Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HỒNG

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU
ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã
giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường
THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về
mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Lê Thị Hồng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU
1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn
có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm
cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại
mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc
biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những
tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng
hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối
với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài
toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực
trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã
có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin,
A.Yger, A.Zeriahi, Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với
hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát
hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến
phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi
tiếng của Cartan-Boutroux.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp
khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ
điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:
- Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong
n

cũng

Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài
liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị
phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở
trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra.
Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu
loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương
pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm
đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3–
vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như
đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3

4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư-
ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương
đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực
tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa
điều hoà dưới.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.


W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a 
và
n
b  
, hàm
()u a bll+a
là điều hoà dưới hoặc trùng


trên mỗi thành phần của tập hợp
{ }
:abll   
. Trong trường hợp
này, ta viết
()u PSH
. ( ở đây
()WPSH
là lớp hàm đa điều hoà dưới
trong
W
).
1.1.2. Định lý. Cho
[ )
:,u    
là một hàm nửa liên tục trên và
không trùng

.
Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5

Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được
suy ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của những hàm điều
hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới.
1.1.3. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
()u PSH
. Nếu
0e >
sao cho
e
  
, thì
()uC
ee
l

   PSH
 Hơn nữa,
u
e
l*

, và
{ }
: , 1abl l l    
. Khi đó

( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b
ee
cl* = *
.
Chứng minh. Vế trái của đẳng thức bằng
2
0
1
( ) ( ) ( )
2
n
it
u a e b dt d
p
e
w c w l w
p





+-



1
1
1 1 1 1 1 1
( , , , , , ) ( , , , , , )
n
j j n j j n
C
u I d
e
l w w w w l w w w w
-
- + - +


,
trongđó
1 1 1
( , , , , , )
j j n
I w w w w
-+
=

1 2 1 2 1 1 1 1
( , , , , , ) ( ) ( )
j j j j n n j
C
u z z z z de w e w e w e w c w l w
++
+ + + +

k

, tương ứng.
Nếu
()u PSH
và
:f

  
là một ánh xạ chỉnh hình, thì
ufo
là đa
điều hoà dưới trong

W
.
Chứng minh. Nếu
u
và
u-
là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3),
2
()uC
. Bởi vậy
( ) , 0Lu a b b =
với mọi
,ab
thích hợp, và như vậy
()u PH
. Điều ngược lại là tầm thường.

u z u y
ww   

<
.
1.1.8. Định nghĩa. Tập hợp
n
E  
được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
aE
đều có một lân cận
V
của
a
và một hàm
()uV PSH
sao cho
{ }
: ( )E V z V u z     
.
Cho
W
là một tập con mở trong
.
n


Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh
hình
:

m

. Cho
{ }
()
A
u
a
a 

PSH
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a 
=
là bị chặn trên địa
phương. Khi đó
**
( ) ( ).u f u f=oo

Chứng minh. Đặt
{ }
: det 0
z
A z f    
.
Vì

*
= o

với bất kỳ
\aA
. Bởi vậy
( ) ( )u f u f
**
=oo
hầu khắp nơi trong
W
.
Cũng vậy
( ) ,( ) ( )u f u f
**
ooPSH
. Do đó
( ) ( )u f u f
**
=oo
trong
W
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8

1.1.10. Mệnh đề. Cho dãy
{ }
()
j



PS H
bị chặn đều địa phương trong
n
 
. Giả sử
lim sup ( )
j
j
u z M



với mỗi
z 
và một hằng số
M
nào đó. Khi đó với mỗi
0e >
và mỗi tập
compact
K 
 tồn tại một số tự nhiên
0
j
sao cho, với
0
jj
,

yz
yF
u z z F
uz
u y z F








=








là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong
\ FW
,
thì
u
là đa điều hoà trong

f
là ánh xạ đóng.
Ngoài ra, nếu
f
là chỉnh hình thì :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

()i

f
là mở và đặc biệt là
()f

W = W
(vì
f
cũng đóng);
()ii
nếu
{ }
:0
z
A z f    
, thì với mỗi
a


có một hình cầu mở
B

là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ riêng của
Remmert .
1.1.14. Mệnh đề. Cho
:f

 
là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa
hai tập mở trong
n

. Nếu
()u PSH
, thì công thức

{ }
1
( ) max ( ) : ( ) ( )v z u f z zww
-

   

xác định một hàm đa điều hoà dưới.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng

W
là liên
thông.
Nếu
G
là một tập con mở compact tương đối trong

v
là liên tục trong

W
. Do đó
1
1
( \ ( ))
: ( \ ( )) \ ( )
f f A
f f f A f A
-
-

W

  

là song chỉnh hình địa phương. Bởi vậy tồn tại duy nhất một số
k  
sao
cho với mỗi
\ ( )z f A


tồn tại một lân cận
\ ( )V f A


của

j
U
f U V
là ánh xạ song chỉnh hình,
()ii

1
1
( ) .
k
f V U U
-
  
.
Do đó
( \ ( ))v f A

PSH
. Vì
v
là liên tục và
()fA
là đa cực nên suy ra
tính đa điều hoà dưới của
v
.
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
1.2.1.Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của

n
 
là mở và
:u  
là hàm đa điều hoà
dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
()i
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của
W
và với mỗi hàm
()v PSH
, nếu
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x

với mọi
Gx 
, thì
uv

trong G ;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 

u z v z
x

với mỗi
Gx 
, thì
uv
trong G ;
()v

u
là hàm cực đại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11

Chứng minh.
( ) ( )i ii
: Cho
v
là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất:
với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao cho
uv e  
trong
\ KW
. Giả sử rằng
( ) ( ) 0u a v a h- = <

, điều đó
mâu thuẫn với
.aE

Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm
{ }
max ( ), ( ) ( )
()
( ) ( \ )
u z v z z G
z
u z z G
w





=







là đa điều hoà dưới trong
W
(xem Hệ quả 1.2.16) theo các giả thiết
()iii

W
là miền bị chặn trong
n

và
()fC 
. Ta sẽ ký hiệu
( , )UfW
là
họ của tất cả các hàm
()u PSH
sao cho
uf
*

trên

, trong đó

*( ) lim sup ( )
z
u z u
w
w
w


=

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

zy
W
nghiệm của bài toán Dirichlet suy
rộng khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.2.3. Định lý. Cho
()f C B
, trong đó
( , )B B a r=
là một hình cầu mở
trong
n

. Khi đó hàm
y
xác định bởi
,
( ) ( )
()
( ) ( )
Bf
z z B
z
f z z B
y
y




hy 
trong
B
theo nguyên lý
cực đại đối với những hàm điều hoà dưới. Do
h
liên tục trong
B
, nên ta có
,
()
Bf
hy
*

trong
B
. Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
,
( ) ( , )
Bf
U B fy
*

và như
vậy
,
()
Bf
yy

zz
zB
z f zy



.
Thật vậy, lấy
0
zB
và
0e >
. Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có
thể tìm được một hàm liên tục
:vB 
sao cho
( , )
B
v U B f
và
00
( ) ( )v z f z e=-
. Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa
2
00
( ) Re , ( ) ,v z c z z r f z e

= - + -



Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thực vậy, nếu
G
là một tập con mở
compact tương đối của
B
,
[ )
:,vG   
là nửa liên tục trên,
()
G
v PSH
và
v y
trên
G
, thì hàm
{ }
max ,
\
v z G
V
z B G
y
y




là liên tục đều. Điều đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14

kết hợp với
0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy


=
suy ra tồn tại
(0, )
2
r
d =
sao cho nếu
zB
,
Bw 
, và
3z wd-<
, thì

( ) ( )
2
z

( , )
y
B
H U B f
. Thật vậy vì
(0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd       

nên
( (0, ))
y
H B r dPSH
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới.
Mặt khác,
y
H y=
trong
\ (0, 2 )B B r d-
. Thực vậy, theo định nghĩa
()
y
Hz

ta có
( ) ( ), \ ( )
y
H z z z B y By   
.
Nếu
( ( )) \ (0, 2 )z B y B B r d    
, thì ta chọn



()
y
HB PSH
và
y
Hf=
trên
B



( , )
y
H U B f


.
y
H y

Từ đó nếu
,zBw 
và
z wd-<
, thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15


.
Chứng minh. Cho G là tập con mở compact tương đối của
W
chứa
B
. Do
Định lý 1.2.3, có thể tìm được một dãy giảm
{ }
( ) ( )
j
j
u C G G




PSH

hội tụ tới
u
. Đặt
( )
,
( ) ( )
()
( ) ( \ )
jB
Bu
j
j

j
v
giảm đến
một hàm
()vG PSH
. Hiển nhiên,
vu
trong G. Cũng vậy,
vu
trong
\GB
. Vì
u
cực đại nên ta có
vu
trong
B
. Từ đó
lim ( ) ( )
j
j
v z u z

=
với
zB
.
1.3. Hàm cực trị tương đối.
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử
W

W
.
Xét trường hợp đặc biệt khi
E
là đóng trong
W
. Ta sẽ chứng minh
,E
u
W

trùng với hàm Perron - Bremermann
\,
E
E c
y
W-
( ở đây
E
c
là hàm đặc trưng
của E ). Thực vậy, giả sử
( \ )uEPSH
âm sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16 \
lim sup ( ) 1

W
. Hơn nữa, nó là hàm đa điều hoà dưới trong
W
do Định lý 1.2.2 ([7]). Như vậy
,E
u v u
W

trong
\ EW
. Từ đó
\ , ,
E
EE
u
c
y
W - W

trong
\ EW
. Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên.
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị
tương đối.
1.3.2. Mệnh đề.
Nếu
1 2 1 2
EE    
thì
1 1 2 1 2 2

W
, thì với số
0M >

nào đó,
1M r <-
trên
E
. Như vậy
,E
Mur
W

trong
W
. Rõ ràng,
lim ( ) 0
z
z
w
r

=
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
1.3.4. Mệnh đề. Nếu
n
 
là siêu lồi và
K 
là một tập compact sao

<-1 trên K. Khi đó
ur 
trong
W
.
Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi
(0,1)e 
tồn tại
()vC  
F. Sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

u v ue  
trong
W
. Thật vậy, lấy
(0,1)e 


tồn tại
0h >
sao cho
u er-<
trong
\
h
WW
và
K

max ,
trong
v
u trong
h
e
dh
r
c e r

WW



=


* - W



.
Khi đó
v
e
 C(

) ∩ F và như vậy

{ }

: ( )E z v z     

Chứng minh.
( ) ( )ii i
là hiển nhiên. Thật vậy, nếu
v
như ở trên
()ii
, thì
,E
vue
W

với mọi
0e >
, từ đó
,
0
E
u
W
=
hầu khắp nơi trong
W
. Như vậy
*
,
0
E
u

jj
E
vv< < -
và
( ) 2
j
j
va
-
>-
.
Đặt

1
( ) ( ), .
j
j
v z v z z

=
  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18

Chú ý rằng
( ) 1va >-
,

. Nếu
*
,
0
j
E
u
W

với mỗi
j
,
thì
*
,
0
E
u
W

.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.3.5 chọn
()
j
v PSH
sao cho
0
j
v <


một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết
( ) 2
j
j
va
-
>-
. Khi đó
()
j
j
vv  

PSH
,
0v <
và
E
v   
. Suy ra
*
,
0
E
u
W

.
1.3.7. Mệnh đề. Cho
W

j
KK
j
u z u z z
WW

  
.

Chứng minh. Lấy điểm
0
z 
. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rằng
{ }
01
Kz  
. Giả sử
0


là một hàm vét cạn đối với
W
sao cho
1


trên K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19


và
1u 
trên
K
. Khi đó
{ }
max ( ) , ( ) ,
()
( ), \
u z z z
vz
zz
e r w
rw





=







xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa
1

.
Do đó ta có
, 0 , 0 , 0
( ) ( ) ( )
jj
K K K
u z u z u ze
W W W
  
với mọi
0
jj
và
e
nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu
Đầu tiên chúng ta nhắc lại bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux:
Cho
( )
pz
là đa thức của một biến phức có bậc
1d 
. Với bất kỳ
0e >
, xét
đa thức
e
-lemniscate của P được xác định bởi:

( ) ( )

( )
log log 1/ ,P z d ze    
ngoài hợp của các đĩa mở
d
với bán kính
( )
1
j
jd
r

thỏa mãn ước lượng
1
2
j d j
ree



.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình.
Nếu
f
là một hàm chỉnh hình trên đĩa
{ }
;2z z eRC
sao cho

ngoài hợp của một số hữu hạn những đĩa có bán kính
()
j
r
với
2
j
j
rRh

.
Một cách tổng quát hơn của bổ đề Cartan-Boutroux’ có thể phát biểu như
sau: Với
02a
tuỳ ý tồn tại một phủ hữu hạn của
( , )EPe
bởi đĩa mở
d
với bán kính
()
j
r
thỏa mãn ước lượng:

( )
1
2
d
j
j

e


Điều này tương đương với ước lượng sau theo nghĩa của dung lượng
Hausdorff của số chiều
a
:

( )
( )
( )
;2h E P e
a
a
ee
,
[0,1]e
.
Chúng ta kết thúc phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa của dung lượng
Hausdorff trong một tập hợp tổng quát hơn, sẽ được sử dụng về sau.
Cho
( , )Xd
là một không gian Metric và
0p >
là một số thực. Khi đó với
một số thực đã cho
0d >
, theo định nghĩa, dung lượng
d
- Hausdorff số







U
,
trong đó
( )
,B X d
d
là lớp tất cả các phủ đếm được
( )
j
j
B
 
của tập
E
bởi các
hình cầu của không gian Metric
( , )Xd
có bán kính tại hầu hết
d
và
( )
j
rB


H E h E h E
d d d d
==
.
1.5. Toán tử Monge-Ampe
Cho
u
là đa điều hoà dưới trên miền
n
 
. Nếu
2
uC
thì toán tử:
( ) ( ) ( )
1,
: 4 !det
n
c c c n
jk
n
j k n
u
dd u dd u dd u n dV
zz




   

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hoà dưới bị chặn địa
phương trên
W
thì tồn tại dãy
 
 
1
n
n
uC


  PHS
sao cho
n
uu

và
 
 
n
c
n
dd u
hội tụ yếu tới độ đo Radon

trên
W