ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN
ĐÀM VĂN THƯỢNG
PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH
TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
1 Cơ sở lý thuyết 3
1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Ban-
nach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert . . . . 6
1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương
trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Định lý vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Định lý Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

C
n
không gian phức n - chiều
Du =

∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n

= (D
x
1
u, , D
x
n
u),
∆u =
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i

α
1
x
1
D
α
2
x
2
. . . D
α
n
x
n
đạo hàm cấp α của hàm u
 kết thúc chứng minh.
iv
Lời Mở Đầu
Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm
riêng Elliptic tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ. Vấn đề tương tự đối với
phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính cũng được nghiên
cứu nhiều nhưng đó vẫn là bài toán mà chúng ta đang quan tâm.
Trong luận văn này tác giả xét bài toán Dirichlet đối với một lớp phương
trình Elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với phần chính là toán tử Schr¨odinger trong
miền không bị chặn
P (λ) :

(−∆ + q(x)) u − λu = f(x, u) − h(x) trong Ω,
u|
∂Ω

1
pháp nghiệm trên, nghiệm dưới, các phương pháp dựa trên định lý về điểm bất
động Bannach và Schauder
Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt mà
thực chất là phương pháp trực giao.
Nội dung luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1 tác giả trình bày một số định lý cơ bản về điểm bất động; phổ
của toán tử tuyến tính bị chặn; các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng, phương trình elliptic; không gian Sobolev; định lý Lax Milgram; bài toán
Dirichlet đối với phương trình Laplace
Chương 2 tác giả tập trung tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt, từ
đó trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện tồn tại điểm rẽ nhánh của
bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không
bị chặn.
2
Chương 1
Cơ sở lý thuyết
Trong chương này tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về: Định lý điểm
bất động; phổ của toán tử tuyến tính; định lý Lax Milgram; bài toán Dirichlet
đối với phương trình Laplace
1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản
Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau
đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào
X. Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn
tại của một điểm x
0
trong C mà T x
0
= x
0

mà T x
∗
= x
∗
. Ngoài ra, ∀x
0
∈ X ta có T
n
x
0
→ x
∗
khi n → ∞.
Chứng minh. Chứng minh định lý có thể tìm thấy trong [2], [3].
1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder
Định lý 1.4. (Định lý xấp xỉ các toán tử compact) Giả sử X, Y là các
không gian Bannach, M là một tập con bị chặn của X, T : X → Y là ánh xạ đã
cho. Khi đó, T là compact khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: Với mỗi
n ∈ N tồn tại một toán tử compact P
n
: M → Y sao cho
sup
x∈M
||T (x) − P
n
(x)|| ≤ 1/n và dim(spanP
n
(M)) < ∞.
Chứng minh. Phần chứng minh định lý xem [5].
Định lý 1.5. (Định lý điểm bất động Schauder). Giả sử M là tập con lồi,

. Trong trường hợp này, hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược
R
λ
= (A − λI)
−1
của toán tử A
λ
= A − λI, do đó phương trình (1.1) vô nghiệm
với mọi y = 0. Toán tử R
λ
được gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A.
Định nghĩa 1.7. Số λ gọi là giá trị chính quy (hay điểm chính quy) của toán
tử A, nếu tồn tại toán tử giải R
λ
xác định và bị chặn trên toàn không gian X.
Số λ được gọi là phổ (hay điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trị
chính quy của toán tử A.
Định nghĩa 1.8. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của
toán tử A.
Lập luận trên chứng tỏ, phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của
toán tử A. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A gọi là phổ điểm của toán tử
A, tập hợp các giá trị còn lại của phổ của toán tử này gọi là phổ liên tục.
Định lý 1.9. Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Bannach X,
thì với mọi số α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính
tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α.
Chứng minh. Giả sử toán tử compact A có một dãy vô hạn (x
n
) các vectơ riêng
độc lập tuyến tính tương ứng với dãy các giá trị riêng (λ
n

n
− x|| >
1
2
.
Khi đó dãy

y
n
λ
n

bị chặn nhưng dãy

A
y
n
λ
n

không chứa dãy con nào hội tụ.
Thật vậy, giả sử y
n
=

n
k=1
a
k
x

n
x
n
= y
n
+ z
n
,
trong đó z
n
=
n−1

k=1
a
k

λ
k
λ
n
− 1

x
k
∈ X
n−1
(n = 1, 2, ).
Với hai số tự nhiên bất kỳ p, q, p > q ta có


q
− z
p
)|| >
1
2
,
trong đó y
q
+ z
q
− z
p
∈ X
p−1
. Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact
của toán tử A. Vì vậy chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng
với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α.
1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert
1.2.2.1 Phổ của toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.10. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H
vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.11. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là số thực đối với
mọi x ∈ H.
Cho A là toán tử tự liên hợp tác dụng trong không gian Hilbert H. Ta có
các kết quả sau đây
Định lý 1.12. Các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp A đều là số thực.

1
, x
2
) = (Ax
1
, x
2
)
=(x
1
, Ax
2
) = (x
1
, λ
2
x
2
) = λ
2
(x
1
, x
2
).
Suy ra (λ
1
− λ
2
)(x

x|| ≥ d||x||.
∀x ∈ H, x = 0, ta đặt y =
x
||x||
, thì ||y|| = 1, theo chứng minh trên ||A
λ
y|| ≥ d||y||
suy ra



A
λ
x
||x||



≥ d



x
||x||



. Vì vậy ||A
λ
x|| ≥ d||x||. Hiển nhiên, bất đẳng thức

⊂ H, ||x
n
|| = 1) sao cho
lim
n→∞
||Ax
n
− λx
n
|| = 0.
Đặt y
n
= Ax
n
− λx
n
, thì x
n
=
1
λ
(Ax
n
− y
n
) (n = 1, 2, ). Nhờ tính compact
của toán tử A, dãy (Ax
n
) chứa dãy con (Ax
n

k→∞
1
λ
(Ax
n
k
− y
n
k
) =
1
λ
Ax.
Vậy Ax = λx. Do đó λ là giá trị riêng của toán tử A.
Định lý 1.19. Nếu toán tử compact tự liên hợp A tác dụng trong không gian
Hilbert H có vô số giá trị riêng, thì tập các giá trị riêng là đếm được và số 0 là
điểm giới hạn duy nhất của các giá trị riêng đó.
8
1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo
hàm riêng, phương trình elliptic
Định nghĩa 1.20. Cho k là một số nguyên dương, Ω là một tập mở trong R
n
.
Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x
1
, x
2
, , x
n
), các biến độc lập x

(x), f(x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính cấp
k (1.4) được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.
(ii) Phương trình (1.3) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng

|α|=k
a
α
(x)D
α
u + a
0
(x, u, Du, , D
k−1
u) = 0.
(iii) Phương trình (1.3) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

|α|=k
a
α
(x, u, Du, , D
k−1
u)D
α
u + a
0
(x, u, Du, , D
k−1
u) = 0.
(iv) Phương trình (1.3) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc
không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất.

, , ξ
n
) và ξ
α
= ξ
α
1
1
· ξ
α
2
2
· · · ξ
α
n
n
. Đó là đa thức của ξ với các hệ số
phụ thuộc vào x.
Toán tử A được gọi là elliptic tại điểm x
0
nếu A
0
(x
0
, ξ) khác 0 với mọi
ξ ∈ R
n
\ {0}.
Toán tử A được gọi là elliptic trong một miền nếu nó là elliptic tại mỗi điểm
của miền. Điều kiện elliptic có thể viết dưới dạng:

trình elliptic là chẵn.
Định nghĩa 1.25. Bài toán tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.5) sao cho u(x) =
g(x) với mọi x ∈ ∂Ω được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic
tuyến tính. Khi u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì phương trình ĐHR (1.5) gọi là bài
toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính.
1.4 Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.26. (i) Giả sử không gian W
m,p
(Ω) (trong đó m nguyên
dương, 1 ≤ p < +∞ ) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L
p
(Ω)
sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc L
p
(Ω)
và được trang bị chuẩn
||u||
W
m,p
(Ω)
=


0≤|α|≤m

Ω
|D
α
u(x)|
p


|α|≤m

Ω
D
α
uD
α
vdx
=

|α|≤m
(D
α
u, D
α
v)
L
2
(Ω)
, với mọi u, v ∈ H
m
(Ω).
Do đó
||u||
2
m
= (u, u)
m
=

1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho:
(i) Tu = u|
∂Ω
nếu u ∈ H
1
(Ω) ∩ C(Ω).
(ii) ||T u||
L
2
(Ω)
≤ c||u||
H
1
(Ω)
với mọi u ∈ H
1
(Ω) và c là hằng số.
Khi đó T u được gọi là vết của u trên ∂Ω.
1.4.2 Định lý nhúng
Giả sử Ω ⊂ R
n
là tập mở, bị chặn và có biên trơn. Nếu s >
n
2
+ j (j ∈ N)
thì H

(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi u, v ∈ X.
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ||u||
2
với mọi u ∈ X.
Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F (u) trên X đều tồn tại f ∈ X sao
cho
F (u) = a(u, f), u ∈ X.
Chứng minh. Lấy u ∈ X cố định. Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm tuyến
tính trên X. Theo (i), ta có:
|a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi v ∈ X.
Điều này chứng tỏ u(v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Theo định
lý Riesz-Frech´et, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au ∈ X, sao cho
u(v) = (Au, v), ∀ v ∈ X,
trong đó (.,.): là tích vô hướng trong X. Như vậy a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ X,
và ta có một toán tử
A :X → X
u → Au.
A là toán tử tuyến tính. Thật vậy, với mọi λ
1
, λ
2
∈ R, u
1
, u
2
∈ X và với mỗi
v ∈ X có
(A(λ
1
u

, v) = (λ
1
Au
1
+ λ
2
Au
2
, v).
12
Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X bởi vậy A tuyến tính. Theo giả thiết (ii), ta
có:
||Au||
2
= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ c||u|| · ||Au||, ∀u ∈ X
⇒ ||Au|| ≤ c||u||, ∀u ∈ X.
Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X là toán tử liên tục. Hơn nữa với
u
1
, u
2
∈ X mà
Au
1
= Au
2
⇒ u
1
= u
2

= Au
2
. (1.8)
Từ (1.6) và (1.8) suy ra A : X → X là ánh xạ 1 − 1. Ký hiệu
A(X) = {u ∈ X : Au ∈ X},
ta chứng minh A(X) đóng trong X. Thật vậy, giả sử {Au
j
} là dãy hội tụ đến
v ∈ X. Vì {Au
j
} là dãy Cauchy trong X nên ta có
lim
j,k→+∞
||Au
j
− Au
k
|| = 0.
Từ (1.7) ta có
||u
j
− u
k
|| ≤
c
γ
· ||Au
j
− Au
k

được gọi là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) trên không gian
Hilbert X hay ngược lại a(u, v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với
toán tử A.
1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian
Hilbert phức
Xét V là không gian Hilbert phức với tích vô hướng (u, v), u, v ∈ V thỏa mãn
điều kiện (u, v) = (v, u) với mọi u, v ∈ V . Kí hiệu V

là đối ngẫu của V (không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trong V ).
Theo định lý Riesz, với mọi L ∈ V

tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho
L(v) = (u, v)
V
với mọi u, v ∈ V .
Ví dụ 1.29. Ω là tập mở trong R
n
, H
1
0
(Ω) là bổ sung của C
∞
0
(Ω) trong H
1
0
(Ω).
Đặt V = H
1

||Au||
2
= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ ||u|| · ||Au|| ⇒ ||Au|| ≤ ||u||.
Toán tử A là đơn ánh. Thật vậy, nếu
(u, Au) = 0 ⇒ a(u, u) = 0 ≥ c||u||
2
⇒ u = 0.
Ảnh của A là trù mật vì nếu u ∈ V , u trực giao với ImA thì
(u, Au) = 0 ⇒ a(u, u) = 0 ⇒ u = 0.
Ảnh của A là đóng. Thật vậy, với mọi v ∈ V , ta có
||Av||
V

= sup
w=0
|(Av, w)|
||w||
V
≥
|(v, Av)|
||v||
=
|a(v, v)|
||v||
≥ c||v||
⇒ ||Av||
V

≥ c||v||, ∀v ∈ V. (1.11)
Giả sử {Av

v
j
= v trong
V . Do A là ánh xạ liên tục nên
Av = f.
15
Suy ra ảnh của A là đóng trong V

. Vậy A là song ánh từ V lên V

.
Từ (1.7) và định lý Banach về ánh xạ ngược suy ra A
−1
liên tục. Vậy A là
đẳng cấu từ V lên V

.
Giả sử V là không gian Hilbert, H là không gian Hilbert sao cho V ⊂ H,
phép nhúng liên tục và trù mật. Nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H
thì f ∈ V

. Nếu h ∈ H, ta xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H theo
công thức
v −→ (h, v)
H
= f(v), v ∈ H.
Do V nhúng liên tục trong H nên f(v) = (h, v)
H
cũng liên tục trong V nên
f ∈ V

H
· ||v||
V
⇒ ||Ah||
V

≤ ||h||
H
.
Ta có toán tử A liên tục.
Do V nhúng liên tục, trù mật trong H và H ⊂ V

nên nếu một ánh xạ tuyến
tính liên tục H → H thì cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục V → V

.
Từ đó ta có hệ quả sau của định lý Lax Milgram.
Hệ quả 1.32. Giả sử tồn tại λ
0
∈ R và C > 0 sao cho
Rea(u, u) + λ
0
||u||
2
H
≥ C · ||u||
2
V
, u ∈ V.
Khi đó với mọi λ ≥ λ

Vậy a
1
(u, v) là thỏa mãn điều kiện bức. Theo định lý Lax-Milgram A + λI
là đẳng cấu từ V lên V

.
1.7 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
1.7.1 Không gian Sobolev H
1
0
(Ω)
Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong không gian R
n
với biên ∂Ω trơn. C
∞
0
(Ω)
là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω.
Trong C
∞
0
(Ω) ta xác định chuẩn
||u||
H
1
0
(Ω)
=



1
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).
Nhờ bất đẳng thức Poincare ta xác định một chuẩn tương đương với chuẩn
(1.12) trong C
∞
0
(Ω):
||u||
H
1
0
(Ω)
=


Ω
(|Du|
2
+ |u|
2
)dx

1
2
, ∀u ∈ C
∞
0

i
= 0 trên
∂Ω theo nghĩa vết).
Khi đó H
1
0
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.13) và phép nhúng
H
1
0
(Ω) vào L
2
(Ω) liên tục và compact.
1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng
Ta xét bài toán Dirichlet:

−∆u = f(x) trong Ω,
u = 0 trên ∂Ω.
(1.14)
trong đó Ω là miền bị chặn có biên ∂Ω trơn trong R
n
, f(x) là hàm liên tục trong
Ω.
Giả sử u ∈ C
2
(Ω) là nghiệm của bài toán (1.14). Khi đó với mỗi ϕ(x) ∈
C
∞
0
(Ω) ta có:

Ω
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
ϕ(x)dx
= −

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i

ϕ
∂u
∂x
i

dx +

Ω
n


Ω
DuDvdx =

Ω
f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω),
hay
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
18
Nếu f(x) là hàm không liên tục trong Ω thì bài toán (1.14) nói chung không
có nghiệm trong C
2
(Ω). Vì vậy khi đó nghiệm bài toán (1.14) cần hiểu theo
nghĩa suy rộng. Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau
Định nghĩa 1.33. Giả sử f(x) ∈ L
2
(Ω). Khi đó hàm u ∈ H
1
0
(Ω) được gọi là
nghiệm suy rộng của bài toán (1.14) nếu
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0

(Ω) thì
(Du, Dϕ) = (−∆u, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Do đó
(−∆u, ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Từ đó suy ra −∆u = f trong Ω. Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.14).
1.7.3 Toán tử của bài toán Dirichlet
Định nghĩa 1.35. Không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω) được ký hiệu là H
−1
(Ω):
f ∈ H
−1
(Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H
1
0
(Ω).
Nếu f ∈ H
−1
(Ω) thì
||f||
H
−1

và các phép nhúng là trù mật, liên tục, hơn nữa phép nhúng H
1
0
(Ω) vào L
2
(Ω)
là compact.
Ta xác định toán tử −∆:
−∆ : H
1
0
(Ω) → H
−1
(Ω)
sao cho:
(−∆u, v) = (Du, Dv), ∀u, v ∈ H
1
0
(Ω),
miền xác định:
D(−∆) = {u ∈ H
1
0
(Ω) : −∆u ∈ L
2
(Ω)}.
Nếu u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C

2
i
vdx =

−
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
, v

, ∀v ∈ C
∞
0
(Ω).
Từ đó suy ra với u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω) thì
∆u =
n

i=1

2
(Ω)
≥ k||u||
2
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Do đó:
k||u||
2
L
2
(Ω)
≤ (−∆u, u) ≤ ||∆u||
H
−1
(Ω)
· ||u||
H
1
0
(Ω)
.
Suy ra
||u||
H

j
− u
k
||
H
1
0
(Ω)
≤ c · ||f
j
− f
k
||
H
−1
(Ω)
, ∀j, k.
Từ đó {u
j
} là dãy Cauchy trong H
1
0
(Ω). Vì H
1
0
(Ω) là không gian Hilbert nên tồn
tại u sao cho
lim
j→+∞
||u

0
suy ra
0 = (−∆u
0
, u
0
) ≥ k||u
0
||
2
H
1
0
(Ω)
⇒ u
0
= 0.
Do R(−∆) đóng trong H
−1
(Ω) nên
R(−∆) = H
−1
(Ω).
Vậy −∆ là ánh xạ lên.
21