ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THẾ PHƯƠNG
MỘT VÀI TIÊU CHUẨN MỚI
CHO TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CHUYÊN NGÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU
Mã số: 60 46 20
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Tp. Hồ Chí Minh - 2012
Lời cảm ơn
Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gởi tới TS. Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy đã
hướng dẫn nhiệt tình, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Lý Thuyết Tối Ưu Khoa Toán –
Tin học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy, truyền thụ kiến thức và
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Lý Thuyết Tối Ưu khóa 20 đã có những
đóng góp, trao đổi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn ở bên
cạnh động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô và bạn đọc để bổ sung và hoàn thiện đề
tài tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thế Phương
2

{z = a + bi ∈ C|Rez = a > 0};
R
n
tập hợp tất cả các vectơ cột n chiều có các thành phần là số
thực;
R
n
+
tập hợp tất cả các vectơ cột n chiều có các thành phần là số
thực không âm;
x, y ∈ R
n
, x ≥ y x −y ∈ R
n
+
với n ∈ N;
x, y ∈ R
n
, x > y x − y ∈ R
n
+
\{0} với n ∈ N;
x ∈ R
n
, x
T
vectơ hàng n chiều có các thành phần là số thực;
x ∈ R
n
, x  0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực dương;

chính bằng 0 và các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng
1;
A ≥ B A, B ∈ R
m×n
và A − B ∈ R
m×n
+
với m, n ∈ N;
σ (A) phổ của ma trận A (tập hợp tất cả các giá trị riêng của A)
σ (A) = {z ∈ C|det (zI
n
− A) = 0};
3
µ (A) hoành độ phổ của ma trận A, µ (A) =
max {Reλ : λ ∈ σ (A)};
ρ (A) bán kính phổ của ma trận A, ρ (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)};
x = (x
i
) ∈ R
n
, |x| (|x
i
|) ∈ R
n
+
, i ∈ n;
P = (p
ij
) ∈ R
l×q

;
C(R, R
n×n
) không gian vectơ các hàm liên tục trên R, nhận giá trị
trong R
n×n
.
4
Lời nói đầu
Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100 năm và bắt
đầu với những công trình của nhà Toán học nổi tiếng người Nga Aleksandr Lyapunov
(1857-1918):
- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884,
Russian);
- General problem of the stability of motion (1892, in Russian).
Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong các ngành kĩ thuật, các
bài toán ổn định và ổn định vững của các hệ động lực luôn là những vấn đề trung tâm
trong lí thuyết điều khiển của các hệ động lực và được các nhà Kĩ thuật, Toán học, Cơ
học, quan tâm nghiên cứu, xem [1]-[4], [9]-[21], [38]-[39], [41], [43]-[44].
Nói riêng, lí thuyết ổn định tổng quát của các hệ tuyến tính đã phát triển một cách
gần như hoàn chỉnh. Khác với các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính dừng (khá đơn giản), các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính phụ thuộc thời gian khá phức tạp. Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn
định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
không có nhiều và thường được cho bởi các điều kiện dưới dạng bất đẳng thức ma trận
tuyến tính (Linear matrix inequalities) phức tạp và khó sử dụng, xem [1]-[2], [20]-[21],
[26]-[27], [38]-[39]. Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơn
giản cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời
gian và tìm các biên ổn định cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu
nhiễu phụ thuộc thời gian.

Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn
Cho E là một không gian vectơ trên K, cho . là một ánh xạ từ E vào R, ta nói
. là chuẩn trên E, nếu nó có các tính chất sau
(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ E, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
(ii) tx = |t|x với mọi x ∈ E và t ∈ K.
(iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ E.
Nếu . là một chuẩn trên E, ta nói (E, .) là một không gian vectơ định chuẩn.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết tắt (E, .) là E.
Không gian R
2
hay R
3
với chuẩn là độ dài vectơ, không gian các hàm số khả tích
trên [0, 1] với chuẩn f =

1

0
|f (t)|
2
dt

1
2
là các không gian định chuẩn. Ngoài ra, ta
còn có thể kể đến p - chuẩn trên R
n
với chuẩn
x
p

n
được gọi là đơn điệu nếu x ≤ y với mọi x, y ∈ K
n
, |x| ≤
|y|.
Định nghĩa 1.1.3 Chuẩn toán tử của các ma trận
Cho ma trận A ∈ K
l×q
, giả sử trên K
l
, K
q
lần lượt được trang bị hai chuẩn đơn điệu
.
l
, .
q
thì chuẩn của ma trận A được định nghĩa là
A = max

Ay
l
: y
q
= 1

.
Chuẩn toán tử của một ma trận gọi tắt là chuẩn của ma trận có một tính chất quan
trọng sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh ở chương 2. Tính chất đó
được phát biểu như sau:

i
) −F (a
i
)| < ε.
Định lý 1.1.6 [40]Nếu F (x) là một hàm số liên tục tuyệt đối thì F (x) có đạo hàm hầu
khắp nơi. Đồng thời, đạo hàm F

(x) của nó khả tích và ta có F (x) = F (a) +
x

a
F

(t).
1.2 Ma trận Metzler
Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận thực cấp n × n được gọi là ma trận Metzler nếu
các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm. Điều đó có nghĩa là ma
trận A := (a
ij
) ∈ R
n×n
, i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu a
ij
≥ 0 với mọi
i, j ∈ n, i = j.
Từ định nghĩa hàm mũ của một số thực, chúng ta phát biểu một định nghĩa tương tự
cho ma trận mũ.
9
Định nghĩa 1.2.2 Cho A là một ma trận thực cấp n × n, khi đó
e

n×n
, i, j ∈ n là ma trận Metzler thì
(i) Tồn tại s ∈ R và p > 0 sao cho e
A
= pe
A−sI
n
;
(ii) Tồn tại p > 0 sao cho e
A
≥ pI
n
;
(iii) e
A
x  0 nếu x  0 và e
A
x ≥ 0 nếu x ≥ 0;
Chứng minh.
(i) Gọi s là số thực thỏa s ≤ min
1≤i≤n
{a
ii
, 0} thì A − sI
n
≥ 0. Rõ ràng, theo định nghĩa
1.2.3, sI
n
giao hoán với bất kì ma trận nào có thể nhân được với nó nên sI
n

A
= pe
A−sI
n
.
(ii) Với s ≤ min
1≤i≤n
{a
ii
, 0} thì A − sI
n
≥ 0. Từ 1.2.4 (ii), thay thế A bởi A − sI
n
, ta
có e
A−sI
n
≥ I
n
. Điều này kéo theo e
A
≥ e
s
I
n
. Chọn p sao cho 0 < p ≤ e
s
, chúng ta có
ngay điều phải chứng minh.
(iii) Dễ dàng kiểm tra (iii) đúng khi nhân x vào bên phải hai vế bất đẳng thức e

+
t

0
e
Au
bdu, t ≥ 0.
Giả sử A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler, b ≥ 0 và x (0)  0. Theo định nghĩa 1.2.1,
At là ma trận Metzler với mọi t ≥ 0. Vì vậy, từ Định lý 1.2.5 (iii), ta có định lý sau
Định lý 1.2.6 Nếu A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler, b ≥ 0 và nghiệm của hệ phương
trình vi phân tuyến tính (1) thỏa điều kiện đầu x(0) = x
0
 0 thì x (t)  0 với mọi
t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.7 Ma trận A ∈ R
n×n
được gọi là ổn định Hurwitz nếu nghiệm x (t)
của hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙x (t) = Ax (t) thỏa mãn x (t) → 0 khi t → ∞.
Từ Định lý 1.2.6 và định nghĩa 1.2.7, chúng ta đưa ra hai định lý về ma trận Metzler
ổn định. Một định lý trình bày tính chất của ma trận Metzler ổn định và một định lý
trình bày điều kiện đủ đơn giản để ma trận Metzler A là ổn định.
Định lý 1.2.8 [5]Nếu A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler ổn định và Ay ≤ 0 với y ∈ R
n
thì

T
x (t) ,
với điều kiện đầu x(0)  0. Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.6, x(t)  0
với mọi t ≥ 0. Đặt
(5) ξ (t) = y
T
x (t) .
Từ (3), (4) và (5), ta suy ra
(6)
˙
ξ(t) = y
T
˙x(t) = y
T
A
T
x(t) = (Ay)
T
x(t) ≤ my
T
x(t) = mξ(t)
với mọi t ≥ 0.
Đặt
f (t) := ξ (t) e
−mt
, t ≥ 0,
ta có
(7)
df
dt

tổng hợp những tính chất cơ bản và quan trọng nhất của ma trận Metzler. Những tính
chất được được xem là nền tảng và sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứng
minh của luận văn này.
Định lý 1.2.11 Cho A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler thì
(i) [5] µ(A) là một giá trị riêng của A và tồn tại vectơ x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax = µ(A)x
(Định lý Perron - Frobenius).
(ii) Với mỗi số thực α, tồn tại vectơ x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax ≥ αx khi và chỉ khi
µ (A) ≥ α.
(iii) (tI
n
− A)
−1
tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ (A).
(iv) Cho t
1
, t
2
∈ R thỏa t
1
≥ t
2
> µ (A) thì (t

c  0 và với mỗi s > µ (A), ta định nghĩa y (s) thỏa
(8) (A −sI
n
) y (s) = c
Theo 1.2.9, ta có y (s) ∈ R
n
+
\{0} với mọi s > µ (A). Gọi e ∈ R
n
là vectơ có tất cả các
thành phần đều bằng 1 thì e
T
y (s) > 0 với y (s) ∈ R
n
+
\{0}. Đặt
(9) η (s) := [e
T
y (s)]
−1
, x (s) := η (s) y (s) .
Từ (8) và (9), ta có
(10) (A −sI
n
) x (s) = η (s) c, s > µ (A) .
Lúc đó, tồn tại dãy {s
n
} sao cho lim
n→∞
s

\{0}. Do đó, ma trận A −µ (A) I
n
ổn định theo Định lý 1.2.10. Mâu thuẫn xảy
ra vì
0 > µ [A −µ (A) I
n
] = µ (A) −µ (A) = 0.
Vậy η = 0 nên từ (11), ta có [A − µ (A) I
n
] x = 0. Điều này kéo theo Ax = µ (A) x.
(ii) Cho α ∈ R và µ (A) ≥ α thì với mọi vectơ x ∈ R
+
n
\{0}, ta có
(12) µ (A) x ≥ αx.
Theo Định lý 1.2.11 (i), µ (A) là một giá trị riêng của A và tồn tại x ∈ R
+
n
\{0} sao cho
(13) Ax = µ (A) x.
Từ (12) và (13), ta có Ax ≥ αx với x ∈ R
+
n
\{0} là vectơ riêng tương ứng với giá trị
riêng µ (A) của ma trận A.
Ngược lại, với mỗi số thực α, tồn tại vectơ x ∈ R
+
n
\{0} sao cho Ax ≥ αx. Giả sử
phản chứng rằng µ (A) < α thì với mọi vectơ x ∈ R

< 0. Vì vậy,
(16) (A −αI
n
) (x

− x) < 0.
Trong khi đó, µ(A − αI
n
) = µ(A) − µαI
n
= µ(A) − α < 0 nên ma trận A − αI
n
ổn
định. Vì vậy, từ (16) và 1.2.9 (i), ta có (x

− x) > 0 kéo theo x

> x. Mâu thuẫn xảy ra
vì αx ≤ Ax < Ax

< αx

với x

> x > 0.
(iii) Khi t > µ (A), t không phải là giá trị riêng của ma trận A. Vì vậy, Ax = tx với
mọi x ∈ R
n
\{0}. Điều này đồng nghĩa với
(tI

y := (b
j
) ∈ R
n
, j ∈ n
là vectơ có thành phần thứ j
0
bằng −1 và tất cả các thành phần khác đều bằng 0. Rõ
ràng, y < 0 và
µ(A −tI
n
) = µ(A) −t < 0
nên theo 1.2.9 (i), tồn tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho (A − tI
n
)x = y. Điều này kéo theo
x = (A −tI
n
)
−1
y. Mâu thuẫn xảy ra vì 0 > −a
i
0
j
0
b
j
0

tồn tại và không âm nên từ (17), ta có
x = (tI
n
− A)
−1
(tI
n
− A) x ≤ 0.
Mâu thuẫn xảy ra vì x ∈ R
+
n
\{0}.
(iv) Vì t
1
≥ t
2
nên t
1
− t
2
≥ 0. Điều này kéo theo
(18) (t
1
I
n
− A) −(t
2
I
n
− A) ≥ 0.

− A)
−1
(t
2
I
n
− A) ≥ 0.
Nhân (t
2
I
n
− A)
−1
vào bên phải hai vế (19), ta được
(20) (t
2
I
n
− A)
−1
− (t
1
I
n
− A)
−1
≥ 0.
Vậy (t
2
I

và
c (A) := − min
1≤i≤n
{a
ii
; 0} = min {t ≥ 0 : tI
n
+ A ≥ 0}.
Gọi λ là giá trị riêng của ma trận A+C thì tồn tại x ∈ R
n
\{0} sao cho (A + C) x = λx.
Lúc đó, với mọi t > c (A
d
), ta có
(Reλ + t) |x| ≤ |(λ + t) x|
= |(tI
n
+ A + C) x|
= |(tI
n
+ A
d
+ A − A
d
+ C) x|
≤ (tI
n
+ A
d
) |x| + (A − A

0
.
Nghiệm này được cho bởi công thức
(23) x (t, x
0
) = e
At
x
0
, t ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.1 Hệ (21) được gọi là hệ dương nếu với mỗi x
0
∈ R
n
+
, nghiệm duy
nhất x(t
0
, x
0
), t ≥ 0 của bài toán giá trị đầu (21)-(22) thỏa mãn điều kiện: x(t
0
, x
0
) ≥
0, ∀t ≥ 0. Điều này có nghĩa là hệ (21) là hệ dương nếu
∀x
0
∈ R
n

= e
(A−sI
n
)t
e
st
≥ 0,
với mọi t ≥ 0. Từ (23) và (24), ta có nghiệm x (t, x
0
) của hệ (21) thỏa x (t, x
0
) =
e
At
x
0
≥ 0 với mọi t ≥ 0 và x (0) = x
0
≥ 0. Vậy (21) là hệ dương.
Giả sử (21) là hệ dương. Điều đó có nghĩa là với bất kỳ điều kiện đầu x
0
≥ 0 thì
nghiệm x (t, x
0
) của hệ thỏa x (t, x
0
) = e
At
x
0

det (λI
n
− A) = 0, ∀λ ∈ C
+
.
Định lý 1.3.5 Giả sử rằng hệ (21) là dương. Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương
đương.
(i) Hệ (21) ổn định tiệm cận mũ;
(ii) µ (A) < 0;
(iii) Tồn tại p ∈ R
n
, p  0 sao cho Ap  0;
(iv) Tồn tại p, r ∈ R
n
, p  0, r  0 sao cho Ap + r = 0;
(v) A
−1
≤ 0;
(vi) Với bất kì x ∈ R
n
+
\{0}, vectơ hàng x
T
A có ít nhất một thành phần âm;
17
(vii) Tồn tại ma trận đường chéo dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A

n
− A) = 0. Theo Định lý 1.3.4, hệ (21) không ổn định tiệm cận mũ. Điều này
mâu thuẫn với giả thiết của chứng minh.
Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng hệ (21) không ổn định tiệm cận mũ
tức là tồn tại λ
0
∈ C
+
sao cho det (λ
0
I
n
− A) = 0 . Theo định nghĩa của µ(A), ta có
Reλ
0
≤ µ(A). Mâu thuẫn xảy ra vì 0 ≤ Reλ
0
≤ µ (A) < 0.
Các tiểu chuẩn từ (ii) đến (v) là tương đương theo Định lý 1.2.11.
(i) ⇔ (vi)
Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho vectơ hàng
x
T
A ≥ 0. Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.3.5 (iv), tồn tại p, r ∈ R
n
, p 
0, r  0 sao cho Ap = r. Điều này kéo theo x

Điều này kéo theo p
T
A ≥ 0 nên mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng.
(i) ⇔ (vii)
Giả sử tồn tại ma trận đường chéo dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A
T
P xác định
âm và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0. Ma trận P
T
A + A
T
P xác định âm nên với
mọi x ∈ R
n
\{0}, ta có x
T

P
T
A + A
T
P

x < 0. Hơn nữa, do A là ma trận Metzler nên
theo Định lý 1.2.11(i), tồn tại x ∈ R
n

Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng với mọi ma trận đường chéo dương
P ∈ R
n×n
thì P
T
A + A
T
P không xác định âm, tức là tồn tại vectơ x ∈ R
n
\{0} sao
cho x
T

P
T
A + A
T
P

x ≥ 0. Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), tồn
tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax = µ (A) x. Do đó,
x
T

P
T
A + A

T
A + A
T
P = Q, có nghĩa là P
T
A + A
T
P −Q = 0. Điều này kéo
theo
x
T

P
T
A + A
T
P −Q

x = x
T
P
T
Ax + x
T
A
T
P x −x
T
Qx = 0
với mọi vectơ x ∈ R

Qx = 2µ (A) x
T
1
2µ (A)
Qx −x
T
Qx = 0
.
Ngược lại, cho Q ∈ R
n×n
là ma trận xác định âm, giả sử tồn tại ma trận xác định
dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A
T
P = Q và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0. Từ
giả thiết P
T
A + A
T
P = Q, ta có P
T
A + A
T
P −Q = 0. Do đó, với ∀x ∈ R
n
, ta có
x

P x −x
T
Qx = 2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx = 0.
19
Trong khi đó, µ (A) ≥ 0 và P là ma trận xác định dương tức là x
T
P x > 0 với mọi
x ∈ R
n
\{0}, Q là ma trận xác định âm tức là x
T
Qx < 0 với mọi x ∈ R
n
\{0} nên ta có
2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx > 0.
Mâu thuẫn xảy ra vì
0 = 2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx > 0.
Ví dụ 1.3.6 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng

−2

 0.
Vì vậy, theo Định lý 1.2.11, hệ (25) ổn định tiệm cận mũ.
Điều kiện A là ma trận Metzler là không thể thiếu khi vận dụng các tiêu chuẩn khá
đơn giản trong Định lý 1.2.11 để kiểm tra tính ổn định tiệm cận mũ của hệ phương
trình vi phân tuyến tính dừng. Thật vậy, ta xét ví dụ sau đây để minh chứng cho nhận
định trên.
Ví dụ 1.3.7 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng
(26) ˙x (t) = Ax (t) , t ≥ 0,
với
A =

−1 −1
−6 −2

, x(t) ∈ R
2
, t ≥ 0.
20
Đặt p :=

1
3

 0, ta có
Ap =

−1 −1
−6 −2

R
+
, R
n×n

, i, j ∈ n, x(·) ∈ C(R
+
, R
n
).
Với t
0
∈ R
+
và x
0
∈ R
n
cho trước, hệ (27) có duy nhất nghiệm thỏa điều kiện ban đầu
(28) x (t
0
) = x
0
.
Nghiệm này được kí hiệu là x (t, t
0
, x
0
) , t ≥ t
0

≥ 0.
22
Khác với các hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng (21), ổn định tiệm cận mũ của
các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian (27) không được quyết định
bởi phổ của các ma trận A (t) , t ≥ t
0
≥ 0. Ngay cả điều kiện µ (A (t)) < 0, t ≥ t
0
≥ 0
cũng không phải là điều kiện đủ để hệ (27) ổn định tiệm cận mũ. Thật vậy, chúng ta
xét ví dụ sau để chứng minh cho nhận xét trên.
Ví dụ 2.1.2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
(29) ˙x(t) = A (t) x (t) , t ≥ 0,
trong đó
A (t) =

−α e
αt
0 −α

∈ R
2×2
, α > 0, x(t) ∈ R
2
, t ≥ 0.
Hệ (29) có nghiệm
x
1
(t, 0) =
x

2
(0) = 0. Vì vậy, mặc dù ma trận
A (t) có các giá trị riêng là λ
1
= λ
2
= −α < 0, tức là µ(A (t)) = −α < 0 nhưng hệ
(29) vẫn không ổn định tiệm cận mũ.
Thông qua ví dụ trên, ta nhận thấy điều kiện µ (A (t)) < 0, t ≥ t
0
≥ 0 là không
đủ để kết luận hệ (27) ổn định tiệm cận mũ. Định lý sau đây là một trong những kết
quả chính của luận văn này. Định lý cung cấp một điều kiện đủ đơn giản để hệ (27)
ổn định tiệm cận mũ.
Định lý 2.1.3 Giả sử A(t) := (a
ij
(t)) ∈ R
n×n
, t ≥ t
0
≥ 0. Nếu tồn tại một ma trận
Metzler A := (a
ij
) ∈ R
n×n
sao cho
(H
1
) |a
ij

0
, x
0
) ≤ Ke
−β(t−t
0
)
với mọi t ≥ t
0
. Trong đó,
K, β độc lập với t và t
0
.
Từ (H
2
), ta có µ (A) < 0. Do đó, theo Định lý 1.2.11, tồn tại
p ∈ R
n
, p := (α
1
, α
2
, , α
n
)
T
 0
sao cho Ap  0. Do tính chất liên tục, tồn tại β > 0 đủ bé sao cho
(30) Ap  −βp.
Chọn K > 0 sao cho |x

> t
0
sao cho |x (t
1
)|  u (t
1
) .
Đặt
t
∗
:= inf {t > t
0
: |x (t)|  u (t)}.
Do |x (t
0
)|  u (t
0
) nên t
∗
> t
0
và tồn tại i
0
∈ n sao cho
(31) |x (t)| ≤ u (t) , ∀t ∈ [t
0
, t
∗
) ; |x
i

i
(t)) ˙x
i
(t)
≤ a
ii
(t)|x
i
(t)| +
n

j=1,j=i
|a
ij
(t)||x
j
(t)|
(H
1
)
≤ a
ii
|x
i
(t)| +
n

j=1,j=i
a
ij

t+h

t
d
ds
|x
i
(s)|ds
≤ a
ii
|x
i
(t)| +
n

j=1,j=i
a
ij
|x
j
(t)|.
Đặc biệt, chúng ta có
D
+
|x
i
0
(t
∗
)|

α
j
= Ke
−β(t
∗
−t
0
)

n

j=1
a
i
0
j
α
j

(30)
< −βKe
−β(t
∗
−t
0
)
α
i
0
= D

) ≤ Ke
−β(t−t
0
)
p, ∀t ≥ t
0
; ∀x
0
∈ R
n
, x
0
 ≤ 1.
Nếu chúng ta chọn K
1
:= K p > 0 thì
x (t, t
0
, x
0
) ≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
; ∀x
0


. Vì vậy, chúng ta có
x

t, t
0
,
x
0
x
0


≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
, ∀x
0
∈ R
n
.
Do tính chất tuyến tính, ta có
x

t, t

Điều này kéo theo
x (t, t
0
, x
0
) ≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
x
0
, ∀t ≥ t
0
, ∀x
0
∈ R
n
.
Vậy hệ (27) ổn định tiệm cận mũ theo định nghĩa 2.1.1.
25