Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

TR N VĂN TOÀN

TH V L P KÉP
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
Đ I V I HÀM ĐI U HÒA

Chuyên nghành: TOÁN GI
Mã s : 60.46.01.02

LU N VĂN TH C S

TOÁN H C

Ngư i hư ng d n khoa h c
PGS. TS HÀ TI N NGO N

HÀ N I - NĂM 2015

I TÍCH


M cl c
M đu

2



Đưa bài toán Dirichlet c a phương trình Laplace v phương trình
tích phân trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4
2.5

S t n t i nghi m c a các bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 39 Th v kh i
và bài toán Dirichlet trong cho phương trình Poisson. . 45

K t lu n

48

Tài li u tham kh o

49

1


M đu
Nghi m c a phương trình Laplace r t quan tr ng trong toán h c, đ c bi t là trong
các bài toán v t lý, sinh h c. Vi c kh o sát nghi m c a phương trình Laplace là c n
thi t. Lu n văn '' Th v l p kép và bài toán Dirichlet đ i v i hàm đi u hòa" là bài toán
biên th nh t c a phương trình Laplace. Trư c đó ngư i ta đã ch ng minh đư c tính t
n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Dirichlet trong mi n hình c u trong b ng nhi u
phương pháp khác nhau, như phương pháp tách bi n, phương pháp bi n thiên
tham s , phương pháp hàm Green. Tuy nhiên, vi c kh o sát nghi m c a bài toán
đó khi m r ng mi n ( không nh t thi t là mi n hình c u), v i nh ng phương pháp trên

n
cos(− ; −Q) ≥ 0.
r
→

2

→n
r→

(1.1)

−→
T P, xét t t c các bán kính vecto P Q, Q ∈ S. Các bán kính vecto đó l p
đ y kh i nón, đ nh là P và các đư ng sinh c a m t bên t a trên biên c a m t S.
T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u 1. M t c u y c t kh i nón trên theo
m nh c u σ1, có di n tích là |σ1| khi đó ph n không gian chi m b i kh i nón nói
trên đư c g i là góc kh i mà t P nhìn m t S. Di n tích |σ1| đư c g i là s đo
c a góc kh i, và đư c kí hi u là:

ωP (S) = |σ1|.
Chú ý. N u xét m t c u tâm P bán kính R , R và c t kh i nón theo m nh σR
|
có di n tích |σR| thì do tính đ ng d ng c a δR và δ1 ta có : |σ11 = |σR2| R
Do đó ta có th vi t:

ωP (S) = |σR|.
R2

(1.2)

ωP (S) =

→nQ) −; −→ không đ i

ωP (Sj)

d u.

j

(1.5)
Đ nh lý 1.1(Đ nh lý 5.3.1,[1]). Gi s P ∈ S. Góc kh i mà t đi m P nhìn m t /
S có giá tr b ng

ωP (S) = −
S

∂ ( 1 )dS Q
n
∂ Q rPQ

trong đó r = P Q, là kho ng cách gi a hai đi m P và Q, −Q là pháp tuy n dương
n→
t i Q ∈ S, ∂∂Q nlà đ o hàm theo hư ng −Q
n→
Ch ng minh. Ta ch xét trư ng h p m t S mà cos(−; nQ) không đ i d u, trong
→−→

r
trư ng h p ngư c l i, ta chia S thành các m nh nh Sj sao cho cos(−; nQ) không

→ →
r
ν

∂ (1) = − cos(− ; ν) = 0.
∂ν r
→−
r
6
r2

(1.7)


Trên m t S, ta có

− = −−Q
n

n
→

∂

∂

(

Q


(

=−1Q

1
)

dSQ
= −|

σ2R|

d
S
=
Q

nQ r
R2

∂ν r

∂

(
1
.
9
)



S

ô
n

+

g

ω
t

(

h

S
)

c

=
(

0

1
.
6



(

ta có:
→−→

N

→
n

r

u

−

c
o
s
(
−
;
n

=
−
Q



ì

r

Q

S

t
r
ê
n

Tđ
ng th
c

S

ω
P

m

s
u
y

(

1
)
d

7

S
=
−
−
|

σ
R

|
=

ω
(
S
)

∂

S

V

y


ϕ ≤ Arα.

(1.13)

nh n xét N u m t S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đ o hàm c p 2 liên t c thi S là m t Lyapunov.
Do đó m t cong có đ cong liên t c là m t Lyapunov. Hơn n a đ nh nghĩa và
các đ nh lý trong ph n này cũng đúng trong không gian n chi u t ng quát.
Đ nh lý 1.2(Đ nh lý 5.4.2, [1]) Gi s S là m t Lyapunov kín. Khi y t n t i
m t h ng s dương d > 0 sao cho n u l y m t đi m Q b t kỳ trên S làm tâm bán
kính d thì m i đư ng th ng song song v i pháp tuy n − t i Q c t m t S phía
→
trong hình c u không quá m t đi m.
n
M t c u v i tâm Q ∈ S nói trên đư c g i là m t c u Lyapunov, kí hi u

(Q).

Ch ng minh. Ch n d đ nh sao cho:

Adα ≤ 1

(1.14)


8


nn
−
Trư ng h p n0 ti p xúc v i s (Q0) cũng không th x y ra vì khi đó
(− ; −0) = (− ; n0) = π > 1
→→
→−
nn
→
n
V y đ nh lý đư c ch ng minh.

2

1.2.2 M t vài đánh giá
Gi s Q0 là m t đi m c đ nh b t kỳ n m trên m t S và S (Q0) là m t ph n
m t n m trong m t c u Lyapunov tâm Q0. Xét h t a đ đ a phương (ξ, η, ζ) v i
g c là Q0 , tr c Q0ζ = −→ còn 2 tr c Q0ξ và Q0η n m trong m t ph ng ti p xúc n0Q
v i S t i Q0 .
Theo Đ nh lý 1.1 thì ph n m t S (Q0) có th bi u di n trong h t a đ Q0ξηζ
b i phương trình


ζ = f (ξ, η)
G i Q(ξ, η, ζ) là đi m ch y trên m t S (Q0) ; − là pháp tuy n t i Q và r = Q0Q.
→
n
Ta đi đánh giá cosin ch phương c a − , đ i lư ng f (ξ, η) trong (1.15) và
→
n



ϕ2n
(−1)n. (2n)!

(1.17)

là chu i đan d u có các s h ng đơn đi u gi m, nên n u trong chu i ta ch gi
m t s h u h n các h ng th c, thì ph n dư s có d u c a h ng th c đ u tiên c a ph n dư
đó.
T đó

cos ϕ ≥ 1 − ϕ . 2
2
Theo công th c (1.13) ta có:

cos ϕ ≥ 1 − 1A2r2α
2
M t khác do (1.14) nên trong các m t c u Lyapunov đã ch n.

(1.18)

A2r2ϕ ≤ A2d2ϕ ≤ 1
và t (1.18) ta suy ra đánh giá sau:

cos(− ; − ) ≥ 1
2
→→
nζ
2, Đ i lư ng cos(− ; ξ ) và cos(− ; − )
−

→→
nη
10

(1.20)

(1.21)


Chú ý :

sin ϕ < ϕ ≤ Arα
t đó ta có các đánh giá sau:

| cos(− ; − )| ≤ Arα

(1.22)

→→
nξ

| cos(− ; − )| ≤ Arα
→→
nη

3, Đ i lư ng f (ξ, η)

(1.23)

Ta có phương trình c a m t S (Q0) là:

→
→

1 + ( fξ )2 + ( fη )2

(1.25)


cos(−; ζ) =
n
→

(1.26)

1
1 + (f )2 + (f )2
ξ
η

−

T (1.19),(1.22 → 1.26), ta có

|fξ| =

→
1 + (fξ)2 + (fη)2.| cos(−; ξ)| ≤ 2Arα
n→

và tương t đ i fη, như v y

0

ρ

∂f dρ ≤
∂ρ

0

∂f dρ ≤ M ρ.
∂ρ

(1.30)

G i Q(ξ, η, ζ) là đi m n m trên m t S (Q0) và P (ξ, η) là hình chi u c a Q lên
m t ph ng Q0ξη và đ t
ρ = Q0 P
khi đó trong tam giác vuông Q0P Q ta có

r2 = Q0Q2 = ρ2 + ζ2,
t đó v i chú ý (1.30) ta suy ra

|ζ2| ≤ M 2ρ2 ⇒ r2 ≤ M 2ρ2 + ρ2
do đó

r ≤ Kρ,

K = const

(1.31)

r
ta có:

η
,
r

ζ
r

cos(− ; − ) = ξ . cos(− ; − ) + η . cos(− ; − ) + ζ . cos(− ; − )
r
r
r
→→
→→
→→
rn
nη
nξ

→→
nζ

(1.34)

Vì |ξr |, |η |, | cos(− ; ζ )| đ u bé thua 1 nên t (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta
r

có đánh giá sau:

n m trong m t S và đi m P n m ngoài m t S
a, Đi m P ∈ S
L y g c t a đ đ a phương là P và như v y coi

P ≡ Q0 ∈ S
Chú ý:

∂nQ ( rQ0Q )
∂
1

−− →
→

(1.36)


= −cos(rr2; n )

13


Khi đó

∂ ( 1 ) ds =

cos(− ; − ) dS =
∂nQ

Q