Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội
Giải bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với ph-ơng
trình hyperbolic mạnh trong miền bất kỳ
(Bằng ph-ơng pháp xấp xỉ miền)
Luận văn thạc sỹ toán
Chuyên ngành:
Ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng
Mã ngành:
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng
Ng-ời thự hiện:
Vũ Trọng L-ỡng
Hà nội - 2005
Lời nói đầu
Một trong những khái niệm cơ bản của đạo hàm riêng hiện đại là nghiệm
suy rộng, tức là nghiệm nhận đ-ợc sau khi giảm nhẹ một số điều kiện của
bài toán và là nghiệm khá gần với khái niệm nghiệm thông th-ờng.
Khi đi nghiên cứu ph-ơng trình đạo hàm riêng hiện đại, chúng ta th-ờng
bắt đầu từ việc chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm suy rộng trong các
không gian Sobolev, sau đó nhờ các công cụ của giải tích hàm, ta làm cho
nghiệm suy rộng dần đến đ-ợc những đòi hỏi của nghiệm thông th-ờng.
Nghiệm suy rộng của ph-ơng trình Hyperbolic, nói chung, không đòi hỏi
có đạo hàm đến cấp của ph-ơng trình và đ-ơng nhiên ch-a phải là nghiệm
thông th-ờng (nghiệm cổ điển), thậm chí ch-a phải là nghiệm hầu khắp nơi.
Một vấn đề đ-ợc đặt ra là, khi nào nghiệm suy rộng trở thành nghiệm thông
th-ờng và có thể biểu diễn đ-ợc nghiệm suy rộng d-ới dạng một công thức
t-ờng minh hay không. Điều này làm đ-ợc nếu biên của miền đ-ợc xét là
trơn [
Fuxra
]. Tuy nhiên, nếu biên không trơn vẫn là một vẫn đề để ngỏ.

Một số kiến thức chuẩn bị 5
I.1.
Các không gian hàm cần thiết
.............. 5
I.2.
Khái niệm biên trơn - Định lý xấp xỉ miền
..... 8
I.3.
Thiết lập bài toán
...................... 10
II
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trụ
với đáy là miền bất kỳ 13
II.1.
Các bất đẳng thức tiên nghiệm đối với miền có biên
trơn
............................... 13
II.2.
Sự tồn tại nghiệm suy rộng
............... 31
II.3.
Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
.......... 36
III
Tính trơn của nghiệm theo biến thời gian 40
4
Ch-ơng I
Một số kiến thức chuẩn bị
I.1.
Các không gian hàm cần thiết

u(x) L
2
() có tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m thuộc
L
2
(). W
m
2
() là không gian Banach với chuẩn
u
W
m
2
()
=(

||m


|D

u|
2
dx)
1
2
và là không gian Hilbert với tích vô h-ớng đ-ợc sinh ra từ chẩn trên.
5
6
3. Ký hiệu C

)
=

Q
T
f(x)g(x)dx, f, g L
2
(Q
T
)
5. Không gian W
m,l
2
(Q
T
) là khônh gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm
u(x, t) L
2
(Q
T
) có tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m và
theo t đến cấp l thuộc L
2
(Q
T
). W
m,l
2
(Q
T

t
k
|
2
dxdt)
1
2
(Tr-ờng hợp l =0, số hạng thứ hai của vế phải coi nh- không có) và nó
cũng là không gian Hilbert với tích vô h-ớng đ-ợc sinh ra từ chẩn trên.
6. Không gian

W
m,l
2
(Q
T
) là khônh gian con của không gian W
m,l
2
(Q
T
),
bao gồm các hàm u(x, t) W
m,l
2
(Q
T
) bằng không gần biên S
T
=

m,l
2
(Q
T
) khi k .

W
m,l
2
(Q
T
) cũng là một không gian Hilbert.
Bổ đề I.1. Nếu dãy {u
k
}

k=1
hội tụ yếu tới u trong không gian Hilbert H, thì
u lim
k
u
k

hơn nữa vế phải của đẳng thức là hữu hạn.
7
Chứng minh
Xét dãy toán tử liên tục A
k
: H


k
}

k=1
bị chặn đều, có
nghĩa là tồn tại sup
k1
A
k
< . Mặt khác
A
k
(f) sup
k1
A
k
f, f H

,
suy ra
A(f) = lim
k
A
k
(f) lim
k
sup
k1
A
k

k
u
0


W
m,1
2
(Q
T
) và u
kt

u
1


W
m,1
2
(Q
T
) trong

W
m,1
2
(Q
T
), thì u

t
)
W
m,1
2
(Q
T
)
= lim
0
(u

,
t
)
W
m,1
2
(Q
T
)
= lim
0
(u
t
,)
W
m,1
2
(Q

do C

0
(Q
T
) trù mật hầu khắp nơi trong

W
m,1
2
(Q
T
) d-ới chuẩn của W
m,1
2
(Q
T
)
suy ra u
0t
= u
1


W
m,1
2
(Q
T
). Bổ đề đ-ợc chứng minh.

nếu tại mỗi điểm x
0
tồn tại
một lân cận U
x
0
của điểm x
0
trong R
n
sao cho U
x
0
nằm trên siêu mặt
x
n
= f(x
1
,x
2
, ..., x
n1
)
với f C
k
(G), G là miền biến thiên của đối số x
1
,x
2
, ..., x


= {x :dist(x, ) <}.Kí
hiệu

= S

và

là biên của

. Giả sử J(x) là hàm đặc tr-ng của


, tức là
J(x)=





1 nếu x

0 nếu x/

9
gọi J
h
(x) là hàm trung bình của J(x), tức là
J
h

2
. Thật vậy, x/

2

dist(x, ) <

2
. Khi đó y, |x y| h, dist(y, ) dist(x, ) +
|x y| dist(x, ) + h<

2
+

2
= . Suy ra y/

,J(y)=0, do đó
J
h
(x)=0.
2) J
h
(x) 0,J
h
(x) 1, thật vậy
J
h
(x)=
1

1
h
n

|xy|h
(
x y
h
)J(y)dy =
1
h
n

|xy|h
(
x y
h
)dy =1.
Cho h<

2
, kí hiệu

c
là tập các điểm x :J
h
(x) >c, với c là hằng
số nào đó cố định 0 <c<1, hiển nhiên

2

, 0 <c
0
< 1 sao cho
tập x ,J
h
(x)=c
0
không là điểm tới hạn của J
h
. Thật vậy, nếu đặt
K
1
= {x :J
h
(x)=c, c (0, 1)} là tập con của tập các điểm tới
hạn của J
h
, J
h
(K
1
)=(0, 1) J
h
(K) vậy à(J
h
(K
1
)) = 1 à(J
h
(K)) = 0

)=c
0
, do việc chọn c
0
suy ra
F(x)
x
i
= gradJ
h
(x
0
) =0. Khi đó theo định lý hàm ẩn thì tồn tại một
lân cận W mở của (x
0
1
, ..., x
0
i1
,x
0
i+1
, ..., x
n
) trong R
n1
, lân cận mở V của
x
0
trong R và hàm z : W V khả vi vô hạn, sao cho x =(x

). Do đó

c
0
trơn và lim
0


c
0
=.
I.3.
Thiết lập bài toán
Ta chuyển sang nghiên cứu ph-ơng trình hyperbolic tuyến tính cấp bất kỳ.
Xét trong trụ Q
T
=ì (0,T), là miền bị chặn trong R
n
, T = const > 0.
Ký hiệu
L(x, t.D)=
m

||,||=1
D

a

(x, t)D


(1)
m1
L(x, t, D)u

2
u
t
2
= f(x, t). (2)
11
Ph-ơng trình (2) đ-ợc gọi là hyperbolic mạnh trong miền Q
T
nếu

||=||=m
a

(x, t)




0
||
2m
,
0
= const, (3)
với R
n

(Q
T
) của bài
toán (2), (4), (5) là hàm u(x, t)

W
m,1
2
(Q
T
),u(x, 0) = 0 và thỏa mãn đồng
nhất thức tích phân sau:
(1)
m1

Q
T

m

||,||=1
(1)
||
a

D

uD

+

),(x, T)=0. (6)
Giả sử là một miền bất kì và

với

= {x : dist(x, )
},

trơn, Q

T
=

ì (0,T). Khi đó ta công nhận kết quả sau đây:
12
Định lý I.2. Nếu f C

(Q
T
) và

k
f
t
k


t=0
=0, k =0, 1, ããã ,s 1, thì bài
toán biên ban đầu thứ nhất đối với ph-ơng trình Hyperbolic mạnh (2),(4),(5)


trơn, Q

T
=

ì (0,T).
Định lý II.1. Giả sử các hệ số a

của (1) thỏa mãn điều kiện (3) và liên
tục theo t trong
Q
T
. Khi đó tồn tại các hằng số
1
> 0 và
2
, sao cho
(1)
m
m

||,||=1
(1)
||



a



T
),
1
và
2
không phụ thuộc t và .
13
14
Chứng minh. Với u

W
m,1
2
(Q

T
), đặt
u(x, t)=





u(x, t) x

0 x

gọi
u



a

D

u
h
D

u
h
dx
1

||m


|D

u
h
|
2
dx (7)

2


|u


uD

udx
1

||m


|D

u|
2
dx

2


|u|
2
dx.
với
1
> 0 và
2
không phụ thuộc t. Hay bất đẳng thức trên viết đ-ợc viết
lại nh- sau:
(1)
m
m

|u|
2
dx.
với
1
> 0 và
2
không phụ thuộc t và .
15
Bổ đề II.1. Nếu f C

(Q
T
),

k
f
t
k


t=0
=0, k 0, các hệ số của toán tử
(1) thoả mãn điều kiện (3) và
|
a

t
|; |a


2
(Q

T
)
(8)
ở đó hằng số C không phụ thuộc .
Chứng minh. Theo định lý I.2 thì u là nghiệm hầu khắp nơi của bài toán
(2),(4),(5) trong Q

T
tức là u thoả mãn ph-ơng trình
(1)
m
L(x, t, D)u +

2
u
t
2
= f(x, t) (9)
và các điều kiện ban đầu
u(x, 0) =
u
t
(x, 0) = 0
và điều kiện biên

j
u

||,||=1
D

a

D

u +
m

||=1
b

D

u + cu

u
t
dxdt +

Q


u
tt
.u
t
dxdt
=

∂t
|u
t
|
2
dxdt =
1
2

Ω
ε
τ
|u
t
|
2
dx; (11)
+)
m

|α|,|β|=1

Q
ε
τ
D
α
a
αβ
D

Q
ε
τ
(−1)
|α|
∂
∂t
(a
αβ
D
β
u.D
α
u)dxdt
−
1
2
m

|α|,|β|=1

Q
ε
τ
(−1)
|α|
a
αβt
D
β

ε
τ
(−1)
|α|
a
αβt
D
β
u.D
α
udxdt (12)
Nh- vËy tõ (11) vµ (12) ta cã thÓ viÕt l¹i (10) nh- sau:
1
2

m

|α|,|β|=1

Ω
ε
τ
(−1)
m+|α|
a
αβ
D
β
u.D
α

udxdt
+(−1)
m+1
m

|α|=1

Q
ε
τ
b
α
D
α
u.u
t
dxdt +(−1)
m+1

Q
ε
τ
cu.u
t
dxdt
+

Q
ε
τ

||=0
|D

u|
2
dx
2




|u|
2
dx
(14)
trong đó
1
,
2
> 0 không phụ thuộc . (
2
0 thì có thể bỏ qua số hạng
này).
Từ (13) và (14) ta có
1
2
[
1



m

||,||=1

Q


(1)
||+m
a
t
D

u.D

udxdt
+(1)
m+1
m

||=1

Q


b

D

u.u

m

||,||=1

Q


(1)
||+m
a
t
D

u.D

udxdt|
Mm
2

Q


m

||=1
|D

u|
2
dxdt

2
dxdt +
Mm
2

Q


|u
t
|
2
dxdt (17)
18
+)
|(1)
m+1

Q


cu.u
t
dxdt|
M
2


Q



|f|
2
dxdt +

Q


|u
t
|
2
dxdt

(19)
+) Mặt khác u(x, )=


0
u
t
(x, t)dt suy ra |u(x, )|
2
=(


0
u
t
(x, t)dt)

2
dxdt (20)
Nh- vậy từ các bất đẳng thức (16) đến (20) và (15) ta nhận đ-ợc

1




m

||=0
|D

u|
2
dx +




|u
t
|
2
dx

2
T



|f|
2
dxdt
Đặt M
1
= max{
2
T ; M(m + 2); 1} và m
0
= min{
1
, 1} > 0, ta có





m

||=0
|D

u|
2
+ |u
t
|
2


)

(21)
19
Đặt Z()=





m

||=0
|D

u|
2
+ |u
t
|
2

dx. Khi đó từ (21) ta có
Z()
M
1
m
0




, (0,T)
Tích phân đẳng thức này theo từ 0 đến T ta nhận đ-ợc
u
2
W
m,
1
2
(Q

T
)
Cf
2
L
2
(Q

T
)
,C=(e
M
1
m
0
T
1)
là hằng số không phụ thuộc vào , u và cả f.
Trong bổ đề tiếp theo ta sẽ thiết lập đánh giá dạng (8) của nghiệm suy

W
m,1
2
(Q

T
) của bài toán (2),(4),(5) trong Q

T
thoả
mãn đánh giá
u
2
W
m,1
2
(Q

T
)
Cf
2
L
2
(Q

T
)
(22)
ở đó hằng số C không phụ thuộc , u, f.