ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ DUYÊN
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ DUYÊN
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN
Hà Nội - Năm 2012
KÍ HIỆU
R
n
là không gian thực n chiều.
Ω là miền bị chặn có biên trơn trong R
n
.
∂Ω là biên của Ω.
α = (α

α
n
n
.
D
k
u = {D
α
u : |α| = k}.
∇u =

∂u
∂x
1
;
∂u
∂x
2
; . . . ;
∂u
∂x
n

.
∆u =
∂
2
u
∂x
2

k
0
(Ω), C
∞
0
(Ω) kí hiệu các hàm trong C
k
(Ω), C
∞
(Ω)với giá compact.
W
1,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω)|Du ∈ L
p
(Ω)}với chuẩn
u
W
1,p
= u
L
p
(Ω)
+ ∇u
L
p
(Ω)
.
W

1,p
0
(Ω) với p = 2.
H
−1
(Ω) : không gian W
−1,q
(Ω) với p = q = 2.
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Phương pháp toán tử đơn điệu. 5
1.1 Giới thiệu chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Bài toán xuất phát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Toán tử trên R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được . . . . . . . . 24
2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình
elliptic không tuyến tính. 27
2.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Toán tử −∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Một số định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến
tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2
nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1

trên không gian Hilbert thực, không gian Hilbert thực tách được.
Chương 2 của luận văn xét việc áp dụng phương pháp toán tử đơn điệu
nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán Dirichlet và
Neumann với những lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với
phần chính là toán tử Laplace
− ∆u = g(x, u) hoặc
− ∆u = h(x, u, ∇u)
trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong R
n
.
Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt
tình của PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tích
của khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận
văn đúng thời hạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ
3
Mục lục
vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.
Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất
mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc.
Tác giả
Nguyễn Thị Duyên.
-4-
Chương 1
Phương pháp toán tử đơn điệu.
1.1 Giới thiệu chung.
Giải tích phi tuyến là một lĩnh vực tương đối rộng. Về một khía cạnh nào
đó nó cho chúng ta những bài toán thực tế hơn so với giải tích tuyến tính.
Vì thế việc giải các bài toán phi tuyến cũng khó khăn hơn và ta thường sử

thỏa mãn F (u) < F (x) < F (v). Vì F liên tục nên tồn tại z ∈ (u, v)
sao cho F (z) = F (x). Điều này mâu thuẫn với tính duy nhất nghiệm
của phương trình F (x) = y. Do đó F đơn điệu thực sự.
(ii) Hiển nhiên.
Điều kiện đủ: giả sử F liên tục và đơn điệu thực sự trên R suy ra F là
song ánh trên R. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
-6-
1.3. Toán tử trên R
n
1.3 Toán tử trên R
n
Định nghĩa 1.3.1. Cho toán tử F : R
n
→ R
n
. Ta nói:
(i) F đơn điệu nếu
(F (x) −F (y)).(x −y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R
n
.
(ii) F đơn điệu chặt nếu
(F (x) −F (y)).(x −y) > 0, ∀x, y ∈ R
n
: x = y.
(iii) F đơn điệu mạnh nếu tồn tại c > 0
(F (x) −F (y)).(x −y) ≥ c|x −y|
2
, ∀x, y ∈ R
n
.

.
Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer tồn tại x
∗
∈ B
r
sao cho
g(x
∗
) = x
∗
.
Từ đó suy ra |x
∗
| = |g(x
∗
)| =




−
r
|F (x
∗
)|
F (x
∗
)



sao cho F (x) = 0.
-7-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Định lý 1.3.1. Cho một toán tử F : R
n
→ R
n
liên tục và thỏa mãn
lim
|x|→∞
F (x).x
|x|
= ∞. (1.2)
Khi đó phương trình
F (x) = y
có nghiệm x ∈ R
n
với mỗi y ∈ R
n
. Hơn nữa nếu F đơn điệu chặt thì phương
trình có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Xét ánh xạ
G : R
n
→ R
n
, G(x) = F (x) −y.
Vì F (x) liên tục nên G(x) liên tục. Mặt khác từ (1.2) suy ra với mỗi y ∈ R
n
cố định ta có

→∞
T (u)
H
= ∞
được gọi là thỏa mãn điều kiện bức yếu.
-8-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Định nghĩa 1.4.2. Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng
., .
H
và cho một toán tử T : H → H. Ta nói:
(i) T đơn điệu nếu T (x) −T (y), x −y
H
≥ 0, ∀x, y ∈ H.
(ii) T đơn điệu chặt nếu T (x) −T (y), x −y
H
> 0, ∀x, y ∈ H; x = y.
(iii) T đơn điệu mạnh nếu ∃c > 0 sao cho
T (x) −T (y), x −y
H
≥ cx − y
2
H
, ∀x, y ∈ H.
Nhận xét 1.4.1. (i) Dễ thấy T đơn điệu mạnh thì T đơn điệu chặt và do
đó T đơn điệu.
(ii) Tất cả các toán tử đơn điệu mạnh đều thỏa mãn điều kiện bức yếu.
Chứng minh. Giả sử T : H → H đơn điệu mạnh, khi đó tồn tại c > 0 sao
cho
u, T (u) −T (0)

H

⇒ c.u
H
≤ T (u)
H
+ T (0)
H
⇒ T (u)
H
≥ cu
H
− T (0)
H
⇒ lim
u
H
→∞
T (u)
H
= ∞.
-9-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Bổ đề 1.4.1. Cho H là một không gian Hilbert thực, T : H → H là một
toán tử liên tục yếu và thỏa mãn
h −T (v), u −v
H
≥ 0, ∀v ∈ H. (1.5)
Khi đó T (u) = h.
Chứng minh. Đặt v = u ±tω (t > 0). Thế thì từ (1.5) suy ra

H
= u −u
2
H
− 2t T (u) −T (u), u −u
H
+ t
2
T (u) −T (u)
2
H
≤ (1 − 2tc + t
2
L
2
)u −u
2
H
.
-10-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Với t ∈ (0,
2c
L
2
) ta có 1 − 2tc + t
2
L
2
< 1, khi đó G là ánh xạ co và theo

, ∀u, v ∈ H.
T (u) −T (v)
H
= sup
ω
H
≤1
|T (u) −T (v), ω
H
|
= sup
ω
H
≤1
|a(u, ω) −a(v, ω)|
≤ Lu − v
H
, ∀u, v ∈ H.
-11-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Theo định lí Zarantonello suy ra phương trình
T (u) = h
có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H. Do đó phương trình
a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H
có nghiệm duy nhất u ∈ H. Định lí được chứng minh.
Định lý 1.4.3. (Lax-Milgram tuyến tính). Giả sử H là một không gian
Hilbert thực. Giả thiết rằng các phiếm hàm thực a : H×H → R và b : H → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) b(.) là tuyến tính liên tục.
(ii) a(., .) là song tuyến tính liên tục.

là một toán tử liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó S(D) là tập đóng trong H.
Chứng minh. Cho {u
n
}
+∞
n=1
⊂ D sao cho S(u
n
) → h (n → +∞). Do S là
toán tử đơn điệu mạnh nên tồn tại c > 0 sao cho
cu
n
− u
m

2
H
≤ u
n
− u
m
, S(u
n
) − S(u
m
)
H
≤ u
n
− u

≤
1
c
.S(u
n
) − S(u
m
)
H
.
Do đó {u
n
} là dãy Cauchy trong D, mà D là tập đóng trong không gian
Hilbert H nên tồn tại u
0
∈ D sao cho: u
n
→ u
0
.
Mặt khác S là toán tử liên tục, ta có S(u
n
) → S(u
0
) nên h = S(u
0
) ∈
S(D) (do tính duy nhất của giới hạn). Vậy S(D) là tập đóng trong H.
Để chứng minh S(H) mở, ta cần chứng minh bổ đề sau về sự mở rộng
của toán tử liên tục Lipschitz.

và W
2
là hai phần tử của Φ
thì W
1
≤ W
2
khi và chỉ khi



DomW
1
⊂ DomW
2
W
2
(u) = W
1
(u), ∀u ∈ DomW
1
.
Khi đó ” ≤ ” là một quan hệ thứ tự bộ phận và nếu F là một tập sắp
thứ tự toàn phần trong Φ thì F có cận trên. Theo bổ đề Zorn: "Với một tập
khác rỗng được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận, nếu mọi tập con được
sắp thứ tự tuyến tính của nó đều có cận trên thì tập này có ít nhất một phần
tử cực đại". Do đó tồn tại một phần tử cực đại W trong Φ thỏa mãn




W : u −→



v
0
nếu u = u
0
W (u) nếu u ∈ DomW.
-14-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Ta thu được toán tử
˜
W : DomW ∪{u
0
} −→ H thỏa mãn









DomW ⊂ Dom
˜
W
˜
W |

0
∈ H : v
0
− W (u)
H
≤ u
0
− u
H
, ∀u ∈ DomW }.
B
n
là hệ thống các tập con hữu hạn B của DomW được chứa trong hình
cầu đóng {u ∈ H : u
H
≤ n}, n ∈ N. Đặt A
n
=

B∈B
n
A
B
. Ta có
A =
∞

n=1
A
n

, W (u
1
), . . . , W (u
m
)}.
Khi đó H
f
là không gian con của H và dimH
f
≤ 2m. Với mỗi ω ∈ H
f
đặt
h(ω) = max
1≤j≤m
ω − W (u
j
)
H
u
0
− u
j

H
.
Nếu tồn tại v
0
∈ H
f
sao cho h(v

1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Ta đánh số lại u
1
, u
2
, . . . , u
m
sao cho
1 < λ =
ω
0
− W (u
j
)
H
u
0
− u
j

H
, 1 ≤ j ≤ k,
λ >
ω
0
− W (u
j
)
H
u

j

H
< λ, k + 1 ≤ j ≤ m

của ω
0
sao cho
ω
1
− W (u
j
)
H
< ω
0
− W (u
j
)
H
, 1 ≤ j ≤ k.
Suy ra
ω
1
− W (u
j
)
H
u
0

< λ, k + 1 ≤ j ≤ m.
Do đó h(ω
1
) < h(ω
0
) điều này mâu thuẫn với h(ω
0
) = min
ω∈H
f
h(ω). Vì vậy tồn
tại c
1
, . . . , c
k
sao cho
ω
0
=
k

j=1
c
j
W (u
j
), c
j
≥ 0,
k

j
(ω
0
− W (u
j
)) = ω
0
k

j=1
c
j
−
k

j=1
c
j
W (u
j
) = 0,
ˆz
j

2
H
< z
j

2

H
.
-16-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Suy ra
z
j

2
H
+ z
n

2
H
− 2 z
j
, z
n

H
≤ ˆz
j

2
H
+ ˆz
n

2

ˆz
j
, ˆz
n

H
<
k

j,n=1
c
j
c
n
z
j
, z
n

H
.
Nhưng
k

j,n=1
c
j
c
n
z

H
= 
k

j=1
c
j
ˆz
j

2
H
< 0 (vô lý).
Vậy A
B
= ∅ với mỗi tập hữu hạn B ∈ DomW .
Mặt khác A
B
và A
n
là các tập compact yếu (bị chặn và đóng yếu) nên
A
n
= ∅ với mỗi n ∈ N.
Áp dụng quá trình trên một lần nữa ta thu được A = ∅.
Bây giờ ta chứng minh S(H) là tập mở trong H.
Bổ đề 1.4.4. Cho D ⊂ H là một tập mở; S : D → H là một toán tử liên
tục và đơn điệu mạnh. Khi đó S(D) là một tập mở của H.
Chứng minh. Để chứng minh bổ đề này ta chỉ cần chứng minh với S đơn
điệu mạnh trong trường hợp c = 1 nghĩa là

)
H
= u − u
1
, S(u) − S(u
1
)
H
− u − u
1

2
H
≥ 0.
Kí hiệu R = S(D). Từ tính đơn điệu mạnh của S suy ra S là đơn ánh
trên D và S
−1
liên tục trên R. Thật vậy, giả sử S không đơn ánh, nghĩa là
tồn tại u
1
= u
2
sao choS(u
1
) = S(u
2
) khi đó
u
1
− u

}
+∞
n=1
là một dãy hội tụ đến ω trong R, áp dụng
bất đẳng thức Schwartz ta có
S
−1
(ω
n
) − S
−1
(ω)
2
H
≤

S
−1
(ω
n
) − S
−1
(ω), ω
n
− ω

H
≤ S
−1
(ω

n
) − S
−1
(ω)
H
→ 0. Vậy S
−1
liên tục trên R.
Với mỗi v ∈ R đặt K(v) = S
−1
(v) − F (S
−1
(v)). Lấy v
1
, v ∈ R sao cho
v = S(u), v
1
= S(u
1
). Khi đó u = S
−1
(v); u
1
= S
−1
(v
1
) và
K(v) −K(v
1

2
H
= F (u) + u −F (u
1
) − u
1

2
H
= u − u
1

2
H
+ F (u) − F (u
1
)
2
H
+ 2 u − u
1
, F (u) −F (u
1
)
H
.
Mà F đơn điệu nên suy ra v − v
1

H

(v) = K(v) ∀v ∈ R.
Cho v ∈ H đặt T (v) =
1
2
(v + K
1
(v)). Nếu v ∈ R và v = S(u) thì
K
1
(v) = K(v). Suy ra
v + K
1
(v) = v + K(v) = v + S
−1
(v) − F (S
−1
(v))
= v + u − F (u) = v + u − S(u) + u
= 2u.
Nên ta có T (v) = u = S
−1
(v) với mọi v ∈ R và R ⊂ T
−1
(D).
Lấy u
0
∈ D, S(u
0
) = v
0

−1
(D) ta có v = S(T (v)). Giả sử ngược lại tồn tại v ∈ T
−1
(D)
sao cho u = T (v) ta có
v − S(u)
H
> 0.
Do S liên tục nên F liên tục. Với  = v − S(u)
H
> 0, tồn tại d > 0
sao cho B(u, d) ⊂ D và u
1
∈ B(u, d) ta có
F (u) −F (u
1
)
H
= S(u) −u −S(u
1
) + u
1

H
≤
1
2
v − S(u)
H
.

S(u
1
) − u
1
− v + u, t(v −S(u))
H
= S(u
1
) − u
1
− v + u, u
1
− u
H
= v
1
− T (v
1
) − v + T (v), T (v
1
) − T (v)
H
=

v
1
−
1
2
(v

v
1
− K
1
(v
1
) − v + K
1
(v), v
1
+ K
1
(v
1
) − v −K
1
(v)
H
=
1
4
(v
1
− v) − (K
1
(v
1
) − K
1
(v)), (v

S(u
1
) − u
1
− S(u) + u, u
1
− u
H
= S(u
1
) − u
1
− v + v −S(u) + u, t(v −S(u)
H
= S(u
1
) − u
1
− v + u, t(v −S(u))
H
+ v − S(u), t(v − S(u))
H
≥ v −S(u), t(v − S(u))
H
= t.v − S(u)
2
H
.
Suy ra
t.v − S(u)

−1
(D) ⊂ R. Do đó
T
−1
(D) = R = S(D).
Mặt khác T liên tục nên S(D) là tập mở.
-20-
1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực
Định lý 1.4.4 (Pavel Drábek, Jaroslav Milota [7]). Cho H là không
gian Hilbert thực và T : H → H là toán tử liên tục, đơn điệu và thỏa mãn
điều kiện bức yếu. Khi đó
T (H) = H.
Hơn nữa nếu T là toán tử đơn điệu chặt thì với mỗi h ∈ H phương trình
T (u) = h (1.8)
có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Dễ thấy tính duy nhất nghiệm được suy ra từ tính đơn điệu
chặt của T . Thật vậy, giả sử u
1
, u
2
là hai nghiệm của (1.8) và u
1
= u
2
ta có
T (u
1
) − T (u
2
), u

mạnh. Thật vậy, với mọi u, v ∈ H ta có
u − v, T
n
(u) − T
n
(v)
H
=

u − v,
1
n
(u − v) + T (u) − T (v)

H
=
1
n
u − v
2
H
+ (u − v, T (u) − T (v))
H
≥
1
n
u − v
2
H
.

k→∞
u
n
k

H
= ∞. Từ tính đơn điệu của T ta có
h
H
≥

u
n
u
n

H
, h

H
=

u
n
u
n

H
, T
n


H
u
n

H
+
1
u
n

H
u
n
, T (u
n
) − T (0) + T (0)
H
=
1
n
u
n

H
+
1
u
n


u
n

H
≤ h
H
+ T (0)
H
, nên {
1
n
u
n
} là dãy bị chặn. Áp dụng
định lý Eberlain - Smulyan tồn tại dãy con {
1
n
k
u
n
k
}
∞
k=1
⊂ {
1
n
u
n
}

)  h −ω.
Mà một dãy hội tụ yếu thì bị chặn suy ra {T (u
n
k
)}
∞
k=1
là dãy bị chặn (điều
này mâu thuẫn với điều kiện bức yếu của T ). Vậy ta có {u
n
}
∞
n=1
là dãy bị
chặn, suy ra
1
n
u
n
→ 0, T (u
n
) → h (n → +∞), và áp dụng định lý Eberlain
- Smulyan, ta có dãy con {u
m
k
}
∞
k=1
⊂ {u
n