ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG VĂN LUẬN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI
HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1


2.2

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

1


Mở đầu
Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là
cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong
những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm

giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia
giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy
dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vectơ pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ
−→
−
π
Q ∈ S thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:

(1.3)


−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính
vectơ
r
một
góc
tù
cos(
r,
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
ωP (S) = −

|σR |
R2

(1.4)

S

trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương tại
Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q.

−→
−
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp mặt S mà cos(→
r, nQ ) không đổi dấu,trong
−→
−
trường hợp ngược lại, ta chia S thành các mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r , nQ ) không
−→
đổi dấu. Khi đó P Q chỉ cắt S tại Q duy nhất.
−→
−
Giả sử cos(→
r ,n ) ≥ 0
Q

Xét mặt cầu R tâm P với bán kính R đủ nhỏ sao cho σR không cắt S. Xét
miền D giới hạn bởi mặt S, mặt σR và phần không gian nằm giữa S và σR . Kí
hiệu là S0
Ta chú ý rằng hàm 1r là hàm điều hòa trong D ∪ S ∪ σR ∪ S0 do đó theo tính
chất của hàm điều hòa ta có:


(1.7)

Trên mặt S, ta có

−
−
→
ν→
Q = −nQ
nên

∂ 1
( )dSQ = −
∂νQ r

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

(1.8)

S

Trên σR ta có:

σR



∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

ωP (S) = −

(1.10)

S

−→
−
Nếu cos(→
r, nQ ) ≤ 0 thì trên mặt S ta có:
−
−
→
ν→
Q = nQ
và

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r
S

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

Vậy ta vẫn có (1.10).

1.2

Mặt Lyapunov

Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n , n là hai vectơ pháp
→
−
−
tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vectơ pháp tuyến đó (ϕ = (→
n , n )),
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .


tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) sao cho có một tia đi qua Q0 ; n0 //→
của S cắt S (Q0 ) tại 2 điểm là Q và Q’. Giả sử các pháp tuyến của mặt S là các
→
−
pháp tuyến trong, gọi Q là điểm của mặt S tại đó n0 hướng ra phía ngoài, còn Q’
→
−
là điểm tại đó n0 hướng vào phía trong của S. Xét mặt phẳng tiếp xúc tại Q với
−
−
S. Khi đó, →
n và →
n0 nằm về 2 phía của mặt phẳng tiếp xúc do đó:

→
−
π
−
−
−
(→
n,→
n0 ) = (→
n , n0 ) > > 1
2
Điều này không thể sảy ra vì theo (1.13) và (1.14) ta phải có:

−
−
(→

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

−
Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r =
−
Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ,→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 )
→
−
−
a) Đại lượng cos(→
n, ζ )
Đặt:

→
−
−
−
−
ϕ = (→
n , ζ ) = (→
n,→


1
cos ϕ ≥ 1 − A2 r2α .
2
Mặt khác do (1.14) nên trong các mặt cầu Lyapunov đã chọn:
9

(1.18)


A2 r2ϕ ≤ A2 d2ϕ ≤ 1.
và từ (1.18) ta suy ra đánh giá sau:

→
−
1
−
cos(→
n, ζ ) ≥
2

(1.19)

→
−
−
−
−
b) Đại lượng cos(→
n , ξ ) và cos(→

n,→
η ) = sin ϕ cos β .

(1.21)

Tương tự

Chú ý 1.2.

sin ϕ < ϕ ≤ Arα
từ đó ta có các đánh giá sau:

→
−
−
| cos(→
n , ξ )| ≤ Arα
−
−
| cos(→
n,→
η )| ≤ Arα
c) Đại lượng f (ξ, η)
Ta có phương trình của mặt S (Q0 ) là:

ζ = f (ξ, η)
−
Do đó cosin chỉ phương của →
n biểu thị bởi công thức


−
cos(→
n , ζ) =

η

)2

(1.25)

+ (fη

)2

1

(1.26)

1 + (fξ )2 + (fη )2
Từ (1.19),(1.22 → 1.26), ta có

|fξ | =

→
−
−
1 + (fξ )2 + (fη )2 | cos(→
n, ξ)| ≤ 2Arα

và tương tự đối fη , như vậy

ρ

ρ

∂f
dρ ≤
∂ρ

|ζ| = |f (ξ, η)| =
0

∂f
dρ ≤ M ρ.
∂ρ
0

11

(1.30)


Gọi Q(ξ, η, ζ) là điểm nằm trên mặt S (Q0 ) và P (ξ, η) là hình chiếu của Q lên
mặt phẳng Q0 ξη và đặt
ρ = Q0 P .
Khi đó trong tam giác vuông Q0 P Q ta có

r2 = Q0 Q2 = ρ2 + ζ 2 .

Từ đó với chú ý (1.30) ta suy ra


C = const

(1.32)

0

Mặt khác ta có ρ ≤ r nên ta có đánh giá sau:

|ζ| ≤ Crα+1

(1.33)

−
−
d) Đại lượng cos(→
r ,→
n)
−
Chú ý rằng cosin chỉ phương của →
r là
ξ
,
r

η
,
r

ζ
r


→
−
−
n , ζ )| đều bé thua 1 nên từ (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta có
Vì | ξr |, | ηr |, | cos(→
đánh giá sau:
−
−
| cos(→
r ,→
n )| ≤ C1 rα .

(1.35)

Định lí 1.3 (Định lý 5.4.3, [1]). Nếu S là mặt Lyapunov giới nội thì tồn tại một
hằng số C sao cho:

∂
1
(
) dSQ ≤ C
∂nQ rP Q

(1.36)

S

đối với mọi P nằm trong không gian.
Ý nghĩa hình học của (1.36) đối với góc khối mà P nhìn mặt S trong (1.5) như

r ;→
n)
dSQ =
r2

∂
1
(
) dsQ =
∂nQ rQ0 Q

=
S (Q0 )

S

−
−
cos(→
r ,→
n)
dSQ +
r2
S\S (Q0 )

Nếu Q ∈ S\S (Q0 ) thì

Q0 Q = r ≥ d
13


với |S| là diện tích của mặt S.
Để tính tích phân đối với S (Q0 ) ta gọi G (Q0 ) là hình chiếu của S (Q0 ) lên
mặt Q0 ξη . Chú ý đánh giá (1.19) ta có
−
−
−
−
| cos(→
r ,→
n )|
| cos(→
r ,→
n )|
dS
=
Q
→
− dξdη ≤
−
r2
r2 cos(→
n, ζ )
S (Q0 )

G (Q0 )

−
−
| cos(→
r ,→

r ,→
n )|
dSQ ≤ C
r2

dξdη
≤
ρ2−α

G (Q0 )

S (Q0 )

(1.39)

C

dξdη
=C .
ρ2−α

ρ≤d

Chú ý rằng G (Q0 ) nằm trong hình tròn ρ ≤ d. Vậy với P ≡ Q0 ∈ S ta có

S

∂
1
|S|

1
r2

≤

4
d2

d
2

hoặc bé hơn

d
2

và do đó

−
−
4
| cos(→
r ,→
n|
dS
≤
|S|
Q
r2
d2

Do đó

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
4
dS
≤
Q
r2
d2
S\S (Q)

dSQ ≤

S\S (Q)

Xét tích phân:

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dSQ
2
r
S (Q)

η ) cos(→
n;→
η )+
→
−
→
−
−
−
+ cos(→
r , ζ ) cos(→
n, ζ )

Từ đó

→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
| cos(→
r ,→
n )| ≤ | cos(→
n , ξ )| + | cos(→
n,→


δ
r

(1.44)

với C và C1 là các hằng số.
Ta đánh giá r và r0 qua ρ trong đó:

ρ2 = ξ 2 + η 2 .

Ta có
2
2
2
2
r2 = ρ2 + (ζ +
− δ) = ρ + ζ + δ

Hơn nữa chú ý bất đẳng thức

√ 2
1
( √ δ+
− 2ζ) ≥ 0
2
ta suy ra

1
|2ζδ| ≤ δ 2 + 2ζ 2

và do (1.31) cho ta đánh giá của r qua ρ:
2

1
1
r2 ≥ (ρ2 + δ 2 ) ≥ ρ2
2
2

(1.47)

Và từ (1.31) ta có đánh giá của r0 qua ρ:

r0 ≤ Kρ.

(1.48)

Theo (1.44), (1.47),(1.48) ta đánh giá tích phân lấy đối với S (Q0 ). Gọi G (Q0 )
là hình chiếu của S (Q0 ) xuống mặt tiếp xúc Q0 ξη , chú ý G (Q0 ) nằm trong mặt
tròn ρ ≤ d. Ta có như ở (1.37)

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dSQ ≤ 2
r2
S (Q0 )


| cos(→
r ,→
n )|
dSQ ≤ const
r2
ρ≤d

S (Q0 )

r0α+1
dξdη
r3

r0α
dξdη + const
r2
ρ≤d

dξη
r3

+ δ const

(1.50)

ρ≤ρ

trong đó const không phụ thuộc vào δ
Do (1.47) và (1.48) khi đó ta có đánh giá vế phải của (1.50)
Đối với tích phân thứ nhất ta có:


ρ≤d

dξdη
= const .
ρ2−α

(1.52)

ρ≤d

Đối với tích phân thứ ba, kí hiệu E2 là toàn bộ mặt phẳng (ξ, η)
ta có:
3
dξdη
≤ 22 δ
3
r

δ
ρ≤d

ρ≤d

dξdη
3 ≤ const
(ρ2 + δ 2 ) 2

dξdη
2

δ
ρ≤d

18

(1.54)


Trong đó const ở các công thức (1.51); (1.52) và (1.53) không phụ thuộc vào δ
Do đó từ các bất đẳng thức (1.40),(1.41),(1.42),(1.50),(1.51),(1.52)và (1.53) ta
suy ra
1
∂
(
)|dSQ ≤ C
|
∂nQ rP Q
S

Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn.

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II

1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền giới nội trong không gian En ; f (P ) là hàm liên
tục cho trước; K(P, Q) là hàm thực liên tục khi P ∈ Ω; Q ∈ Ω hoặc liên tục khi
P = Q và khi P → Q có bất thường loại yếu:



ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0
Ω

19


trong đó nhân K(Q,P) có được từ K(P,Q) bằng cách trao đổi vị trí P và Q.
Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có các định lý sau, và được
gọi là định lý Fredholm.
1.3.2 Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II)
Định lí 1.4 (Định lý 5.11.1, [1]). Phương trình thuần nhất

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0

(1.56)

Ω

và phương trình thuần nhất liên hợp

ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0

(1.57)


20

(1.59)


Điều kiện này được gọi là điều kiện trực giao, trong đó {νk (P )} là hệ đầy đủ các
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất liên hợp (1.57).
Từ đó suy ra
Định lí 1.6 (Định lý 5.11.3, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.55)
giải được với bất kỳ vế phải f (P ) liên tục nào là phương trình thuần nhất (1.56)
chỉ có nghiệm tầm thường µ(P ) = 0. Khi đó phương trình (1.55) có nghiệm duy
nhất.

1.4

Phương trình Laplace

Giả sử Ω là một miền trong Rn .
Định nghĩa 1.3. Kí hiệu

n

∆u :=

uxi xi
i=1

và gọi biểu thức này là Laplacian của hàm u.
Khi đó phương trình

∂xi
2
r

(x = 0)

Vì thế

xi
uxi = υ (r) ;
r

uxi xi

x2i
x2i
= υ (r) 2 + υ (r)(1 − 3 );
r
r

Do đó

∆u = υ (r) +

i = 1, 2...n

n−1
υ(r).
r



b
rn−2

+ c (n ≥ 3)

ở đây b và c là các hằng số.
Định nghĩa 1.4. Hàm số

Φ(x) =

1
;
2π log |x|

n=2

(1.62)

và

Φ(x) =

1
1
;
n(n − 2)α(n) |x|n−2

n≥3


Nếu Ω là miền bên ngoài Ω cùng biên S thì ta có bài toán Neumann ngoài.
Đối với bài toán Neumann ngoài (1.64), (1.65), hàm u(P) được ràng buộc thêm
bởi điều kiện ở vô tận

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
= f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω
∂nQ S
C
,
r = OP → ∞.
|u(P )|
r

(1.66)
(1.67)
(1.68)

Bài toán Neumann thường được gọi là bài toán biên thứ hai của phương trình
Laplace.
1.5.2 Công thức Green
Giả sử Ω là miền giới nội trong R3 , giới hạn bởi mặt biên S trơn từng mảnh,
u(x), υ(x) là các hàm riêng cấp một liên tục trong Ω ∪ S và có đạo hàm riêng
cấp hai liên tục trong Ω, khi đó ta có công thức Green thứ nhất:
3

υ(x)(∆u(x))dx = −
Ω

Ω

υ(x)

∂υ(x)
∂u(x)
dSx .
− u(x)
∂nx
∂nx

∂Ω

(1.70)
1.5.3 Bài toán Neumann trong (1.64), (1.65)
Ta chứng minh nếu hàm f(Q) trong (1.65) cho tùy ý thì không phải bao giờ
(1.64), (1.65) có nghiệm, và để có nghiệm, hàm f(Q) phải thỏa mãn một điều kiện
xác định.
−
Thật vậy, tại mỗi điểm Q ∈ S dựng một pháp tuyến trong →
n và trên pháp
tuyến ấy, lấy một điểm Q’ sao cho

QQ = h
trong đó h là một số dương cố định. Khi điểm Q chạy trên mặt S thì điểm Q’
tạo nên một mặt mà ký hiệu Sh và thường được gọi là mặt song song của mặt S.
Theo kết quả của hình học vi phân thì khi h khá nhỏ, do mặt S là mặt trơn, mặt
−
−
Sh cũng là mặt trơn, →
n là pháp tuyến của mặt S thì →
n cũng là pháp tuyến của

S

24

(1.72)