Định lý 1.2.1: Chúng ta có thể
giả sử
u ≤ 0 trên ∂Ω,
bởi vì ta có thể thay thế u bởi u −max
∂Ω
u nếu cần thiết.

, δ), như vậy sự
tiếp xúc ban đầu không thể xẩy ra tại một điểm biên của Ω, mà chỉ xảy
ra tại điểm trong x
1
. Do đó, siêu phẳng tương ứng là nằm trong τ
v
(x
1
).
Điều này có nghĩa là:
τ
κx
0
(Ω) ⊂ τ
u
(Ω). (1.21)
Do (1.17),
τ
κx
0
(Ω) = B(0, u(x
0
)/δ). (1.22)
Từ các hệ thức (1.18), (1.21), (1.22) ta có
L
d
(B(0, u(x
0
)/δ)) ≤





1/d
17
=
δ
ω
d
1/d




T
+
(v)
(−1)
d
det(v
x
i
x
j
(x))dx



1/d
(1.23)

(−1)
d
det(v
x
i
x
j
(x))dx



1/d
. (1.24)
Bổ đề 1.2.4. Trên T
+
(u),
(−1)
d
det(v
x
i
x
j
(x)) ≤
1
det (a
ij
(x))

−

x
j
), B =

a
ij

(điều đó là có thể do Bổ đề 1.2.1 và điều
kiện elliptic), chúng ta được (1.25).
Từ bất đẳng thức (1.24), (1.25) ta suy ra
sup
Ω
u ≤ max
∂Ω
u +
diam (Ω)
dω
1/d
d




T
+
(u)

−

i,j=1

x
j
≤ −f, và phía bên trái của bất đẳng thức là không âm
trên T
+
(u) do Bổ đề 1.2.1.
1.2.2 Áp dụng nguyên lý
Chúng ta áp dụng Định lý 1.2.1 cho một vài phương trình phi tuyến,
cụ thể là phương trình Monge-Ampere 2-chiều.
Do đó, cho Ω là mở trong R
2
=

x
1
, x
2

và cho u ∈ C
2
(Ω) thỏa mãn
u
x
1
x
1
(x) u
x
2
x


Ω
f (x) dx

1
2
.
Chứng minh. Ta đặt
a
11
(x) =
1
2
u
x
2
x
2
(x)
19
a
22
(x) =
1
2
u
x
1
x
1

2
+ a
22
u
x
2
x
2
=
=

1
2
u
x
2
x
2

u
x
1
x
1
− 2

1
2
u
x

u
x
2
x
2
− u
2
x
1
x
2
= f(x)
(1.27) trở thành
2

i,j=1
a
ij
(x) u
x
i
x
j
(x) = f (x)
Áp dụng (1.13) đối với (-u)
sup
Ω
(−u) ≤ max
∂Ω
(−u) +

Ω
|f(x)|
2
1
4
f(x)
dx.


1/2
inf
Ω
(u) ≥ min
∂Ω
(u) −
diam(Ω)
π
1
2



Ω
|f(x)|dx.


và vì vậy loại phương trình này đã được xét. Thật vậy, để suy ra tính
chất của nghiệm u, chúng ta chỉ phải kiểm tra các điều kiện cho các hệ
số a
ij

Chúng ta giả sử F là vi phân đối với r
ij
.
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình vi phân (1.28) được gọi là elliptic tại
u ∈ C
2
(Ω) nếu

∂F
∂r
ij

x, u (x) , Du (x) , D
2
u (x)


i,j=1, ,d
là xác định dương. (1.29)
Ví dụ, phương trình Monge-Ampere (1.27) là elliptic theo nghĩa này
nếu các điều kiện (i), (ii) ở mục (1.2) được thỏa mãn.
Điều đó không hoàn toàn là rõ ràng để tổng quát nguyên lý cực đại từ
phương trình tuyến tính lên các phương trình phi tuyến, bởi vì trong
trường hợp tuyến tính, chúng ta luôn phải đưa ra những giả thiết cho
những số hạng thấp hơn. Một giải thích rằng có thể đưa ra giả thuyết
tổng quát để xét nguyên lý cực đại như một sự trình bày so sánh một
nghiệm với một hằng số trong các điều kiện khác nhau là một nghiệm
của Lu ≤ 0. Do cấu trúc tuyến tính, điều này ngay lập tức dẫn đến một
định lý so sánh cho nghiệm tùy ý u
1

≤ u
0
trên ∂Ω
và
F [u
1
] ≥ F [u
0
] trong Ω,
khi đó ta cũng có
u
1
< u
0
trong Ω
hoặc
u
0
≡ u
1
trong Ω.
Chứng minh. Ta đặt
v := u
1
− u
0
,
u
t
:= tu

0
∂F
∂p
i

x, u
t
(x) , Du
t
(x) , D
2
u
t
(x)

dt,
c (x) :=

1
0
∂F
∂z

x, u
t
(x) , Du
t
(x) , D
2
u

x
i
x
j
(x) +
d

i=1
b
i
(x) v
x
i
(x) + c (x) v (x) .
Khi đó
Lv = F [u
1
] −F [u
0
] trongΩ. (1.30)
22
Phương trình L là elliptic vì (ii) và (iii), c (x) ≤ 0. Vì vậy, có thể áp dụng
Định lý 2.1.2 cho v và có được kết luận của định lý.
Định lý thỏa mãn trong trường hợp đặc biệt cho các nghiệm của
F [u] = 0. Điểm mấu chốt trong chứng minh của Định lý 1.3.1 khi đó là
từ các nghiệm u
0
và u
1
của phương trình phi tuyến F [u] = 0 đã được

2
y

u
xx
− 2u
x
u
y
u
xy
+

1 + u
2
x

u
yy
= 0. (1.31)
Định lý 2.1 cho ta hệ quả sau:
Hệ quả 1.3.2. Cho u
0
, u
1
∈ C
2
(Ω) là các nghiệm của phương trình mặt
cực tiểu. Nếu hiệu u
0

∂r
ij
(x, z, p, r) ξ
i
ξ
j
(1.32)
thỏa mãn với tất cả ξ ∈ R
d
, (x, z, p, r) ∈ S. Hơn nữa, giả sử rằng tồn tại
hằng số µ
1
, µ
2
sao cho với mọi (x, z, p),
F (x, z, p, 0)sign (z)
λ
≤ µ
1
[p] +
µ
2
λ
. (1.33)
Nếu
F [u] = 0 trong Ω,
thì
sup
Ω
|u| ≤ max

d

i=1
b
i
(x) ω
x
i
với
a
ij
(x) :=

1
0
∂F
∂r
ij

x, u (x) , Du (x) , D
2
u (x)

dt, (1.35)