ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG VĂN LUẬN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI
HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1


2.1

Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 20

Kết luận

24

Tài liệu tham khảo

25

1


Mở đầu

văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia
giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy
dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vectơ pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ
−→
−
π


|σR |
R2

(1.3)


−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính
vectơ
r
một
góc
tù
cos(
r,
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
ωP (S) = −


∂ 1
ωP (S) = −
( )dSQ
∂nQ r
S

trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương tại
Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q.

1.2

Mặt Lyapunov

Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n , n là hai vectơ pháp
→
−
−

mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với
−
gốc là Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến →
n0 tại Q0 còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm
trong mặt phẳng tiếp xúc với S tại Q0 . Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S (Q0 ) có
thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ bởi phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.7)

−
Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r =
−
Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ,→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 ) ta có:
→
−
1
−
cos(→
n, ζ ) ≥
(1.8)
2

) dSQ ≤ C
∂nQ rP Q

(1.13)

S

đối với mọi P nằm trong không gian.
Ý nghĩa hình học của (1.13) đối với góc khối mà P nhìn mặt S trong (1.5) như
sau: Giả sử S = Sj , khi đó tổng trị tuyệt đối số đo các góc khối là bị chặn đều
j

|ωP (Sj )| ≤ C.
j

Chứng minh. Để chứng minh định lý trên ta chia làm 2 trường hợp: điểm P nằm
trong mặt S và điểm P nằm ngoài mặt S

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II

1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền giới nội trong không gian En ; f (P ) là hàm liên
tục cho trước; K(P, Q) là hàm thực liên tục khi P ∈ Ω; Q ∈ Ω hoặc liên tục khi
P = Q và khi P → Q có bất thường loại yếu:

K(P, Q) = O(

1


ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0
Ω

trong đó nhân K(Q,P) có được từ K(P,Q) bằng cách trao đổi vị trí P và Q.
Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có các định lý sau, và được
gọi là định lý Fredholm.
1.3.2 Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II)
Định lí 1.4 (Định lý 5.11.1, [1]). Phương trình thuần nhất

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0

(1.15)

Ω

và phương trình thuần nhất liên hợp

ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0

(1.16)

Ω


(1.18)

Ω

Điều kiện này được gọi là điều kiện trực giao, trong đó {νk (P )} là hệ đầy đủ các
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất liên hợp (1.16).
Từ đó suy ra
Định lí 1.6 (Định lý 5.11.3, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.14)
giải được với bất kỳ vế phải f (P ) liên tục nào là phương trình thuần nhất (1.15)
chỉ có nghiệm tầm thường µ(P ) = 0. Khi đó phương trình (1.14) có nghiệm duy
nhất.

1.4

Phương trình Laplace

Giả sử Ω là một miền trong Rn .
Định nghĩa 1.3. Kí hiệu

n

∆u :=

uxi xi
i=1

và gọi biểu thức này là Laplacian của hàm u.
Khi đó phương trình

∆u(x) = 0,


(x = 0)

Vì thế

xi
uxi = υ (r) ;
r

uxi xi

x2i
x2i
= υ (r) 2 + υ (r)(1 − 3 );
r
r

Do đó

∆u = υ (r) +

i = 1, 2...n

n−1
υ(r).
r

Như vậy ∆u = 0 khi và chỉ khi

υ (r) +

+ c (n ≥ 3)

ở đây b và c là các hằng số.
Định nghĩa 1.4. Hàm số

Φ(x) =

1
;
2π log |x|

n=2

(1.21)

và

Φ(x) =

1
1
;
n(n − 2)α(n) |x|n−2

n≥3

(1.22)

với x ∈ Rn ; x = 0 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó
α(n) là thể tích của hình cầu đơn vị.

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
= f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω
∂nQ S
C
,
r = OP → ∞.
|u(P )|
r

(1.25)
(1.26)
(1.27)

Bài toán Neumann thường được gọi là bài toán biên thứ hai của phương trình
Laplace.
1.5.2 Công thức Green
Giả sử Ω là miền giới nội trong R3 , giới hạn bởi mặt biên S trơn từng mảnh,
u(x), υ(x) là các hàm riêng cấp một liên tục trong Ω ∪ S và có đạo hàm riêng
cấp hai liên tục trong Ω, khi đó ta có công thức Green thứ nhất:
3

υ(x)(∆u(x))dx = −
Ω

Ω

j=1

∂υ(x) ∂u(x)

dSx .
− u(x)
∂nx
∂nx

∂Ω

(1.29)
1.5.3 Bài toán Neumann trong (1.23), (1.24)
Ta chứng minh nếu hàm f(Q) trong (1.24) cho tùy ý thì không phải bao giờ
(1.23), (1.24) có nghiệm, và để có nghiệm, hàm f(Q) phải thỏa mãn một điều kiện
xác định.
−
Thật vậy, tại mỗi điểm Q ∈ S dựng một pháp tuyến trong →
n và trên pháp
tuyến ấy, lấy một điểm Q’ sao cho

QQ = h
trong đó h là một số dương cố định. Khi điểm Q chạy trên mặt S thì điểm Q’
tạo nên một mặt mà ký hiệu Sh và thường được gọi là mặt song song của mặt S.
Theo kết quả của hình học vi phân thì khi h khá nhỏ, do mặt S là mặt trơn, mặt
−
−
Sh cũng là mặt trơn, →
n là pháp tuyến của mặt S thì →
n cũng là pháp tuyến của
mặt Sh
Gọi ωh là miền tọa bởi lớp giữa hai mặt S và Sh và Ωh là miền còn lại, tức là

Ωh = Ω \ Ωh

(1.31)


Chú ý từ (1.30), có thể viết (1.31)

f (Q)dSQ = 0

(1.32)

S

Vậy, để bài toán (1.23),(1.24) có nghiệm thì f(Q) trong (1.24) phải thỏa mãn điều
kiện (1.32).
Nhận xét 1.2. Đây là điều kiện cần để bài toán Neumann trong (1.23),(1.24) có
nghiệm. Trong Chương 2 ta sẽ chứng minh (1.32) còn là điều kiện đủ.
Nhận xét 1.3. Nếu u(P) là nghiệm của bài toán Neumann trong (1.23), (1.24)
thì U(P)+C cũng là nghiệm với C là hằng số tùy ý.
Bây giờ ta kiểm tra tập các hàm u(P)+C với C là hằng số tùy ý vét cạn tập
nghiệm của bài toán Neumann trong, ta có:
Định lí 1.7 (Định lý 4.9.1, [1]). Hai nghiệm bất kỳ của bài toán Neumann trong
của phương trình Laplace chỉ có thể sai khác nhau một hằng số cộng.
1.5.4. Bài toán Neumann ngoài

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
= f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω
∂nQ S
C
|u(P )|
,

(
)ν(Q)dSQ
∂nQ rP Q

W (P ) =

(2.1)

S

được gọi là thế vị lớp kép tại P, gây nên bởi hàm mật độ ν(Q) xác định trên S.
Sau đây ta đưa ra một số tính chất của thế vị lớp kép.
2.2.2 Một số tính chất của thế vị lớp kép.
Định lí 2.1 (Định lý 5.6.1, [1]). Nếu hàm mật độ của thế vị lớp kép (2.1) là hàm
giới nội và khả tích trên S, thì W(P) là hàm điều hòa khi P ∈
/ S.
14


Định lí 2.2 (Định lý 5.6.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín và hàm mật độ
ν(Q) của thế vị lớp kép (2.1) là hàm giới nội và khả tích trên S. Khi đó thế vị lớp
kép có giá trị hoàn toàn xác định ngay cả khi P ∈ S và giá trị đó là hàm liên tục
đối với P trên S.
2.2.3. Tích phân Gauss
Định nghĩa 2.2. Giả sử S là mặt kín, −
n→
Q là pháp tuyến ngoài tại Q. Tích phân
Gauss là tích phân có dạng:

∂

S

Lyapunov kín trong R3 tích phân
nếu P nằm bên trong S
nếu P nằm trên S
nếu P nằm bên ngoài S

Định lí 2.4 (Định lý 5.8.1, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín trong R3 và ν(Q)
là hàm liên tục trên S. Khi đó thế vị lớp kép

1
∂
(
)ν(Q)dSQ
∂nQ rP Q

W (P ) =
S

thỏa mãn các hệ thức sau:

Wi (P0 ) = W (P0 ) + 2πν(P0 )

(2.3)

We (P0 ) = W (P0 ) − 2πν(P0 ).

(2.4)

15

2.2.3. Đạo hàm theo pháp tuyến của thế vị lớp đơn

−
Bổ đề 2.1. Giả sử S là mặt Lyapunov kín, P0 là một điểm cố định trên S, →
n0 là
vectơ pháp tuyến trong của mặt S tại P0 . Xét thế vị lớp đơn và ta nghiên cứu đạo
−
hàm tại P của V(P) theo hướng pháp tuyến →
n0 :
∂V (P )
∂n0
Nếu P ∈
/ S ta có thể tính

∂V (P )
∂n0

bằng cách lấy đạo hàm dưới dấu tích phân

∂( rP1Q )

∂V (P )
=
∂n0

∂n0
S

16


thường được ký hiệu là

∂V (P0 )
∂n0 ,

∂V (P )
∂n0

tại P = P0 ∈ S và

cụ thể là:

∂V (P0 )
=
∂n0
S

−−→ −
cos(P0 Q, →
n0 )
µ(Q)dSQ .
rP2 0 Q

Chú ý 2.1. Giá trị ∂V∂n(P00 ) là tích phân của (2.6) khi thay P bởi P0 . Nó không
−
phải là đạo hàm theo pháp tuyến →
n0 của V(P) tại P = P0 , tức là

∂V (P )
V (P ) − V (P0 )


Chú ý: Thế vị lớp đơn trong mặt phẳng (n=2) và trong không gian (n ≥ 3)
chiều lần lượt có dạng:
1
V (P ) = ln µ(Q)dSQ ,
r
Γ

17


1

V (P ) =

rn−2

µ(Q)dSQ .

S

Khi đó với giả thiết mật độ liên tục các công thức giới hạn (2.7) có dạng
Với n = 2

∂V (P0 ) ∂V (P0 )
=
− πµ(P0 )
∂n0i
∂n0
∂V (P0 ) ∂V (P0 )


Xét một mặt Lyapunov kín S bao quanh miền trong Ω của R3 . Gọi Ω = R3 Ω
là miền ngoài, f (P0 ) là hàm liên tục trên biên S. Ta đi xét hai bài toán sau:
1. Bài toán Neumann trong (Ni )
Tìm hàm u(P ) liên tục trong Ω ∪ S sao cho:

∆u = 0 trong Ω
∂u
|S = f (P0 ); P0 ∈ S
∂n

(2.10)
(2.11)

2. Bài toán Neumann ngoài (Ne )
Tìm hàm u(P ) liên tục trong Ω ∪ S sao cho:

∆u = 0 trong Ω
∂u
|S = f (P0 ); P0 ∈ S
∂n
A
|u|
khi OP → ∞
R
18

(2.12)
(2.13)
(2.14)

P →P0 ∂n0
∂n0i
lim

Dùng công thức thứ nhất của (2.7) (cho (2.15)) ta được phương trình:

2πµ(P0 ) −
S

∂
1
(
)µ(Q)dSQ = −f (P0 )
∂n0 rP0 Q

hay

µ(P0 ) −

K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = F (P0 )

(2.16)

S

trong đó

1 ∂
1
(

K(P0 , Q)ν(P )dSQ = Φ(P0 )
S

2.3.2 Bài toán Neumann ngoài (Ne )
Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng thế vị đơn (2.15) và dùng công thức thứ hai
của (2.7) thì (2.13) viết được:

µ(P0 ) +

K(Q, P0 )µ(P )dSQ = Φ(P0 )

(2.18)

S

với K(Q, P0 ) như ở (2.16) còn

1
f (P0 )
2π
Phương trình liên hợp của (2.18) là phương trình sau
Φ(P0 ) =

ν(P0 ) +

K(P0 , Q)ν(P )dSQ = F (P0 ).

(2.19)

S

µ(Q)
dSQ
rP Q

V (P ) =

(2.20)

S

có đạo hàm theo pháp tuyến ngoài:

∂V (P0 )
≡0
∂n0e
đối với mọi P0 ∈ S , thì

µ(Q) ≡ 0

Bổ đề 2.3 (Định lý 5.13.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín, µ(Q) là hàm liên
tục. Nếu đối với thế vị lớp đơn (2.39) ta có

Vi (P0 ) ≡ 0
đối với mọi P0 ∈ S , thì

µ(Q) ≡ 0
2.4.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann ngoài
Cặp phương trình ứng với bài toán Neumann ngoài và bài toán Dirichlet trong
được gọi là cặp phương trình liên hợp thứ nhất đó là:


(2.23)

S

= 2πµ(P0 ) +
S

1
∂
(
)µ(Q)dSQ = 0
∂n0 rP0 Q

Theo (2.7), thì (1.15) có thể viết

∂V (P0 )
=0
∂n0e
trong đó V(P) là thế vị lớp đơn. Theo Bổ đề 2.3 ta có

µ(Q) = 0.
Từ Định lý 1.4 ta suy ra định lý sau đây về tính giải được của bài toán Neumann
ngoài.
Định lí 2.10 (Định lý 5.13.4, [1]). Bài toán Dirichlet trong và Neumann ngoài
(Ne ) với bất kỳ vế phải liên tục f (P ) thỏa mãn điều kiện biên đều có nghiệm duy
nhất
2.4.3 Tính giải được của bài toán Neumann trong
Phương trình tích phân thuần nhất ứng với bài toán Neumann trong là:

µ(P0 ) −



Kết luận
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau đây:
- Các khái niệm góc khối, độ lớn của góc khối, mặt Lyapunov kín S trong không
gian ba chiều.
- Phương trình tích phân Fredholm loại II và tính giải được của chúng.
- Trình bày khái niệm thế vị lớp đơn được sinh bởi hàm mật độ trên mặt cong
kín Lyapunov và các tính chất của thế vị này.
- Đưa bài các toán Neumann trong và ngoài của hàm điều hòa đối với miền Ω ⊂ R3
về phương trình tích phân Fredholm trên biên S của Ω.
- Trên cơ sở khảo sát các phương trình tích phân Fredholm thuần nhất đã chứng
minh tính giải được và tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann trong và
ngoài đối với hàm điều hòa.

24