Đại học Quốc gia Hà Nội
Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên
Ngô Quốc Anh
Tính giải đ-ợc của một lớp hệ ph-ơng
trình elliptic không tuyến tính
Luận văn Thạc sĩ Khoa học
Hà Nội - 2007
Tóm tắt
Lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng đ-ợc nghiên cứu đầu
tiên trong các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace nh-
là một công cụ chính để mô tả cơ học cũng nh- mô hình giải tích của vật
lý. Vào giữa thế kỷ XIX với sự xuất hiện của các công trình của Riemann,
lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công
cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học. Cuối thế kỷ này, H. Poincaré đã
chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo
hàm riêng và các ngành toán học khác. Sang thế kỷ XX, lý thuyết ph-ơng
trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vô cùng mạnh mẽ nhờ có công cụ
giải tích hàm đặc biệt là từ khi xuất hiện lý thuyết hàm suy rộng do S.L.
Sobolev và L. Schwartz xây dựng.
Không dừng lại ở việc nghiên cứu định tính hoặc định l-ợng các bài
toán ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng cụ thể, lý thuyết ph-ơng trình
vi phân đạo hàm riêng còn nghiên cứu trên ph-ơng diện giải tích các mô
hình trong sinh học, trong kinh tế, trong hoá học và vật lý thiên văn mà
ví dụ tiêu biểu là mô hình khuyếch tán trong sinh học và trong hoá học.
Khi xét một bài toán ph-ơng trình đạo hàm riêng (có thể đó là bài toán
biên, bài toán điều kiện ban đầu, bài toán điều kiện hỗn hợp,..) ta th-ờng
gặp những khả năng khác nhau về nghiệm của nó nh-ng nhìn chung các
vấn đề đặt ra đối với nghiệm của một bài toán là
sự tồn tại nghiệm của bài toán;
tính duy nhất nghiệm;
tính trơn của nghiệm.

Ch-ơng 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị về các không
gian Sobolev, các tính chất định tính của toán tử Laplace, nguyên lý
cực đại mạnh,...
2. Ch-ơng 2
Mục đích chính của ch-ơng là chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm của bài toán (2) với điều kiện f, g : ì R R là các hàm
Lipschitz theo u, v; nghĩa là
|f(u, v) f(u,v)| k
1
(|u u| + |v v|),
|g(u, v) g(u,v)| k
2
(|u u| + |v v|),
đúng với mọi u,u, v,v R.
Ph-ơng pháp sử dụng ở đây là ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt. ý
t-ởng ở đây là sử dụng phân tích tổng trực tiếp
H
1
0
() = X Y
2
trong đó X là không gian một chiều sinh bởi hàm riêng ứng với giá
trị riêng đầu tiên của toán tử . Với phân tích trên ta quy về xét
tính giải đ-ợc của hệ
u
0
= P ()
1
[(u
0

+ z, v
0
+ w)],
w = Q()
1
[(u
0
+ z) + (v
0
+ w) + g(u
0
+ z, v
0
+ w)].
(4)
Trong đó P và Q lần l-ợt là các phép chiếu từ H
1
0
() lên X và Y .
Với mỗi (u
0
, v
0
) X ì X cố định, ta giải bài toán (4) và giả sử
nghiệm nhận đ-ợc là (z
0
, w
0
) Y ì Y . Thay nghiệm vừa tìm đ-ợc
vào bài toán (3) để giải và giả sử nghiệm tìm đ-ợc của bài toán (3)

2
+ (|| + k
2
)
2

2
2
.
Nếu
(|| + k
1
)
2
+ (|| + k
1
)
2
+ (|| + k
2
)
2
+ (|| + k
2
)
2


2
2

2
1
+ k
2
2
)

2
2
2l

< 1
thì bài toán (3) có nghiệm duy nhất trong X ì X.
Cũng phải nhấn mạnh ở đây rằng trong tr-ờng hợp đang xét
1
không
phải là giá trị riêng của ma trận thực A. Đây là kết quả mới và đã
đ-ợc tác giả công bố ở Electron. J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11.
3
3. Ch-ơng 3
Bài toán đ-ợc đề cập trong ch-ơng 3 là
u = u + v + f (x, u, v) trong ,
v = u + v + g (x, u, v) trong ,
u = v = 0 trên ,
(5)
ở đây f và g là các hàm Carathéodory thỏa mãn
|f (x, u, v)| + |g (x, u, v)| a (|u| + |v|)

+ b (6)
trong đó a, b > 0, là các hằng số nào đó với

Với điều kiện (6), phiếm hàm liên kết
1
2



|u(x)|
2
+ |v(x)|
2
u(x)
2
2u(x)v(x) v(x)
2

dx



F (x, U) dx.
thuộc lớp C
1
. Nghiệm của bài toán (theo nghĩa yếu) là điểm tới hạn
của phiếm hàm liên kết trên.
Với điều kiện (7) và
+
2




1.3 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Bất đẳng thức Hăolder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Toán tử và các tính chất của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Trong ch-ơng này, chúng ta xét các tính chất cơ bản về phổ của toán
tử trong miền bị chặn.
1.1 Các không gian Sobolev
Giả thiết R
N
là miền mở bị chặn với biên trơn. Ta định nghĩa
không gian Sobolev
W
k,p
() = {u L
p
() |D

u L
p
() , : || k}
với chuẩn t-ơng ứng là
u
p
W
k,p
=

||k
|D


1kN

u
x
k
,
v
x
k

L
2
và chuẩn t-ơng ứng
u
2
H
1
=



|u(x)|
2
+ u(x)
2

dx .
Từ định nghĩa trên ta thấy H
1

1
().
Cũng cần phải phân biệt rằng nếu R
N
thì nói chung H
1
0
() =
H
1
(). Tuy nhiên, nếu R
N
\ đủ mỏng và N > 2 thì H
1
0
() = H
1
().
Các hàm thuộc H
1
0
() là các hàm thuộc H
1
() và triệt tiêu trên biên ,
để minh họa cho đặc tr-ng này của các hàm thuộc H
1
0
() ta phát biểu
định lý sau
Định lý 1.1. Ta giả thiết thuộc lớp C

() ì H
1
0
() .
Trong không gian L
2
() ta sử dụng chuẩn
|U|
2
2
= |u|
2
2
+ |v|
2
2
1.2. Không gian H
1
() 4
với U = (u, v) trong đó ký hiệu | ã |
2
để chỉ chuẩn trong L
2
(). Ta thấy
toán tử
T : H
1
0
() L
2

(). Vì
H
1
0
() L
2
() nên L
2
() H
1
(). Hơn nữa, với f H
1
() thì
f
H
1
()
= sup
u1
|f (u)|,
trong đó ta ký hiệu f (u) để chỉ giá trị của f H
1
() trên u H
1
0
().
Ta đồng nhất L
2
() với không gian đối ngẫu của nó và vì vậy có sơ đồ
sau


k=1


f
k
(x)
u
x
k
(x) dx , u H
1
0
()
và
max
0kN
|f
k
|
2
= f
H
1
.
Chứng minh của định lý này có thể xem trong [6, Định lý IX.20].
1.4. Toán tử và các tính chất của nó 5
1.3 Một số bất đẳng thức
Sau đây ta liệt kê một số bất đẳng thức quan trọng sẽ dùng trong các
chứng minh sau này.

= 0). Giả thiết R
N
là miền bị chặn. Khi đó ta có


|f(x)g(x)| dx



|f(x)|
p
dx

1
p



|g(x)|
q
dx

1
q
. (1.2)
1.4 Toán tử và các tính chất của nó
Ta ký hiệu là toán tử
: H
1
0


i=1




x
i

v
u
x
i

v

2
u
x
2
i

dx
1.4. Toán tử và các tính chất của nó 6
=
n

i=1



2
i
dx.
Từ đó suy ra
u =
n

i=1

2
u
x
2
i
là toán tử Laplace. Toán tử đ-ợc xác định bởi (1.3) và (1.4) đ-ợc gọi
là toán tử của bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất đối với
ph-ơng trình Laplace
u = f(x) trong ,
u = 0 trên .
(1.5)
Định nghĩa 1.1. Giả sử f(x) L
2
(). Hàm u(x) H
1
0
() đ-ợc gọi là
nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet (1.5) nếu nó thoả mãn điều kiện
(u, v) = (f, v) , v C

0

() bất kỳ. Từ định nghĩa (1.4) của toán tử ta có
(u, u) = (u, u) = u
2
. (1.6)
Hơn thế nữa
(u, u) u
H
1
()
u. (1.7)
1.4. Toán tử và các tính chất của nó 7
Do đó
u
2
u
H
1
()
u .
Vì vậy ta có khẳng định
u u
H
1
()
. (1.8)
Ta đi đến định lý.
Định lý 1.3. Toán tử : H
1
0
() H

().
Hệ quả 1.1. Với mọi f(x) L
2
(), bài toán Dirichlet (1.5) tồn tại duy
nhất nghiệm suy rộng u
0
H
1
0
().
Chứng minh. Giả sử f(x) L
2
() H
1
(). Theo định lý trên, tồn tại
duy nhất u
0
H
1
0
() sao cho
(u
0
, v) = (u
0
, v) = (f, v) , v C

0
() .
Điều đó chứng tỏ u

compắc cho nên toán tử T hạn chế trên L
2
()
T : L
2
() H
1
0
() L
2
()
là toán tử compắc, tự liên hợp trong L
2
(). Vậy ta đi đến định lý.
Định lý 1.4. Toán tử nghịch đảo T của toán tử là compắc, xác định
d-ơng và tự liên hợp trong L
2
().
Từ Định lý 1.4 ta suy ra tồn tại một cơ sở trực giao trong L
2
(), ký
hiệu là {
i
}

i=1
, gồm các hàm riêng của toán tử T ứng với các giá trị riêng
{à
i
}

i
) = à
i
(
i
) .
Do đó

i
=
1
à
i

i
.
Điều đó chứng tỏ rằng toán tử có dãy các hàm riêng {
i
} trong H
1
0
()
t-ơng ứng với dãy các giá trị riêng {
i
}

i=1
đơn điệu tăng khi i +,
nghĩa là
0 <

()
1
=
1

1
.
Chứng minh. Khẳng định của định lý t-ơng đ-ơng với việc chứng minh
T = à
1
. Thật vậy, vì {
i
}
i1
là cơ sở trực giao của không gian L
2
()
nên có thể xây dựng đ-ợc một cơ sở trực chuẩn của L
2
() gồm các
véc tơ riêng, vẫn ký hiệu là {
i
}
i1
, của toán tử ứng với các giá trị
riêng
i
(i = 1, 2, ..). Khi đó, với mỗi u L
2
() ta đều có biểu diễn

i
)
i
.
Nên ta có đánh giá
T u
2
=

i
à
2
i
(u,
i
)
2
à
2
1

i
(u,
i
)
2
= à
2
1
u

1
|
2
2
= (
1
,
1
) = (
1
,
1
) = (
1

1
,
1
) =
1
|
1
|
2
2
.
Nh- vậy |
1
|
2

2
H
k1
()
+ u
2
H
k
()

,
trong đó c là một hằng số d-ơng nào đó và u H
k+1
() H
1
0
() bất kỳ.
Hệ quả 1.3. Hàm riêng
i
(i = 1, 2, ..) của toán tử thuộc C





H
1
0
().
Chứng minh. Thật vậy, xét toán tử L d-ới dạng L =

().
1.5 Nguyên lý cực đại
Trong ta xét toán tử vi phân elliptic cấp hai L có dạng sau
L =
N

i,j=1
g
ij
(x)
i

j
+
N

i=1
b
i
(x)
i
,
trong đó
i
=

x
i
với i = 1, 2, .., N và g
ij

() và Lu(x) 0
trong thì
sup
x
u(x) = sup
y
u(y).
Hơn nữa, nếu Lu(x) = 0 trong thì sup
x
|u(x)| = sup
y
|u (y)|.
1.5. Nguyên lý cực đại 11
Chứng minh. Tr-ớc hết ta chú ý rằng nếu Lu(x) > 0 trong thì u(x)
không thể đạt cực đại tại một điểm trong vì rằng nếu u(x) đạt cực đại
tại u
0
(x) thì tại đó
u
x
i
(x
0
) = 0 , i = 1, 2, .., N.
Hơn nữa, ma trận


2
u
x

g
11
(x) + b
1
(x)

e
x
1
.
Do đó với đủ lớn thì Le
x
1
> 0. Theo giả thiết Lu(x) 0 trong nên
với mọi > 0 ta có L (u + e
x
1
) > 0 trong . Và vì vậy
sup
x
{u(x) + e
x
1
} = sup
y
{u(y) + e
y
1
} .
Cho 0 ta có

() của toán tử ứng với giá trị riêng

1
không đổi dấu trong .
1.5. Nguyên lý cực đại 12
Chứng minh. Từ giả thiết
1
H
1
0
() là hàm riêng của toán tử theo
Hệ quả 1.3 ta suy ra
1
C




H
1
0
(). Với x ta ký hiệu

+
1
(x) = max {
1
(x), 0} ,




+
1


2
dx = |
1
|
2
L
2
(
+
)
,
|

1
|
2
L
2
(

)
=




1. Nếu
+
= thì từ định nghĩa ta thấy
+
1

1
, hơn nữa trong
+
thì

+
1
=
1
=
1

1
=
1

+
1
.
Điều này chứng tỏ
1
là giá trị riêng của toán tử trên miền
+
ứng với hàm riêng

1
=
1

+
1
trong . Vì
1
> 0,
+
1
0 trong
nên

+
1
=


+
1

=
1

+
1
0 trong
và
+

Hệ quả sau là một tính chất rất đặc biệt về số chiều của không gian con
sinh bởi hàm riêng
1
. Ta sẽ sử dụng kết quả này trong các chứng minh
ở Ch-ơng 2 và Ch-ơng 3.
Hệ quả 1.5. Giá trị riêng nhỏ nhất
1
của toán tử với điều kiện Dirich-
let có số bội bằng 1, hơn nữa, không gian con riêng L {
1
} sinh bởi hàm riêng

1
t-ơng ứng với giá trị riêng
1
có số chiều bằng 1.
Chứng minh. Giả sử
1
và
1
là hai hàm riêng độc lập tuyến tính của toán
tử ứng với cùng một giá trị riêng
1
. Ta có thể giả thiết
1
và
1
là
trực giao với nhau, nghĩa là


2.2 Ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Một tr-ờng hợp riêng của bài toán (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Tr-ờng hợp một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Tr-ờng hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm
của bài toán biên Dirichlet sau đây
u = u + v + f(u, v) trong ,
v = u + v + g(u, v) trong ,
u = v = 0 trên ,
(2.1)
trong đó R
N
(N 3) là miền bị chặn với biên trơn,
A =



là ma trận các số thực, f, g : R ì R R là các hàm Lipschitz theo u, v;
nghĩa là
|f(u, v) f(u,v)| k
1
(|u u| + |v v|),
|g(u, v) g(u,v)| k
2
(|u u| + |v v|),

là tuyến tính, tự liên hợp, liên tục và là song ánh. Hơn nữa, phép nhúng
H
1
0
() L
2
() là compắc, do đó toán tử ()
1
: L
2
() L
2
() cũng
compắc, tự liên hợp và đơn ánh. Vậy toán tử xác định từ vế phải của (2.2)
cũng compắc.
2.2 Ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt
Ký hiệu X là không gian con một chiều của H
1
0
() sinh bởi hàm
1
, tức
là X = {t
1
: t R}. Ký hiệu Y = X

=
1



0
+ z) + (v
0
+ w) + f(u
0
+ z, v
0
+ w)],
v
0
= P ()
1
[(u
0
+ z) + (v
0
+ w) + g(u
0
+ z, v
0
+ w)],
(2.3)
và
z = Q()
1
[(u
0
+ z) + (v
0
+ w) + f(u

). Khi
đó nghiệm của bài toán (2.1) sẽ là (u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
).
2.3 Một tr-ờng hợp riêng của bài toán (2.1)
Trong mục này, chúng ta sẽ một tr-ờng hợp đặc biệt của bài toán (2.1), cụ
thể chúng ta xét khi = =
1
, k
1
= k
2
= k và = > 0, nghĩa là
u =
1
u + v + f(u, v) in ,
v = u +
1
v + g(u, v) in ,
u = v = 0 on ,
(2.5)
ở đây
1
là giá trị riêng đầu tiên của toán tử . Bằng cách áp dụng

0
+ w)],
(2.6)
và
z = Q()
1
[
1
(u
0
+ z) + (v
0
+ w) + f(u
0
+ z, v
0
+ w)],
w = Q()
1
[(u
0
+ z) +
1
(v
0
+ w) + g(u
0
+ z, v
0
+ w)].

(2)
Q
(z, w) := Q()
1
[(u
0
+ z) +
1
(v
0
+ w) + g(u, v)].
Bổ đề 2.1. Nếu
(
1
+ k)
2
+ ( + k)
2
<

2
2
2
(2.8)
thì F
Q
là một ánh xạ co trong Y ì Y .
Chứng minh. Giả sử z,z, w,w Y , từ định nghĩa của F
(1)
Q

(z, w) F
(1)
Q
(z,w)|
2

1

2


1
|z z|
2
+ |w w|
2
+ |f(u
0
+ z, v
0
+ w) f(u
0
+z, v
0
+w)|
2

.
Giả thiết f Lipschitz ta nhận đ-ợc
|f(u

0
+ w) f(u
0
+z, v
0
+w)|
2
dx
k
2


(|z z| + |w w|)
2
dx .
Tức là
|f(u
0
+ z, v
0
+ w) f(u
0
+z, v
0
+w)|
2
2
k
2


k(|z z|
2
+ |w w|
2
).
Vì vậy
|F
(1)
Q
(z, w) F
(1)
Q
(z,w)|
2

1

2
((
1
+ k)|z z|
2
+ ( + k)|w w|
2
).
Và do đó
|F
(1)
Q
(z, w) F

(z,w)|
2
2

2

2
2

( + k)
2
|z z|
2
2
+ (
1
+ k)
2
|w w|
2
2

.
Kết hợp lại ta đi đến
|F
Q
(z, w) F
Q
(z,w)|
2

(u
0
, v
0
), w
0
(u
0
, v
0
)). Khẳng định
này cho phép chúng ta định nghĩa ánh xạ
F : X ì X Y ì Y,
(u
0
, v
0
) F (u
0
, v
0
) := (z
0
, w
0
),
ở đây (z
0
, w
0

2

2
2
4((
1
+ k)
2
+ ( + k)
2
)
(|u
0
v
0
|
2
2
+ |u
0
v
0
|
2
2
).
(2.10)
với mọi (u
0
, v

1
(u
0
+ z
0
) + (v
0
+ w
0
) + f(u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
)],
w
0
= Q()
1
[(u
0
+ z
0
) +
1
(v
0

,v
0
+w
0
)],
w
0
= Q()
1
[(u
0
+z
0
) +
1
(v
0
+w
0
) + g(u
0
+z
0
,v
0
+w
0
)].
Bởi vì
Q()

1
|z
0
z
0
|
2
+ |w
0
w
0
|
2
+ |f(u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
) f(u
0
+z
0
,v
0
+w
0
)|

0
|
2
)

.
Do đó
|z
0
z
0
|
2
2

4

2
2

(
1
+ k)
2
|z
0
z
0
|
2

T-ơng tự nh- vậy
|w
0
w
0
|
2
2

4

2
2

( + k)
2
|z
0
z
0
|
2
2
+ (
1
+ k)
2
|w
0
w

2
2
+ |w
0
w
0
|
2
2

4

2
2

(( + k)
2
+ (
1
+ k)
2
)(|z
0
z
0
|
2
2
+ |w
0

0
|
2
2
+ |w
0
w
0
|
2
2

8k
2

2
2
4((
1
+ k)
2
+ ( + k)
2
)
(|u
0
v
0
|
2

0
+ w
0
)],
v
0
= P ()
1
[(u
0
+ z
0
) +
1
(v
0
+ w
0
) + g(u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
)].
(2.11)
Ngoài ra từ định nghĩa của P ta đi đến
P ()

+ f(u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
)],
0 = P()
1
[u
0
+ g(u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
)].
(2.12)
Mặt khác từ định nghĩa của không gian con X
P ()
1
(u
0
) =


+ w
0
)],
0 =


1
u
0
+ P ()
1
[g(u
0
+ z
0
, v
0
+ w
0
)].
(2.13)
Tính toán ta thấy (2.13) t-ơng đ-ơng với
u
0
=

1

P ()
1