ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC Tư NHIÊN
BÀI TOÁN BIÊN t lô ì VÓI PHƯƠNG TltÌNII VÀ 1IỆ
Plll/OIMG I IỈIMI ELL1PTÍC K IIÔ \G TUYÊN TÍNH
Mã số: QT- 02- 03
CHÚ TRÌ ĐỂ TÀI : HOÀNG QUỐC TOÀN
r
11 1 ' L ĩí.lỉiỉ ti
•SÒ Dĩ/£55~
Hà Nội 2003
BAO CAO TOM TẢT
a. Tén đê tài: Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình
elliptíc không tuyến tính.
b. Mã sô: QT- 02-03.
c. Chú trì đề tài: Hoàng Quốc Toàn.
d. Muc tiêu và nội dung nghiên cứu: Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với
phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng elliptíc tuyến tính
đã được nghiên cứu toàn diện và đầy đu mà một trong những kết
quá đẹp đẽ nhất của nó là lý thuyết bài toán biên elliptíc trên đa
tạp compắc. Ván đề tương tự đối với phương trình và hệ phương
trình elliptíc không tuyến tính cũng đã được nghiên cứu nghiêm
túc từ nhiều năm nay. Tuy nhiên những kết quả về nó cho đến
bây giờ còn rát khiêm tốn.
Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu vấn đề đang được quan
tâm đó là sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với hệ
phương trình dạo hàm riêng elliptíc á tuyến tính với phẩn chính
lù toán tư Laplace:
Huu — -A// + q[x)-u —au + Jv + /i(u, v)
Hqv - -Ai' + (i(x)v =ổu + -}(' + fi(u, u)
II 1,/ií - 0, u\ị)U =0, u(.ư). v(s) —> 0 k h i |x| —r +OC.
2

by Hoang Quoc Toan
The existence theory of linear elliptic partial differential equations
is in a íairly complete form, one should seriously consider non-linear
equations.
In thc present work, we are interested in the study of the following
variational problem:
( - Au +- (ị(x))u -a u + pv + /i(u, v)
( — A /' + </(./:))?.' —ổu 4- yi) + u) in n
uịítiì 0 uịíìiì =0, u(x), u(x) —> 0 khi |x| —> +OC.
where arc given real numbers, J,ỗ > 0,Q is an unbounded
connected open sei oí’ IR" with smooth boundary ớíl
ưnder some assumptions on the non linearity of /i,/2 and the po-
tential q, we prove here that there existe a pair (u, u) of solution (or
posiúve solutions) of the problem.
There are several methođs of proving the existence of solutions for
non-linear equations: methods of sub- and super- solutions, continuity
method, Banach or Shauder fixed-point theorem
4
BÀI TOÁN DIRICHLET Đối VÓI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTÍC CÂP HAI Á TUYẾN TÍNH TRONG MlỂN k h ô n g
BỊ CHẶN
Trong đề tài nghiên cứu này chúng tói xét một vấn đề đang được
quan tâm nhiều trong lý thuyết phương trình đạo hàm riéng hiện đại,
đó là sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với phương
trình và hệ phương trình elliptíc không tuyên tính.
Ta xét bài toán biên Dirichlet đối với hệ phương trình á tuyến tính
H
,,11
= - Au + q{x)u =Au + /(li) trong Q (
1

CHƯƠNG 1
BÀI TOÁN DIRICHLET Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Á
TUYẾN TÍNH TRONG MlỂN KHÔNG BỊ CHẶN
§1 Mở đầu.
1. Đật bai toán: Giá sứ íì là miền khóng bị chặn trong R" với biên
trơn diì Ta xét bài toán Dirichlet sau đáy
■Au -4 q(x)u = au + Pv + j\(u, u)
-Ar -t c/(x)v = ỏu + yv + f'
2
(u, u) trong íỉ
a If)Q — 0, V \dũ= 0
Lt(.r) —> (J, v(x) —> 0 khi |x| —> +oo
(1-1)
(1-2)
trong đỏ la các hăng số thực. 3 > 0,đ' > 0,q(x) là hàm số xác
định trong Q thoả mãn giả thiết sau đây
</(./•) c C°(R),
Tồn tại % > u sao cho q(x) > qo Vx G Q
</(./•) —» +OC khi |.r| +OC- (1-3)
7
fi(u, v), Mu,v) thuộc C^R’2), /i(
0
,
0
) =
0
,/
2
(
0

2
}
Hl{Q) là các không gian Sobolev thông thường.
2. Không gian l'f/°(Q)xe
7
íỉ[l] : Trong Cq°(íì) ta xác định chuẩn
I N I , = ( £
và tích vô hướng
aq[u,c)= / (DuDr + (juu)dj\ Mu,v € Cjc(íì) (1-6)
Với giá thiết (1-3) về dáng điệu cua hàm q(x) vế phải của (1-5) xác
định một chuán trong c^(íì).
Định Iiịỉhĩa. Ta ịiọi là klìôtìịị gian nhạn được bủng cácli bó sung
C£°(í>) ỉ/u’° chỉiấìì (1-5).
8
\Du\2 + qu2dx
1/2
Vu 6
C
oc
0
(íì)
(1-5)
Tính chất cứa không gian V^Q) được xác định trong định lý sau
đây.
Định lý 1.1. Vq{tt) là khủng gian Hilbert trừ mật trong L2(Q). Đống
thời phép nhúng V°(Q) vào L2{íĩ) là liên tục và compact.
Chứng minh. Không gian v°{ũ) là không gian Hilbert do cách xây dựng.
Hơn nữa nếu u € Vq°(íl) thì u € L
2
(fì) và có ước lượng:

00
, cho nên với ĩ] >
0
tuỳ ý tồn tại
/?.() >
0
sao cho:
f(*o)IK " ukjlli'0(n'H) < 2rì-
Với /?<) >
0
như dã chọn, dãy hội tụ mạnh trong L2(íìHll), do
đó tồn tại số
/0
>
0
sao cho với mọi L,j > lo ta có:
„2 1
IK, - uk,\\h<iiHo) < ị'h
Vậy: V// > 0, 3/(1 > 0 sao cho Vi,7 > /f), la có:
1

1
ll“ fc. - uM Í* (n i < 2n + 2 ?/ = Tì'
Điều đó có nghĩa là {íU',h=i hội tụ mạnh trong L2(fì).
Định lý chứng minh xong. □
Chú ý. Đế đưn gian ký hiệu sau đây ta sẽ sử dụng ||.|| thay cho chuán
||.||;;.'(Ui. Il-lli),, là chuán trong VỊ(iì), (,)- la tích vô hướng trong L2(ĩì.
3. Toán tứ Schrodinger:
Theo bổ đề Lax- Milgram, tồn lại duy nhất một toán tử Hq trong
L'2(íì) xác định bới công thức

mọi hàm y
6
L'2(íì) tồn tại duy nhất nghiệm u của bài toán.
Hqu - Xa =g{x) trong Í2
u lan—0, u(x) —> 0 khi |x| —> +oo.
Hơn nữa nếu g{x) > u không đồng nhát bãng 0 trong Q thì u(x) >
0
với
mọi X e íì.
5. Nghiệin suy rộng:
Hàm 11, u e V^°(Í2) được gọi là nghiệm suy rộng hay nghiệm yếu của
bài toán ( 1-1 )- (1-2) nếu thoá mãn các điều kiện:
(I',{u,ip) =o(u,ý> ) + f3{v,ự>) + v),ự>) (1-9)
utl{v,ọ) — n( í/, ý1) + 7(u,s5) + (/a('“. e Co°(n).
Nếu nghiệm suy rộng u, i' G CJ(Q). thì đó là nghiệm cổ điến cứa bài
toán.
§2 Sự tổn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền khỏng
bị chận.
1. Gia thiết -> < Ai), trong dó A) là giá trị riêng chính cúa toán
tứ Hq.
Với u cố định thuộc ta xét bài toán Dinchlet đối với u :
(//„ - 1 )v =ỗu + f2(u, u) trong n
(J~\0
f 2= t), v(x) —* u kỉll |j,'| —> +OC.
Trước hòi ta chú y răng vì ' <. 1/0 nên theo giá thiét (1-3) Í/U) > 0
với mọi ./■ e ỉl do đu H, - la toán tư dương va tự liên họp trong L2{Q)
12
có phổ đếm được gồm các giá trị riêng
0 < Ai < A'2 < A3 < • • • < x k < ■ ■ ■ x k —+ +00 khi k —> +00
trong đó Âfc = xk -

13
\\Av - .40II < -—-—|Ịư - ữ||. (1-14)
Àị — 7
Thật bậy, với u, ỹ e Vq°(Q) ta có:
IIAu - Av\\ = I\{Hq - ", )_1í/2(u, v) - f 2(u,v)]\\.
Ta chú ý rằng: lị(//9 - 7 )_ 1IU*(nj < 7 = 1 ^ -
Hơn nữa theo giá thiẽt (1-4):
\Ỉ2{u,v) - f2{u,v) I < - ỹ|.
Do đó:
íl/2('U,'tJ) - 'ỹ)|l < Ả:2Ị|r - ỹ|ị.
Từ đó la nhận được ước lượng
I|j4ỉ; - Av\\ <

—— 117• - D||.
A) —
0
'
ĐÓ là điểu phai chứng minh.
Định ly 1.2. Gia ỉhieĩ
k;
- < inin(í/o,Ai), ——— < 1 (1-15)
A; -
K hi đó, với mọi u - yf(íì) cỏ d inh , tổn rai nghiệm suy rộng r cua bái
toán D iriclìlet (!-JD).
Chứng minh. Từ (1-13), (1-14) và (1-15) toan tư Av = (Hq — I 1 \ỗu 4
f2(u. ư)| ìà toán tư co trong L2{{1).
Lay í ,) cô đinh líiuoc i Đãt: ^ Avư.ưk^ = Auk, ••
Khi đó day \ ck; V. D[.rỉq) họi lu mạnn irong L^(í2). Vi £*(íỉ) là không
g ia n đ u n è n 1011 lại - L-ỈÍỈI sa o c ho :
lim \\Vk- - t'lỊ - l)

)^) + y(vk^)
= (ỏu + /
2
(u, vk-i),<p) + 7(v*, V?)
=ổ(u,ỳ) + l(vk,ự) + (/2(ti,
cho k —>
+00
ta nhận được
aq(v,(fi) = ổ(u,<p) + 7(u,<p) 4- (Mu,v),<p) Vv? G Co°(fi).
Điều này có nghĩa là V là nghiệm suy rộng cúa bài toán (1-10). □
2. Theo định lý 1.2, với giả thiết (1-15), ứng với mỗi u e V^°(Q), tồn
tại một nghiệm yếu V cứa bài toán D inchlet (1-10).
Như vậy ta có một ánh xạ B : v°(íì) —t v ^ íĩ) sao cho với mỗi
u € Vg°(fì) thì
v = Bu = {Hq- 7 )_1[ổtí + h(u, Ba)} e D(Hq) (1-17)
Mệnh đề 1.2. Với u, ũ e v°{ỉì) ta có ước lượng
\\Bu - BũII < - Ò— y\\v - ũ||. (1-17)
Ai - 7 -
Thật vậy với u, d € V^(íì), ta có
IIBu - Bũ\\ =\\(Hq - 7)-1[<5(ii - ũ) + /2(11, Bu) - /2(ũ, Bũ)\II
<

(ý\\u ~ ũ|| + Ả;-211ti — ũII + k2\\Bu — Bĩíịộ
Ổ + k‘2 ị| , k'2
u - ưII + ———IIBu - Bu\\.
Từ đó:
Aị — 7 Ai — '
(1 - - h — )\\B-u-BũII < ị ^ || u - ũ | |.
Ai — 7 Ai — 7
Vi _i£2_ < 1 nên Ai - 0 ^ > 0. do la nhận được ước lượng:

Đổng thời toán tư nghịch đáo {Hq- q
)-1
xác định trong L
2
(íỉ) với miền
giá trị D{Hq - tỵ) - D(Hq) như là toán tử compact từ L
2
(Q) vào L\ũ).
Giả sử u e v^u(ỉỉ). Khi dó bài toán Dirichlet
có nghiệm duy nhất ư = (//,, - a)-l[;3Bu + /i(u,Bu)] e D{Hq).
Vổi'u.6
Như vậy, tồn tại một toán tử tYv®(íI) thì Tu - u là nghiệm của
bài toán Dirichlet (1-19), xác định bới công thức
(Hq - a)ự>k = (Ak - a)ự>k, k =
1
,
2
, -
( - a)U —Ị3Bu + fi(u, Bu) trong Q
u 1^2=0, L (2') —0 khi |x| —> +OC
(1-19)
r = Tu = - a) l[pBu + /i(u. Bu)]
Mệnh đè 1.3. \ ỚI li, ũ € \’;u(íỉ)' ĩa C(> l(()C iKỢHg-'
( 1-20)
IITu — Tu|| < h.\\u - a||
( 1-21)
trong dó /( = —
(p + Ả'i)(ỏ 4- A'
2
) + A'! (Â! — - k'2 )


—
< 1 ( 1- 22)
(A1- a - Ả : 1)(A1 , - k2)
Khi đó bùi toán Diriclilet ị 1-18) tồn tụi nghiệm yếu u e Vq{(.ĩ).
Chiotg minh. Từ (1-20), (1-21), với giả thiết (1-22) toán tử
Tu = (Hq - n )~l[l3Bu + /i( u , Bu)]
là toán tứ co trong
Gia sứ ỉio e K;°(í?), đặt Ui = Tuu,
Uk-t-1 = Titk (k — 1 , 2, • ■ •)
18
Ta có dãy {uk}^=1 c D(Hq) hội tụ mạnh trong L
2
(Q). Do đó tồn tại
u e L2(ữ) sao cho:
lim \\uk — ttịị = 0.
k—*+oo
Phần tiếp theo chứng minh tương tự như định lý 1.2 ta có:
l im a q (u k, V?) = a .q{u,ip) Vy? e c ^ { ĩ ì ) v à u e K ° ( í i ) . (1 - 2 3 )
/c—>+oo y
Ngoài ra nhờ giả thiết (1-4) và bất đảng thức (1-17), ta có
||/i(iífc, Buk) - /i(ti, Bu)\\ < fci(||t/fc - u\\ + IIBuk - Bu\\)
và
II iBak - Bu\\ < - —————\\uk - uỊỊ
Ai - 7 - k2
Cho k —<■ +oo vì \\ak - u|| -> 0 nên từ đó ta suy ra:
lim Buk - Du trong L2(Q). (1-24)
và lim 5'Ufc) = /i(u, Bu) trong L2(íí). (1-25)
k — t + D í.
Bây giờ ra chứng minh 'U là nghiệm suy rộng của (1-18).

20
CHƯƠNG 2
Sự TỔN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYÊN TÍNH
TRONG MIỂN KHÔNG BI CHẬN
§1 Bài toán Dirichlet trong miền không bị chận
1. Đặt bài toán và các giá thiết cơ ban.
Giả sứ íì là miền không bị chặn trong R" với biên dtt trơn.
Ta xét bài toán Dirichlet sau đáy:
— Au + (ị(x)u —au + ,iv + /i('U, r) (2-1)
— Au + q(x) V —ôu + -]U + f' 2 (u)
ỉ/1,yí2 =U,t||ỡỉỉ — 0 (2-2)
u > 0, V > 0 trong n
^ 0, (.>(.£') —* 0 khi |x | —> +O C.
trong đó a,P,S,') là những số' thực, i3 > o.rỉ >
0
:q(x) là hàm sô' xác định
trong íì thoả mãn uiai ihièt (1-3) (Chương 1).
21
/i(s,í) € C°(R), /i(s,í) > 0 với mọi s > 0,í >
0
(
2
-
3
)
/i(si,íi) < /i(s
2
,íi) với mọi 0 < Si < s2,0 < Í! < í2;
Um

1.3
chương
1
, xác định trong D(H,,) c vgu(íì) là toán tứ xác định dương,
tự liên hợp. Toán tứ nghịch đáo H~l xác định trong R(Hq) n L2{Sl) là
toán tử compấc trong L'2(íì). Phổ của toán tứ Hq gồm dãy đếm được
các giá trị riêng { :
0 <c Aj <r A ) <c • <c < • • ■ , —■> -Í-OG khi k —y + 00.
Hàm riêng Y?i(x) ứng với giá trị riêng chính Aj không đối dấu trong ũ,
do đó có thế xem ) >
0
,x € ữ.
Hơn nữa các hàm riêng ỹk{u ) ứng với giá trị riêng xk (k =
1
.
2
, •)
là những hàm liên tục và bị chặn trong íì, đồng thời tồn tại các hằng
sô dương o và sao cho:
|y\.(j')| < ae~M với |j:| đu lớn
(xem [
1
J)
Giả thiết 1:
11
Với mọi A < Ai, toán tử Hq - A khá ngịch, toán tử nghịch đảo
{Hq - A
)-1
là toán tứ compac trong L
2

Giả sứ ui(x),M j-) € L2(Q),U < -Ui(x) < u2{x).x e n. Khi đó
ŨU\ = [Hq - A)_ 1 / ( u i )
£u, = (//„- xylf(u2)
Duu Du2 e D{H(,) và
(//,, - A)(Bu2 - £u,) = /(-u2) - /(ui) trong n
( /ií/v — B u \ ) I tJi ỉ = 0
Lỉu
2
- Du 1 -> u khi |j-| +OC.
Vì / là hàm không giam. Uj > Ui nên /(</,) > f(m), do đó theo nguyên
lý cực đại ta suy ra Bu, > Bu
1
trong íĩ.
23
§2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán Dirichlet.
1. Giá sử
7
< Aj. (2-5)
Khi đó toán tử Hq -
7
(với điều kiện Dirichlet thuần nhất) có nghịch
đảo (Hq - y)~l xác định trong L
2
(Í
2
).
Giá sứuG L2{Q). Theo giả thiết (2-4) f2{u) e L
2
(Q). Do đó tổn tại
nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet:

(2-9)
Khi đó tồn tại nghiệm dưới u vả nghiệm trên ũ của bài toán Dirichỉet
Chứng minh. Theo giả thiết (2-10) và điều kiện (2-4). ta có:
Do đó tổn tại So > 0 sao cho với mọi s : 0 < s < So thì
Khi đó f2{s) > ị [(Ả! - a)(Aj -
7
) - 0ỗ]s, 0 < s < 3q.
Chọn c > 0 đủ bé sao cho 0 < cy?i(z) < So G Q, ta có:
A>U vi) > J [(A1 - UH A1 - 7) - iổ ]c v i.
Áp dụng mệnh đề
2.1
ta có:
(/-/,, -
7
)-i/.'(ý,i) > j[(Ai _ a )(Al " _ - 7)~
1
CY
1
•
Từ đó : (Hq - 7)“l/2(9i) > j[(A> - qHAi -
Mặt khác vì Mcọi.Bc^) >
0
nên ta lại có
+ /1 (cv?i, ii íV i) ■)) 1 [ốcvi + /ỉ(<Vi)]
/2(5) (Aj - a)(Ai - 7)
—

0
>(Ai - a)(Vi = (Họ - ữ )c-
25