Mục lục
1. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm 1
1.1.
Kiến thức chuẩn bị
.........................
1
1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định. . . . . . . . . . .
4
1.1.3. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm . . .
8
1.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi
phânhàm ...........................
12
2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng
trình động lực trên thang thời gian 17
2.1. Ph-ơng trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1. Sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.3. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . .
20
2.1.4. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
và công thức biến thiên hằng số Lagrăng . . . . . . . . .
21
2.1.5. Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

(xem [3], [9], [14], [16]) và tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình sai phân
(xem [3], [7]).
Trong phần cuối của luận văn chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về sự ổn
định nghiệm của ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Trong đó ngoài
việc chứng minh chi tiết các điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ ph-ơng
trình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gian, chúng tôi đã cố gắng
dành công sức vào việc xây dựng các ví dụ cụ thể. Trên cơ sở các ví dụ này
chúng tôi thấy rằng các kết quả nhận đ-ợc có thể áp dụng cho các mô hình
quần thể sinh học mà hiện nay đang đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm.
Nội dung của luận văn gồm có hai ch-ơng: trong ch-ơng 1, ngoài một
số kiến thức chuẩn bị về khái niệm và trình bày tóm tắt các kết quả cổ điển của
ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ ph-ơng trình vi phân trong
R
n
, chúng tôi
đã trình bày lại các định lý cơ bản của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng
trình vi phân hàm.
Ch-ơng 2 dành cho việc trình bày ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình
sai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Trong đó có sự đóng
góp của tác giả vào quá trình chứng minh các kết quả mới và xây dựng ví dụ.
Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo h-ớng dẫn
PGS.TS Đặng Đình Châu đã tận tình h-ớng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm
luận văn. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích trong
iii
khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy và tổ chức các buổi xemina đầy
bổ ích, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã quan tâm, tạo điều kiện
thuận lợi và động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Ngọc Huy

= Y (t, y) (1.1.1)
Trong đó
Y C
(0,1)
ty
()
và
=[a, )ìG
(G là tập mở trong không gian Euclide
thực
n
chiều
R
n
). Giả sử

là miền tồn tại duy nhất nghiệm, tức là tại mỗi
điểm
(t
0
,y
0
)
tồn tại và duy nhất nghiệm
y = y(t, t
0
,y
0
)
của hệ (1.1.1) thoả

y
với nghiệm
(t)
.
Vì:
.

Y (t, (t))
nên ta nhận đ-ợc ph-ơng trình vi phân đối với
x
:
dx
dt
= X(t, x), (1.1.3)
trong đó:
X(t, x)=[Y (t, x + (t) Y (t, (t))] C
(0,1)
tx
(Z),Z= {a<t<, x <H},
hơn nữa rõ ràng:
X(t, 0) 0
. Do đó, hệ (1.1.3) có nghiệm tầm th-ờng
x =0
ứng với nghiệm đã cho
= (t)
trong không gian
R
n
y
. Hệ (1.1.3) gọi là hệ rút

Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định
đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov khi t + nếu trong các định nghĩa
t-ơng ứng, số chọn đ-ợc không phụ thuộc vào t
0
.
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định
mũ khi t + nếu đối với mỗi nghiệm x(t) x(t, t
0
,x
0
) của hệ đó ở trong miền
nào đó t
0
t<, ||x|| h<Hthoả mãn bất đẳng thức:
||x(t)|| N||x(t
0
)||e
(tt
0
)
(t t
0
) .
trong đó N và là hai hằng số d-ơng không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t).
Ta dễ dàng thấy rằng, từ sự ổn định mũ của nghiệm x =0suy ra sự ổn định tiệm
cận của nó. Thật vậy, đặt:
||x(t
0
)|| <


Xét hàm số:
V = V (t, x) C
tx
(Z
0
),
trong đó
Z
0
= {a<t<, ||x|| <h}.
Tiếp theo ta đ-a ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có
dấu xác định.
Định nghĩa 1.1.5. Hàm vô h-ớng thực liên tục V (t, x), đ-ợc gọi là không đổi dấu
(có dấu d-ơng hay có dấu âm) trong Z
0
, nếu:
V (t, x) 0 (hay V (t, x) 0),
với (t, x) Z
0
.
Định nghĩa 1.1.6. Hàm V (t, x) đ-ợc gọi là xác định d-ơng trong Z
0
nếu tồn tại
một hàm vô h-ớng W (x) C(||x|| <h) sao cho:
V (t, x) W (x) > 0, với ||x|| =0, (1.1.4)
V (t, 0) = W (0) = 0.
T-ơng tự, hàm V (t, x) đ-ợc gọi là hàm xác định âm trong Z
0
nếu tìm đ-ợc
W (x) C(||x||) <h) sao cho:

0
t<, ||x|| <h.
Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t, và sao cho
V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x 0.
1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định.
Giả sử
X(t, x) C
(0,1)
tx
(Z),Z = {a<t<, x <H}
và hệ vi phân:
dx
dt
= X(t, x) (1.1.6)
là hệ rút gọn, tức là
X(t, 0) 0
. Rõ ràng hệ (1.1.6) có nghiệm tầm th-ờng
=0
.
Ta đặt:
V V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
),Z
0
= {a<t<; ||x|| h<H}Z
4
và

x = x(t)
là nghiệm của hệ (1.1.6) thì
.
V
(t, x)
là đạo hàm toàn phần
theo thời gian của hàm hợp
V (t, x(t))
, tức là:
.
V
(t, x)=
d
dt
V (t, x(t)).
Đúng hơn, giả sử
(t, x) Z
0
và
x(,t,x)
là nghiệm của hệ (1.1.6) xác định bởi
điều kiện ban đầu:
x(,t,x)=x
. Khi đó:
.
V
(t, x)=

d
dt

Khái niệm đạo hàm
.
V
(t, x)
theo hệ (1.1.6) có thể mở rộng đ-ợc. Cụ
thể, khi đó ta đặt:
.
V
(t, x)=
lim
h0
+
1
h
{V (t + h, x + hX(t, x)) V (t, x)}.
Định lý 1.1.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định)
Nếu đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng:
V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
), (Z
0
Z),
và hàm này có đạo hàm theo thời gian,
.
V
(t, x) theo hệ đó có dấu âm không đổi, thì
nghiệm tầm th-ờng x(t)=0, (a<t<) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi

3y
2
)(x
2
+2y
2
) 0 với x, y đủ bé.
Vậy nghiệm tầm th-ờng x =0,y =0của hệ đã cho là ổn định.
Định lý 1.1.2. (Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận)
Giả sử đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm xác định d-ơng V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
)
có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x 0 và có đạo hàm theo thời gian

V (t, x) theo
hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm th-ờng x(t)=0của hệ ổn định tiệm cận
theo Lyapunov khi t +.
Ví dụ 1.1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng đối với hệ



dx
dt
= 5y 2x
3
dy
dt

t
0
>anào đó trong lân cận ||x|| < ( h<H) tìm đ-ợc điểm (t
0
,x
0
) mà tại
đó dấu của hàm V cùng dấu của đạo hàm

V , tức là:
V (t
0
,x
0
)

V (t
0
,x
0
) > 0 (1.1.8)
thì nghiệm tầm th-ờng x(t)=0của hệ (1.1.6) không ổn định theo nghĩa Lyapunov
khi t +.
Ví dụ 1.1.3. Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng đối với hệ



dx
dt
= x

> 0.
Vậy nghiệm tầm th-ờng x =0,y =0của hệ đã cho là không ổn định theo định
lý thứ 3.
Chú ý
1. Trong định lý thứ ba, hàm
V (t, x)
không hẳn phải có dấu xác định.
2. Hàm
V (t, x)
thoả mãn các điều kiện của định thứ nhất đến thứ ba của
Lyapunov ta sẽ gọi, t-ơng ứng, là hàm Lyapunov loại
1
, loại
2
và loại
3
.
1.1.3. Tiêu chuẩn so sánh
Xét ph-ơng trình vi phân
x(t)=f(t, x),x(t
0
)=x
0
(1.1.9)
trong đó
f C[R
+
ì S(),R
n
]

(i) g C[R
+
ì R, R],g(t, 0)=0và g(t, u) là không giảm theo u với mỗi t R
+
.
(ii) V C[R
+
ì S(),R
+
], V(t,x) là Lipsit địa ph-ơng theo x và hàm V
0
(t, x)=

N
i=1
V
i
(t, x) là xác định d-ơng.
(iii) f C[R
+
ì S(),R
n
],f(t, 0)=0và D
+
V (t, x) g(t, V (t, x)), (t, x) R
+
ì
S().
Khi đó tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của ph-ơng trình
u(t)=g(t, u),u(t

1
2
(x
2
+2Bxy + y
2
), khi đó
D
+
V (t, x) dọc theo nghiệm của hệ trên bằng tổng của hai hàm w
1
(t, x),w
2
(t, x)
trong đó
w
1
(t, x)=x
2
[e
t
+ Bsint]+xy[2Be
t
+(A +1)sint]+y
2
[Ae
t
+ Bsint],
w
2

2
=1,B
2
= 1,
2
(t)=2(e
t
sint) thì V
2
(t, x)=
1
2
(x y)
2
Khi đó các giả thiết của định lý đ-ợc thoả mãn, vì
(a) Các hàm V
1
(t, x) 0,V
2
(t, x) 0 và V
0
(t, x)=

2
i=1
V
i
(t, x)=x
2
+ y

ph-ơng trình vi phân hàm:
Giả sử
x R
n
, ta ký hiệu
|x|
là chuẩn của phần tử x trong
R
n
. Ký hiệu
C([, ],R
n
)
là không gian Banach các hàm liên tục, xác định trên
[, ]
và
nhận giá trị trong
R
n
.Với
C([, ],R
n
)
thì chuẩn của

đ-ợc định nghĩa là
= sup

|()|,
Đặc biệt khi

x
t
hiểu là phần hạn chế của hàm x(.) trên đoạn [t-h, t]).
Giả sử
=R
+
ì C
H
,f : R
n
, ký hiệu
x
là đạo hàm phải của x tại t, chúng
ta xét ph-ơng trình vi phân
x = f(t, x
t
). (1.2.12)
Ta gọi ph-ơng trình (1.2.12) là ph-ơng trình vi phân có chậm hoặc ph-ơng trình
vi phân hàm trên

.
Ta luôn giả thiết hàm
f : R
n
là liên tục trên

Định nghĩa 1.2.8. Hàm x = x
t
(t
0

0
+ A).
Giả sử ph-ơng trình (1.2.12) thoả mãn tất cả các điều kiện về sự tồn
tại, duy nhất nghiệm (xem [14]) và
f(t, 0) = 0, t R
+
. Khi đó, ph-ơng trình
(1.2.12) có nghiệm tầm th-ờng
x 0
.
Ta có thể đi tìm nghiệm của ph-ơng trình vi hàm (1.2.12) bằng hai ph-ơng pháp
là ph-ơng pháp từng b-ớc và ph-ơng pháp Laplace.
Ví dụ 1.2.5. (giải bằng ph-ơng pháp Laplace) Xét ph-ơng trình vi phân có chậm:



x(t)=x(t 1)
(t)=t, 1 t 0.
Ta có: x(t) X(p); x(t) pX(p),x(0) = (0) = 0.
Néu f(t) F (p) và t
0
> 0 thì f(t t
0
) e
t
0
p
F (p),
x(t 1) e
p

Do đó:
X(p)=
1
p(p e
p
)
+
1 e
p
p
2
(p e
p
)
.
Suy ra,
X(p)=
1
p
2
+
1
p
3



k=1
e
kp

0
,), (t
0
=1), của ph-ng trình vi phân trên đoạn [0,3].
Nghiệm của ph-ơng trình vi phân trên có dạng:



x(t)=(1) +

t
1
6x(s 1)ds; t 1,
x(t)=(t); 0 t 1;
Trên đoạn [1, 2] ta có:



x(t)=(1) +

t
1
6sds;2 t 1,
x(t)=(t); 0 t 1;
hay



x(t)=1+3(t 1)
2






x(t)=t;1 t 0,
x(t)=1+3(t 1)
2
;2 t 1,
x(t)=6(t 2)[(t 2)
2
+1]+4;3 t 2,
Cứ nh- vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý.
Ta định nghĩa sự ổn định của nghiệm tầm th-ờng của (1.2.12).
Định nghĩa 1.2.9. Nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)
đ-ợc gọi là ổn định theo Lyapunov khi t + nếu:
>0,t
0
R
+
, = (t
0
,) > 0, sao cho : < x
t
(t
0
,) <,t t
0
.
Định nghĩa 1.2.10. Nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình (1.2.12) đ-ợc gọi

phân hàm
Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và
không ổn định của nghiệm tầm th-ờng
x =0
của ph-ơng trình (1.2.12). Đây là
kết quả mở rộng của ph-ơng pháp thứ hai của Lyapunov đối với ph-ơng trình
vi phân th-ờng.
Định nghĩa 1.2.13. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : RìC
R
+
, thoả mãn điều kiện Lipchitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov.
Nếu
V : R ì C R
+
là liên tục và
x
t
(t
0
,)
là nghiệm của ph-ơng trình
(1.2.12) đi qua điểm
(t
0
,)
, chúng ta định nghĩa

V (t, ) = lim
h0
+

f(t, )
là hoàn toàn liên tục trên

và
f(t, 0)=0
.
Định lý 1.2.5. (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov)
thoả mãn điều kiện:
1. V (t, 0) = 0;
2. a() V (t, ),a CIP;
3. V

(1.2.12)
0.
trong đó CIP tập các hàm liên tục, tăng và nhận giá trị d-ơng, khi đó nghiệm tầm
th-ờng x =0của hệ (1.2.12) là ổn định.
12
Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, 0) thoả mãn các điều kiện trên, ta sẽ chứng minh
nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình vi phân (1.2.12) là ổn định. Giả sử
>0, (<H), đủ bé, ta xác định mặt cầu
S

= {| C
H
, = },
từ điều kiện (2) ta suy ra
0 <a() V (t, ),t I, S

.
Vì V (t, 0)=0, V (t, ) là hàm liên tục nên với t

1
(t
0
,) =
(theo định nghĩa ta có thể hiểu là tồn tại s<t
1
sao cho x
t
1
(t
0
,) = /2). Từ
điều kiện (3) ta suy ra V (t)=V (t, x
t
1
(t
0
,)) giảm theo t nên ta có:
V (t
1
,x
t
1
(t
0
,)) V (t, x
t
(t
0
,)),

0,
khi đó nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.2.12) là ổn định đều.
Chứng minh. Lấy >0 tùy ý <H, xét
S

= {| C
H
, = , 0 <<H},
Từ điều kiện (2) ta suy ra
a() V (t, ) a() V (t, ), S

.
Do
V (t, ) b() và b CIP,
suy ra với a() > 0 ta chọn đ-ợc số () < 0 sao cho
< b() <a() b() <a().
Lấy một nghiệm tùy ý của (1.2.12) với <(). Khi đó với t
0
cố định bất kì và
từ giả thiết

V
(1.2.12)
0 ta có:
a(x
t
(t
0
,)) V (t, x
t

0
(H) > 0 sao cho với t
0
R
+
và

0
, ta có:
x
t
(t
0
,) <H; t>t
0
.
Mặt khác >0, () > 0 sao cho t
0
R
+
, ta có:
<() x
t
(t
0
,) <,t t
0
.
Giả sử ng-ợc lại tồn tại một nghiệm x = x(t
0

) <H.
Do đó:
V (t
k
,x(t
0
,)(t
k
) a().
Từ điều kiện ta suy ra:

V
(1.2.12)
(t, ) c().
Do đó tồn tại >0 sao cho:

V
(1.2.12)
(t, ) .
Với () < ta có:

t
t
0

V
(1.2.12)
(,)d

t

,) (t t
0
) b(
0
) T
b(
0
) b(
0
)+a()
a().
15
Chứng tỏ: V (t, x
t
(t
0
,) <a(). Mâu thuẫn với
V (t
k
,x(t
0
,)(t
k
) a().
Điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t t
0
+ T,(T = T ())
và <
0
ta có:

2
,
đồng thời:

V (x, y)=2.x(t).[y(t) x(t).y
2
(t r
1
(t))] + 2y[x(t) y(t).x
2
(t r
2
(t))]
= y
2
(t).x
2
(t r
2
(t)) x
2
(t).y
2
(t r
1
(t))
0.
Vậy ta có nghiệm tầm th-ờng của hệ là ổn định đều.
Nhận xét: T-ơng tự nh- ph-ơng trình vi phân th-ờng, ng-ời ta đã chứng
minh các kết quả về tiêu chuẩn so sánh đối với ph-ơng trình vi phân hàm (xem


2
u
n
= (u
n
)=u
n+1
u
n
= u
n+2
u
n+1
(u
n+1
u
n
)=u
n+2
2u
n+1
+ u
n
;
Sai phân cấp 3 của hàm
u
n
là


u
n
= (
k1
u
n
)=
k1
u
n+1

k1
u
n
=
k

i=0
(1)
i
C
i
k
u
n+ki
,
17
trong đó
C
i

i!(ki)!
.
ii) Tính chất 2:
Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính

k
(u
n
+ v
n
)=
k
u
n
+
k
v
n
Với
,
là các số thực tuỳ ý.
iii) Tính chất 3:
Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng:
a) Hằng số nếu
k = m
,
b) 0 nếu
k>m
,
c) Đa thức bậc

k1
u
a
,
Đặc biẹt khi
k =1
, ta có
N

n=a
u
n
= u
N+1
u
a
.
2.1.2. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính
Định nghĩa 2.1.16. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính
giữa sai phân các cấp
F (u
n
, u
n
, ...,
k
u
n
)=0
Trong đó u

1
, ..., a
k
với a
0
=0,a
k
=0là các hằng số hoặc các hàm số của n, đ-ợc
gọi là các hệ số của ph-ơng trình sai phân; f
n
là một hàm số của n, đ-ợc gọi là vế
phải; u
n
là giá trị cần tìm, đ-ợc gọi là ẩn.
Nghiệm của ph-ơng trình sai phân tuyến tính:
Xét ph-ơng trình sai phân tuyến tính cấp k
a
0
u
n+k
+ a
1
u
n+k1
+ ... + a
k
u
n
= f
n

của ph-ơng trình sai phân tuyến tính (1):
u
n
= u

+u
,
với
u

là một nghiệm riêng của ph-ơng trình trên và
u
là nghiệm tổng quát của
ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng (2).
Nghiệm tổng quát của (2) có dạng
u = c
1
u
n
1
+ c
2
u
n
2
+ ... + c
k
u
n
k

,
n
2
, ...,
n
k
}
là hệ k nghiệm
độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm tổng quát của (2) là
u = c
1

n
1
+ c
2

n
2
+ ... + c
k

n
k
.
Nếu (3) có nghiệm th-c

j
bội s thì ngoài nghiệm


i=0
c
i
j
n
i

n
j
.
19
Nếu (3) có nghiệm phức

j
= r(cos + isin)
bội s thì ta lấy thêm các nghiệm:
r
n
n
i
cosn, r
n
n
i
sinn
,
i =0, ..., s 1
u =
k
















u
1
(k +1)=a
11
(k)u
1
(k)+a
12
(k)u
2
(k)+... + a
1n
(k)u
n
(k),
u

Đặt
u(k)=







u
1
(k)
u
2
(k)
.
.
.
u
n
(k)







; A(k)=





,
Khi đó hệ trên t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình
u(k +1)=A(k).u(k) k k
0
(2.1.1)
ở đây:
u(k)=(u
1
(k),u
2
(k), ...u
n
(k))
T
R
n
và ta luôn giả thiết
A(k)=(a
ij
(k))
nìn
là
ma trận không suy biến.
Bài toán Cauchy: Xét bài toán: