ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG VĂN LUẬN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI
HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1


2.2

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

1


Mở đầu
Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là
cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong
những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm

giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia
giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy
dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vectơ pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ
−→
−
π
Q ∈ S thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:

(1.3)


−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính
vectơ
r
một
góc
tù
cos(
r,
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
ωP (S) = −

|σR |
R2

(1.4)

S

trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương tại
Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q.

−→
−
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp mặt S mà cos(→
r, nQ ) không đổi dấu,trong
−→
−
trường hợp ngược lại, ta chia S thành các mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r , nQ ) không
−→
đổi dấu. Khi đó P Q chỉ cắt S tại Q duy nhất.
−→
−
Giả sử cos(→
r ,n ) ≥ 0
Q

Xét mặt cầu R tâm P với bán kính R đủ nhỏ sao cho σR không cắt S. Xét
miền D giới hạn bởi mặt S, mặt σR và phần không gian nằm giữa S và σR . Kí
hiệu là S0
Ta chú ý rằng hàm 1r là hàm điều hòa trong D ∪ S ∪ σR ∪ S0 do đó theo tính
chất của hàm điều hòa ta có:


(1.7)

Trên mặt S, ta có

−
−
→
ν→
Q = −nQ
nên

∂ 1
( )dSQ = −
∂νQ r

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

(1.8)

S

Trên σR ta có:

σR



∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

ωP (S) = −

(1.10)

S

−→
−
Nếu cos(→
r, nQ ) ≤ 0 thì trên mặt S ta có:
−
−
→
ν→
Q = nQ
và

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r
S

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

Vậy ta vẫn có (1.10).

1.2

Mặt Lyapunov

Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n , n là hai vectơ pháp
→
−
−
tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vectơ pháp tuyến đó (ϕ = (→
n , n )),
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .


tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) sao cho có một tia đi qua Q0 ; n0 //→
của S cắt S (Q0 ) tại 2 điểm là Q và Q’. Giả sử các pháp tuyến của mặt S là các
→
−
pháp tuyến trong, gọi Q là điểm của mặt S tại đó n0 hướng ra phía ngoài, còn Q’
→
−
là điểm tại đó n0 hướng vào phía trong của S. Xét mặt phẳng tiếp xúc tại Q với
−
−
S. Khi đó, →
n và →
n0 nằm về 2 phía của mặt phẳng tiếp xúc do đó:

→
−
π
−
−
−
(→
n,→
n0 ) = (→
n , n0 ) > > 1
2
Điều này không thể sảy ra vì theo (1.13) và (1.14) ta phải có:

−
−
(→

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

−
Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r =
−
Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ,→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 )
→
−
−
a) Đại lượng cos(→
n, ζ )
Đặt:

→
−
−
−
−
ϕ = (→
n , ζ ) = (→
n,→


1
cos ϕ ≥ 1 − A2 r2α .
2
Mặt khác do (1.14) nên trong các mặt cầu Lyapunov đã chọn:
9

(1.18)


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thừa Hợp (2005), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] A V Bitsdze (1994), Partial differential equations, World Scientific,
Singapore-New Jersey-London-Hong Kong.

52