Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
 LÃ THỊ LỆ HÀ

HÀM GREEN ĐA PHỨC
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨCChuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt
nhƣ sau: Cho
n
D  
là miền giả lồi chặt,

là độ đo Borel trên
D
.
Hãy tìm lớp các hàm đa điều hòa dƣới
()DP
thích hợp trên đó toán tử
Monge-Ampère phức
()
cn
dd
đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục
tùy ý
h
trên
D
, bài toán sau có nghiệm duy nhất:

( )
(dd ) ( )
lim ( ) ( ),
cn
z

là liên tục tuyệt đối đối với độ đo
Lebesgue. Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và
L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã
cố gắng giải quyết bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ

.
S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài
toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp
( ) ( )
loc
D L D

PSH I
và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế.
Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc
giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P. Lelong (1989).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
Theo hƣớng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa
phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức". Ở đây
chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị
: ( )
n


liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc trên
D
.

tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán
tử Monge-Ampère.
Chƣơng 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả
nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc,
Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp
các hàm không bị chặn. Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức
và toán tử Monge-Ampère.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.
Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến
Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hƣớng dẫn
hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội
đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái
Nguyên, Trƣờng THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận
văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi

[ )
:,u    
là một hàm
nửa liên tục trên và không trùng với

trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a 
và
n
b  
, hàm
()u a bll+a
là điều hoà dưới hoặc trùng


trên mỗi thành phần của tập hợp
{ }
:abll   
. Trong trường
hợp này, ta viết
()u PSH
. (ở đây
()WPSH
là lớp hàm đa điều hoà
dưới trong

( ; , ) ( )
2
it
l u a b u a e b dt
p
p
=+


Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hòa
dƣới vì
( ; , ) ( ;0,1)l u a b L v=
.
Điều kiện đủ. Giả sử
a 
,
n
b  
và xét

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
{ }
:U a bll    

Khi đó
U
là tập mở trên

p



Từ
0
a b Ul
nếu có
0r >
sao cho khi
lr<
thì
0
a b bll   
.
Với
0 r r
ta có
{ }
0
:1a b rbl l l    
. Do đó từ giả thiết
( )
2
00
0
1
()
2
i

n
 
là một tập mở và
()u PSH
. Nếu
0e >
sao cho
( )
{ }
: : ,z d z
e
e       
, thì
()uC
ee
c

   PSH
 Hơn nữa,
u
e
c*
đơn điệu giảm khi
0e 
, và
0
lim ( ) ( )
e
e
c

{ }
max , ( )uv PSH
và nếu
ab,0
thì
ab  PSH()uv
. Nghĩa là
WPSH()
là nón lồi.
(ii) Nếu
{ }

PSH
1
()
j
j
u
là dãy giảm thì
= lim
j
uu
hoặc là hàm đa
điều hòa dưới trên
W
hoặc bằng

.
(iii) Nếu dãy
{ }

a 
,
n
b  
sao cho
{ }
: , 1abl l l    
thì
( )
p
q
q
p
**


2
0
1
()
2
i
u a u a e bd

Dễ thấy với mọi
z
,
n
b  
sao cho

za
và
( ) ( )
*

n
u z u a
. Từ
{ }
ll   ,1zb
nên với
n
đủ lớn
{ }
ll   ,1
n
zb
. Khi đó

( )
p
q
q
p
*


2
0
1


p
q
q
p
*


2
0
1
()
2
i
u a e bd
.
1.1.5. Mệnh đề
Giả sử
n
 
là tập mở,
w 
là tập con mở thực sự, khác rỗng
của
W
. Giả sử
()u PSH
,
w PSH()v
và

W
.
Chứng minh. Rõ ràng
w
là nửa liên tục trên trên
W
. Chỉ cần chứng tỏ
nếu
a 
,
n
b  
sao cho
{ }
ll   ,a b r
thì
( )
( )
p
q
q
p


2
0
1
2
i
w a w a re b d

qq
qq
pp
   

22
00
11
22
ii
v a v a re b d w a re b d

Từ đó
( )
( )
p
q
q
p


2
0
1
2
i
w a w a re b d
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


22
00
11
22
ii
w a u a u a re b d w a re b d
.
Mệnh đề đƣợc chứng minh.
Vì hàm đa điều hoà dƣới là điều hoà dƣới nên ta có
1.1.6. Mệnh đề
Nếu
, ( )uvPSH
và
uv=
(tương ứng
uv
) hầu khắp nơi trên
W
, thì
=uv
(tương ứng
uv
) trên
W
.
1.1.7. Hệ quả
Nếu
PSH()u
thì

là bị chặn thì
với mọi
zD
ta có

{ }
ww   
<( ) sup lim sup ( )
D D z
u z u z
.
Chứng minh. Giả sử

0
zD
sao cho
( ) ( )
{ }
0
max :u z u z z D
. Đặt
( )
( )
-
=
1
00
D u u z
. Khi đó
 

, với mọi
 
n
b
, chọn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
> 0r
sao cho
{ }
ll  :a b r D
. Khi đó

( )
( )
p
q
q
p
   

2
00
0
1
( ) ( )
2
i

là một miền và
FD
là tập đóng sao cho với mỗi
aF
tồn tại một lân cận mở, liên thông

a
UD
và hàm
 PSH()
aa
vU
,
  
a
v
và
( )
{ }
     :
a a a
F U z U v z
. Giả sử
 PSH( \ )u D F

là hàm bị chặn địa phương trên
D
. Khi đó hàm

\

 PSH()vD
và
< 0v
. Với
e > 0
, đặt

   
u

e
e


+

=






Khi đó
e
 PSH()uD
với mọi
e > 0
và
{ }

j
u



PSH
bị chặn đều địa phương trong
n
 
.
Giả sử
lim sup ( )
j
j
u z M



với mỗi
z 
và một hằng số
M
nào đó. Khi đó với mỗi
0e >
và mỗi
tập compact
K 
 tồn tại một số tự nhiên
0
j

u
xác định bởi
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )








=







yz
yF
u z z F
uz
u y z F

là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong

, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và
vu
trên
G
, đều có
vu
trong G.
Ký hiệu
()WM PSH
là họ tất cả các hàm đa điều hoà dƣới cực đại trên
W
.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tƣơng đƣơng của
tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề
Cho
n
 
là tập mở và
:u  
là hàm đa điều hoà dưới. Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
()i
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của

;
()iii
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối
của
W
, và
uv
trên
G
thì
uv
trong G ;
()iv
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x

với mỗi
Gx 
, thì
uv
trong G ;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
là tập con compact của
W
. Bởi vậy có thể tìm đƣợc tập mở
G
chứa
E
và
compact tƣơng đối trong
G
. Theo
()i
ta có
2
uv
h

trong
G
, điều đó
mâu thuẫn với
.aE

Phần còn lại đƣợc suy ra từ khẳng định: hàm
{ }
max ( ), ( ) ( )

Trƣớc hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho
W
là một miền bị
chặn trong
n

và
()fC 
. Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm
nửa liên tục trên
:u  
sao cho
()u
W
M PSH
và
uf


.
Cho
W
là miền bị chặn trong
n

và
()fC 
. Ta sẽ ký hiệu
( , )UfW
là họ của tất cả các hàm


hàm
,
()
f
zy
W
đƣợc gọi là hàm Perron – Bremermann đối với
W
và
f
;
hàm này đƣợc Bremermann (1959) nghiên cứu và nó là một hàm Perron
cổ điển đƣợc sử dụng trong lý thuyết thế vị (thực) (Hayman và Kennedy
1976).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
,
()
f
zy
W
nghiệm của bài toán
Dirichlet suy rộng khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.2.3. Định lý




là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập
B
và hàm
f
.
Hơn nữa,
y
là liên tục.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
0=a
. Giả sử
h
là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với
B
và
f
. Vì hàm đa điều hoà dƣới là điều hoà dƣới, nên suy ra
,Bf
hy 
trong
B
theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dƣới. Do
h
liên
tục trong
B
, nên ta có

,
()
Bf
fy
*

trên
B
. Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn:

0
,0
lim inf ( ) ( )
Bf
zz
zB
z f zy



với
0
zB
tùy ý .
Thật vậy, lấy
0
zB
và
0e >
. Chứng minh sẽ đƣợc hoàn thành nếu ta

0
\Bz
).
Từ đó với mỗi
0
zB
, ta có
0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy


=
, tức là
y
liên tục tại
mỗi điểm biên. Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thậ t vậy, nếu
G
là
một tập con mở compact tƣơng đối của
B
,
[ )
:,vG   
là nửa liên

thuộc
( , )U B f
suy ra
V y
. Đặc biệt,
v y
trong
G
. (điều phải
chứng minh)
Để chứng minh rằng
y
là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên
tục dƣới. Thật vậy, lấy
0e >
. Khi
B
là compact,
B
fy =
là liên tục
đều. Điều đó kết hợp với
0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy



z z B y B
y y e
y


     


=


  




Ta sẽ chứng minh rằng
( , )
y
B
H U B f
. Thật vậy vì
(0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd       

nên
( (0, ))
y
H PSH B r d
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dƣới.
Mặt khác,

( ) ( )
2
zz
e
yy-<
và
0
( ) ( )
2
z y z
e
yy+ - <
.
Nhƣ vậy
( ) ( )z z yy y e  


( ) ( )
y
H z zy=


()
y
H PSH B
và
y
Hf=
trên
B

u
là đa điều hoà dƣới trên miền
n
 
. Nếu
( )
2
uC
thì
toán tử:
( ) ( ) ( )
1,
: 4 !det
n
c c c n
jk
n
j k n
u
dd u dd u dd u n dV
zz




   





W
thì tồn tại dãy
 
 
1
n
n
uC


  PHS
sao cho
n
uu
và
 
 
n
c
n
dd u
hội tụ yếu tới độ đo Radon

trên
W
tức là:
( )
( )
0
lim ,

( )
y


,pp
C
là
( )
,pp
-dạng lớp

C
trên tập mở
n
 
và
T
là
( )
,qq
-dòng với
+ = - 1p q n
thì

( ) ( )
y y y y      
n
c c c c
dd T dd T d d T d T
.

d d T d T dd T dd T
.
Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu
T
là
( )
,qq
-dòng trên tập mở
n
 
và
( )
( )
y

- - - -

0, 1, 1n q n q
C
là
( )
- - - -1, 1n q n q
-dạng lớp

C
với hệ số trong
D W()
thì
( )
y y y y

là dòng dƣơng có bậc
( )
,qq
trên tập mở
n
 
và
( )

   ()
loc
uLPSH
. Khi đó












,
2
q
JK J K
JK




,
2
q
JK J K
JK
i
uT uT dz dz
là
( )
,qq
-
dòng với hệ số độ đo. Ta đƣa ra định nghĩa sau:

( )

cc
dd u T dd uT

Từ (*) ta có

( )
y y y y
W
     

, , ,
c c c c

là
( )
++1, 1qq
-
dòng dương, đóng với mọi
( )
   
1
()
loc
uLPSH
.
Chứng minh. Ta chứng minh

c
dd u T
là
( )
++1, 1qq
-dòng dƣơng, đóng.
Ta có
( ) ( ) ( )
      
c c c
d dd u T dd u T dd u T
. Ta chỉ cần chứng minh
( ) ( )
      0
cc
dd u T dd u T

        
2 3 2 3
, 1 , 1 ,
qq
c c c
dd u T dd u T uT dd( ) ( )
y
+
    
23
1 ,2 0
q
uT i
.
Bây giờ ta chứng minh

c
dd u T
là dƣơng. Giả sử
uM
. Khi đó với
0e >
đủ bé,
e
uM
,
ee

y y y y  
c c c c
dd u T u T dd uT dd dd uT

Nhƣng do
e
u
là hàm trơn trên
W
nên
( )
ee

cc
dd u T dd u T
theo nghĩa thông
thƣờng. Nhƣng
( )
()
e e e

   uCPSH
nên
e
c
dd u
là
( )
1,1
-dòng thực

   
p loc
u u u LPSH
và
T
là
( )
,qq
-dòng dƣơng, đóng,
p q n
. Đặc biệt nếu
=
c
T dd v
,
( )
()

   
loc
vLPSH
thì ta xác định
đƣợc
( )
1, 1++pp
-dòng dƣơng, đóng

1
  
c c c


20
Vậy
( )
n
c
dd u
là độ đo Borel chính quy trên
W
. Sau này do bất đẳng thức
Chern-Levine-Nirenberg,
( )
n
c
dd u
là độ đo Radon trên
W
vì với mọi tập
con compact K trong
W
ta có
( )
( )
  
n
c
dd u K
.
1.3.3. Mệnh đề
Giả sử

c) Nếu
E
compact tương đối trong
W
sao cho
( )
0m E
thì

( ) ( )
limmm

=
jj
EE
.
Chứng minh.
a) Ta có
( ) ( )
{ }
sup :mm=G K K G
. Giả sử
KG
là tập compact.
Lấy
( )
0
j  CG
,
01j

là một
lân cận mở của
K
và
( )
0
j  CV
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó

( ) ( ) ( ) ( )
lim lim supm m j m j m


  
jj
j
j
VKSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Từ đó

Từ đó

( ) ( )
lim supmm


j
j
EE
.
Vậy

( ) ( )
limmm

=
j
j
EE
.
1.3.4. Mệnh đề
Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
( )
, ( )

   
loc

lim 0
  
=
z
vz
thì

WW
  

cc
vdd u T udd v T
.
Chứng minh. Chú ý rằng

c
dd u T
và

c
dd v T
là các độ đo Borel dƣơng
trên
W
. Với
0e >
, đặt
{ }
max ,
e


và
( ) ( )
1
0
lim
ee
e
c

WW
     

cc
j
u u dd v T u u dd v T
.
Do
( )
lim 0
e
  
=
z
uz
nên
{ }
0
e
uu





      









cc
jj
u u dd v T vdd u u T( ) ( )
''
11
\
ee
cc
W W W
   








   

cc
jj
vdd u T vdd u T'
1
c
W





  










c














c
j
vdd u T
hội tụ yếu tới

c
vdd u T
. Vậy

( )
' ' '
1
lim
e
c


cc
vdd u T vdd u T
.
Cho
'
WWZ
ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
CHƢƠNG II
HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
Chƣơng này trình bày các kết quả về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa
điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc, Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi,
các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. Giải bài toán
Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère.
Trƣớc tiên chúng ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết sẽ sử dụng
ở đây: Giả sử
D
là một tập con mở của
n

và kí hiệu
( )
DPSH
là nón
các hàm đa điều hòa dƣới

M a r u a r d
=
=+


  
,
trong đó
( )
d

là độ đo diện tích đƣợc chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị
của
n

. Ta đã biết rằng hàm
( )
,
u
r M a ra
là tăng và lồi theo
log r
. Khi
đó giới hạn sau tồn tại:

( )
( )
0
,
; : lim

-

-
=



, (*)