LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của Luận văn, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người
thầy hướng dẫn khoa học của mình: PGS. TS. Đặng Đình Châu - người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng
chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu
và thủ tục hành chính để hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn
đến bạn bè, đặc biệt là các bạn trong nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 đã
động viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của các thầy, cô
và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 12 năm 2010
Học viên
Ngô Quý Đăng.
1
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân . . . . . . . . . 7
1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên
hằng số Lagrăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . 10
1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm . . . . 13
1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương trình vi phân có xung và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . 23

lỗi khi thời gian gây ra lỗi bởi truyền tải và xung được sử dụng để ổn định.
Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình vi
phân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khi các không gian pha của hệ
được thiết lập lại. Do đó nghiệm của của hệ phương trình vi phân có xung thường
liên tục từng mảnh, nên gây ra một số khó khăn: Ví dụ: nếu x(t) là liên tục từng
mảnh, thì x(t) có thể là hàm không liên tục khắp nơi theo t. Khi đó tính tồn tại, ổn
định và bị chặn của nghiệm có thể bị thay đổi do xung.
Phương trình vi phân thường có xung xuất hiện không lâu được viết vào năm
1960 bởi A.Myshkis và V.Mill’man (xem [12]). Kể từ đó một số kết quả cổ điển
phương trình vi phân thường đã được mở rộng cho phương trình vi phân có xung.
Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nhưng nghiên cứu về phương
trình vi phân trễ có xung mới xuất hiện. Bài viết đầu tiên về chủ đề này vào năm
1986 bởi A.Anokhin (xem [4]).
Trong những năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng của
phương trình vi phân có xung được phát triển rất mạnh bởi các ứng dụng thực tế
của chúng. Các công cụ nghiên cứu ổn định thường là phương pháp hàm Lyapunov,
kỹ thuật Razumikhin. Ổn định là một trong những vấn đề quan trọng của phương
trình vi phân trễ có xung, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như mạng thần kinh,
các mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc....
Bố cục của luận vặn gồm:
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổn
định nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính
ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]).
Chương 2: Trình bày khái niệm về phương trình vi phân có xung, tính tồn tại,
duy nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung và
phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]).
Trình bày phương trình vi phân hàm có xung và các định lý ổn định kiểu Razu-
mikhin và một số ứng dụng vào giải các bài toán thực tế (xem [13],[14]).
4
Để làm sáng tỏ vấn đề trên công việc của người viết chủ yếu là đọc hiểu khái

n→∞
Giới hạn dưới.
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình
sai phân
1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]):
u(n + 1) = A(n).u(n), n  n
0
, (1.1)
trong đó u(n) = (u
1
(n),u
2
(n),...,u
m
(n))
T
∈ R
m
, A(n) = (a
i j
(n))
mm
là ma trận không
suy biến.
Bài toán Cô-si: Xét hệ phương trình sai phân:


nsn
0
được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không
suy biến A(n).
7
* Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cô-si)
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử {W(n, s)}
nsn
0
là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận
hàm không suy biến A(n). Khi đó W (n, n
0
) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản
chuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) của hệ (1.2).
Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta thấy, với
mỗi s  n
0
thì
W(n, s) = W (n,k).W(k, s),n  k  s.
Đặc biệt W(n, n
0
) = W(n, k).W (k, n
0
), n  k  n
0
, khi đó ta có:
W(n, k) = W(n, n
0
).W
−1

công thức biến thiên hằng số Lagrăng
Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (xem [5]):

v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n), n  n
0
,
v(n
0
) = v
0
,
(1.4)
trong đó b(n) ∈ R
m
.
Định lý 1.1.6. Nghiệm v(n) = v(n, n
0
,v
0
) của hệ (1.4) được xác định bởi công thức
v(n) = W(n, n
0
)v
0
+
n
∑
k=n
0
+1

suy ra
v(n + 1) = W(n + 1, n
0
)C(n + 1). (1.7)
Mà
v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n) = A(n)W(n, n
0
)C(n) + b(n),
ta có:
v(n + 1) = W(n + 1, n
0
)C(n) + b(n). (1.8)
Kết hợp (1.7) và (1.8) ta được
W(n + 1, n
0
)C(n + 1) = W(n + 1, n
0
)C(n) + b(n),
suy ra
W(n + 1, n
0
)∆C(n) = b(n),
hay
∆C(n) = W
−1
(n + 1, n
0
)b(n).
Do đó
n−1

o
.v
o
+
n
∑
k=n
o
+1
A
n−k
b(k− 1), (1.11)
với mọi n > n
0
.
1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến
Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến:

z(n + 1) = A(n)z(n) + g(n,z(n)), n  n
0
,
z(n
0
) = z
0
,
(1.12)
trong đó g : N(n
0
)× R

i
và f
i
, 1  i  n. Giả sử
f (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vậy hệ (1.14) có nghiệm tầm thường.
Định nghĩa 1.1.9. Nghiệm tầm thường của (1.14) được gọi là:
(i) Ổn định, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(a, ε) > 0 sao cho, với mọi nghiệm
u(k) = u(k, a,u
0
) của (1.14) thỏa mãn ||u
0
|| < δ , thì ||u(k, a,u
0
)|| < ε,∀k ∈ N(a).
(ii) Ổn định đều, nếu δ trong (i) không phụ thuộc vào a.
(iii) Ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và tồn tại δ = δ (a) > 0 với mọi nghiệm
u(k) = u(k, a,u
0
) của (1.14), thỏa mãn ||u
0
|| < δ thì ||u(k, a,u
0
)|| → 0 khi k → ∞.
(iv) Ổn định tiệm cận đều, nếu ổn định đều và tồn tại δ > 0 không phụ thuộc
vào a và với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u
0
) của (1.14), thỏa mãn ||u
0
|| < δ , thì
||u(k, a, u

) là một nghiệm bất kỳ của
(1.14) sao cho u(k) < ρ,∀k ∈ N(a).
Cho Ω là tập mở trong R
n
và chứa gốc tọa độ. Giả sử V(k,u) là hàm liên tục vô
hướng xác định trên Ω,V ∈ C[Ω, R] và V (k, 0) = 0.
Định nghĩa 1.1.10. Hàm φ (r) được gọi là thuộc vào lớp K, nếu và chỉ nếu φ ∈
C([0,ρ), R
+
),φ(0) = 0, và φ(r) là tăng chặt theo r.
Định nghĩa 1.1.11. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× S
ρ
được gọi là
xác định dương nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàm
φ(r) ∈ K sao cho φ(r)  V(k, u),u = r,(k, u)∈ N(a)× S
ρ
.Và là xác định âm nếu
V (k, u)  −φ(r).
10
Định nghĩa 1.1.12. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× S
ρ
được gọi là
giảm dần về không (decrescent) nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và
tồn tại một hàm ϕ(r) ∈ K sao cho V (k, u)  ϕ(r),u = r,(k, u) ∈ N(a)× S
ρ
.
Với u(k) = u(k, a, u
o
) là nghiệm của (1.14) sao chou(k) < ρ với mọi k∈ N(a).
Khi đó ta có biến phân của hàm V (k, u(k)) là:

|| < δ mà ε  u(k
1
) < ρ
với k
1
∈ N(a). Tuy nhiên do ∆V(u(k))  0 khi u(k) < ρ, ta có V (u(k
1
))  V (u
0
)
và do đó
φ(ε)  φ (u(k
1
))  V(u(k
1
))  V(u
0
) < φ (ε),
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu u
0
 < δ thì u(k) < ε,∀k ∈ N. Nên nghiệm tầm
thường của (1.14) là ổn định.
Định lý 1.1.14. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a)×
S
ρ
, R
+
] sao cho ∆V (k, u(k, a, u
0
))  −α(u(k, a, u

V (k, u(k)) = 0. Do đó lim
k→∞
u(k) = 0. Vậy nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0
của (1.14) là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.1.15. Với giả thiết của định lý (1.1.13) (định lý (1.1.14)) và hàm V(k,u)
là hàm giảm dần về không thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (1.14) là ổn
định đều (tiệm cận đều).
Chứng minh. Vì V (k, u) là hàm xác định dương và giảm dần về không, nên tồn
tại hàm ϕ, φ ∈ K sao cho φ(u)  V (k, u)  ϕ(u), với mọi (k, u) ∈ N(a)× S
ρ
.
Với mỗi ε, 0 < ε < ρ ta chọn δ = δ(ε) > 0 sao cho ϕ(δ ) < φ(ε). Ta chứng minh
nghiệm tầm thường của hệ (1.14) ổn định đều, tức là với k
1
≥ a và u(k
1
)| < ρ,
thì u(k)| < ε với mọi k ≥ k
1
. Bằng phản chứng giả sử tồn tại k
2
> k
1
, thỏa mãn
k
2
 a và u(k
2
)| < ρ kéo theo ε  u(k
2

0
với ||u
0
||  δ sao cho V (a, u
0
) < 0.
(iii) ∆V (k, u(k, a, u
0
)) ≤ −φ (u(k, a, u
0
)) với φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) =
u(k, a, u
0
) của (1.14) thoả mãn u(k < ρ.
Thì nghiệm tầm thường u(k, a,0) = 0 của (1.14) là không ổn định.
Chứng minh. Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Thì với mọi ε >
0(ε < ρ) tồn tại δ = δ (a,ε) > 0 sao cho||u
0
|| < δ ta có ||u(k)|| =||u(k, a, u
0
)|| < ε
với mọi k ∈ N(a). Lấy u
0
thỏa mãn ||u
0
|| < δ và V (a,u
0
) < 0 từ ||u
0
|| < δ ta có

)|)).
12
Như vậy ta có:
V (k, u(k)) ≤ V(a, u
0
)− (k− a)φ(ϕ
−1
(|V (a, u
0
)|)).
Hay lim
k→∞
V (k, u(k)) = −∞, trái với điều kiện (1.16).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1.17. Xét hệ phương trình sai phân:

u
1
(k + 1) = u
2
(k)− cu
1
(k)(u
2
1
(k) + u
2
2
(k)),
u

(k)) =
c
2
(u
2
1
(k) + u
2
2
(k))
3
. Do đó nếu c = 0 thì ∆V(u
1
(k), u
2
(k)) = 0 nên nghiệm tầm
thường của hệ là ổn định. Tuy nhiên nếu c = 0 thì nghiệm tầm thường của hệ là
không ổn định.
1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình
vi phân hàm
Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của phương trình vi phân
hàm (xem [7],[9]).
Với x ∈ R
n
, ký hiệu |x| là chuẩn của x. Với τ > 0 cho trước ký hiệu C là không
gian các hàm liên tục trên đoạn [−τ, 0] nhận giá trị trong R
n
và với ϕ ∈ C,
ϕ = sup
−τ≤θ≤0

j
(t)  τ, j = 1, 2,..., p và ta có thể xây dựng như là phương trình tích
phân sau:
˙x(t) =

0
−r
g(t;θ ; x(t + θ))dθ.
Chúng ta gọi phương trình (1.18) là tuyến tính nếu f (t, x
t
) = L(t,x
t
)+ h(t) trong
đó L(t,x
t
) là tuyến tính đối với x
t
, tuyến tính thuần nhất nếu h(t) ≡ 0, tuyến tính
không thuần nhất nếu h(t) ≡ 0. Chúng ta gọi (1.18) là autonomous nếu f (t, x
t
) =
g(x
t
) ở đây g(t) không phụ thuộc vào t, trường hợp còn lại ta gọi là không au-
tonomous.
Giống như phương trình vi phân thường (ODEs) ta cũng có các kết quả tương
tự như sau:
Bổ đề 1.2.1. Nếu t
0
∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f (t, ϕ) là hàm liên tục trên Ω, thì việc

)||  k||φ
1
− φ
2
||.
Định lý 1.2.3. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f : Ω→ R
n
liên
tục , và f (t, φ ) là Lipschitz theo φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t
0
,ϕ) ∈ Ω,
thì có duy nhất nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t
0
,ϕ).
Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi hàm (1.18) bằng phương pháp từng
bước.
Ví dụ 1.2.4. Xét phương trình vi phân hàm:

˙x(t) = 6x(t− 1),
ϕ(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1.
Ta sẽ tìm nghiệm x(t
0
,ϕ), (t
0
= 1), của phương trình vi phân trên đoạn [0,3]. Theo
bổ đề (1.2.1), nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

x(t) = ϕ(1) +

t

x(t) = 6(t− 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 3 ≥ t ≥ 2,
x(t) = 1 + 3(t− 1)
2
, 2 ≥ t ≥ 1.
Như vây, nghiệm của phương trình trên [0,3] là





x(t) = t, 1 ≥ t ≥ 0,
x(t) = 1 + 3(t− 1)
2
, 2 ≥ t ≥ 1,
x(t) = 6(t− 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 3 ≥ t ≥ 2.
Tiếp tục như vậy ta mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý.
1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm
Xét phương trình vi phân (1.18):
˙x(t) = f (t,x
t
),
với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t
0
− τ,t
0
]. Giả sử phương trình (1.18) thoả

Định nghĩa 1.2.8. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi
là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu
1. Nghiệm tầm thường là ổn định đều.
2. ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t
0
),
∀ϕ ∈ C,ϕ < ∆ ⇒ lim
t→+∞
x(t
0
,ϕ) = 0.
1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov
Trong phần này, tôi giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn
định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.18). Đây là kết quả mở rộng của
phương pháp thứ hai của Lyapunov cho phương trình vi hàm.
Định nghĩa 1.2.9. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : R×C →
R, thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov. Nếu
V : R× C → R liên tục, x(t
0
,ϕ) là nghiệm của phương trình (1.18) đi qua điểm
(t
0
,ϕ), và
˙
V (t,ϕ) = lim
h→0
+
sup
1
h

S
ε
= {φ|φ ∈ C
H
,φ = ε},
từ điều kiện (2) ta suy ra
0 < a(ε)  V (t,φ),φ ∈ S
ε
.
Vì V (t,0) = 0, V (t,ϕ) là hàm liên tục nên với t
0
cố định và a(ε) > 0 tồn tại
δ(t
0
,ε) > 0 sao cho:
ϕ < δ (t
0
,ε) ⇒ V (t
0
,ϕ) < a(ε).
Lấy x = x(t
0
,ϕ) là nghiệm của (1.18) sao cho với ϕ < δ, ta sẽ chứng minh
x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t  t
0
. (1.19)

t
1
(t
0
,ϕ))  V (t, x
t
(t
0
,ϕ)),
suy ra
a(ε)  V (t
1
,x
t
1
(t
0
,ϕ)  V (t
0
,ϕ) < a(ε).
Vậy
ϕ < δ ⇒ x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t  t
0
,
tức là nghiệm tầm thường là ổn định.
Định lý 1.2.11. (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R

,ϕ))  V (t
0
,ϕ)  b(ϕ)  b(δ) < a(ε).
Tức là
x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t > t
0
,ϕ < δ .
Vậy nghiệm là ổn định đều.
Định lý 1.2.12. ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục
V : R
+
×C → R
+
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. a(ϕ(0))  V(t,ϕ)  b(ϕ), a(r), b(r) ∈ K,
2.
˙
V (t,ϕ)  −c(ϕ), c(r) liên tục và c(r) > 0 khi r > 0.
khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm tầm thường của phương trình
(1.18) là ổn định đều. Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường của nó là ổn
định tiệm cận đều. Do nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đều
nên với H > 0 tồn tại δ
0
= δ
0

,ϕ < δ
0
) không không thỏa mãn:
lim
t→+∞
x
t
(t
0
,ϕ) = 0,
khi đó tồn tại dãy t
k
, t
k
 t
0
,t
k
→ ∞(k → ∞), đồng thời
δ  x(t
0
,ϕ)(t
k
) < H.
Theo điều kiện (1) ta có:
V (t
k
,x(t
0
,ϕ)(t

b(δ
0
)− a(δ)
γ
.
Vì V (t
0
,ϕ)  b(δ
0
) nên với t  t
0
+ T và ϕ < δ
0
ta có:
V (t
0
,ϕ)− γ(t− t
0
)  b(δ
0
)− γT
 b(δ
0
)− b(δ
0
) + a(δ)
 a(δ).
Chứng tỏ V (t,x
t
(t

trong đó t ∈ R và r
j
(t)  0( j = 1,2) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ ta xét hàm:
V (x,y) = x
2
+ y
2
.
Khi đó ta có:
V (x,y) = ϕ
2
,
đồng thời
˙
V (x,y) = 2.x(t).[y(t)− x(t).y
2
(t− r
1
(t))] + 2y[−x(t)− y(t).x
2
(t− r
2
(t))]
= −y
2
(t).x
2
(t− r
2
(t))− x

(t
0
,ϕ) tùy ý của (1.18) sao cho
ϕ < δ. Nếu tồn tại t
∗
> t
0
,||x(t
∗
)|| ≥ ε thì:
V (t
∗
,x(t
∗
))  u(||x(t
∗
)||)  u(ε) > v(δ) ≥ V (t
0
,ϕ).
Do đó, tồn tại
¯
t ∈ (t
0
,t
∗
] sao cho:
˙
V (
¯
t,x(

đều. Giả sử δ > 0,h > 0 sao cho v(δ) = u(h) theo định lý (1.2.14) nếu ||φ||≤ δ thì
||x
t
(t
0
,φ)|| ≤ h,V(t, x
t
(t
0
,φ)) ≤ v(δ) với t ≥ t
0
− τ.
Giả sử với η(0 < η ≤ h) tùy ý ta cần chứng minh tồn tại một số
¯
t =
¯
t(η, δ) sao
cho với t
0
≥ 0 và ||φ||≤ δ, nghiệm của phương trình (1.18) thỏa mãn ||x
t
(t
0
,φ)|| ≤
η,t ≥ t
0
+
¯
t + τ tức là ta phải chứng minh
V (t,x

Giả sử ngược lại
V (t,x(t)) ≥ u(η) + (N − 1)a, ∀t ∈ [t
0
− τ,t
0
+ (v(δ)/γ)],
từ V (t,x(t)) ≤ v(δ) với t ≥ t
0
− τ, θ ∈ [−τ, 0], suy ra
p(V (t, x(t))) > V (t, x(t)) + a ≥ u(η) + Na ≥ v(δ ) ≥ V (t + θ ,x(t + θ)),
theo (1.23) ta có:
˙
V (t,x(t)) ≤ −w(||x(t)||) ≤−γ,
nên
V (t,x(t)) ≤ V (t
0
,x(t
0
))− γ(t− t
0
) ≤ v(δ )− γ(t− t
0
).
Do đó
V (t
0
+ (v(δ)/γ)), x(t
0
+ (v(δ)/γ))) ≤ v(δ))− v(δ )) ≤ 0,
điều này trái với giả thiết (1.22), vậy tồn tại t

k+1
.
Thật vậy, giả sử ngược lại:
V (t,x(t)) ≥ u(η) + (N − k− 1)a, ∀t ∈ [t
0
+ T
k
− τ,t
0
+ T
k+1
],
từ V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N− k)a, t ≥ t
0
+ T
k
− τ,, và θ ∈ [−τ, 0], kéo theo
p(V (t, x(t))) > V (t, x(t)) + a ≥ u(η) + (N− k)a ≥ V (t + θ ,x(t + θ)),
theo (1.23) ta có:
˙
V (t,x(t)) ≤ −w(||x(t)||) ≤−γ,
21
nên
V (t,x(t)) ≤ V (t
0
+ T
k
,x(t
0
+ T

và từ (1.23) với mọi t ≥ t
∗
ta có:
V (t,x(t)) ≤ V (t
∗
,x(t
∗
)) ≤ u(η) + (N − k− 1)a.
Hay
V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N − k− 1)a với t ≥ t
0
+ T
k+1
.
Vậy (1.24) được chứng minh, với j = N ta có V (t,x(t)) ≤ u(η),∀t ≥ t
0
+ Nv(δ)/γ
ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2.16. Xét phương trình vi phân hàm
˙x(t) = −a(t)x(t)− b(t)x(t− r(t)),
trong đó a(t), b(t), r(t) liên tục và bị chặn trên R, |b(t)|≤ a(t), 0≤ r(t)≤ r với mọi
t ∈ R.
Chọn V (x(t)) =
1
2
x
2
(t). Nếu V (x(t− r(t))) ≤ V (x(t)) thì |x(t− r(t))| ≤|x(t)|, và ta
có:
˙


˙x = f (t, x), t = t
k
,
∆x(t
k
) = I
k
(x(t
−
k
)),k = 1, 2,...,
(2.1)
trong đó,
Ω ⊂ R
n
, Ω là tập mở, x = col(x
1
,x
2
,...,x
n
) ∈ Ω, f : R
+
× Ω → R
n
.
x(t
+
k

< t
2
< ... < t
k
< t
k+1
< ..., k = 1, 2,....
Ví dụ 2.1.1. 1. Xét phương trình vi phân có xung:



˙x = 0, t = k,
∆x(k) =
1
x(k
−
)− 1
,k = 1, 2,...,
(2.2)
với thời điểm ban đầu là (t
0
,x
0
) = (0, 1), nghiệm của phương trình vi phân có xung
trên đoạn [0, 1) là x = 1. Với t > 1, thì ∆x(1) =
1
x(1
−
)− 1
không xác định vì x(1

) = [0,
π
4
) nghiệm của phương trình
(2.3) là x(t) = tant. Với t ∈ [t
1
,t
2
) = [
π
4
,
π
2
) ta có:

x(t) = tan(t + c)
x(t
+
1
) = x(t
−
1
)− 1
⇒

x(t) = tan(t + c)
x(t
+
1

), tuần hoàn
với chu kỳ π/4. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân tương ứng x(t) = tant
tồn tại trong [0,
π
2
) vì lim
t→
π
2
−
tant = ∞.
Qua các ví dụ xét ở trên chúng ta có thể xây dựng một mô hình của phương trình
vi phân có xung, và đưa ra một ví dụ thực tế:
Xét một quá trình tiến hóa được xác định bởi hệ:
(i) Phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x), (2.4)
trong đó, Ω ⊂ R
n
, Ω là tập mở, x = col(x
1
,x
2
,...,x
n
) ∈ Ω; f : R
+
× Ω → R
n
,
(ii) tập M(t), N(t) ⊂ R

0
= (t
0
,x
0
), di chuyển dọc
theo đường cong {(t, x(t)) : t ≥ t
0
} đến thời điểm t
1
> t
0
, tại t
1
đồ thị P
t
gặp M(t),
toán tử A(t
1
) lập tức biến điểm P
t
−
1
= (t
1
,(x(t
−
1
))) thành P
t

1
,x
+
1
) nghiệm của (2.4)} đến thời điểm t
2
> t
1
, tại t
2
đồ thị P
t
gặp M(t), một lần nữa P
t
−
2
= (t
2
,x(t
−
2
)) được dịch chuyển đến điểm P
t
+
2
=
(t
2
,x
+

M(t) → N(t) gọi là toán tử nhẩy (jump operator).
Ví dụ mô hình tương tác vật dữ-con mồi mà Volterra đã đưa ra chưa có xung
như sau:
1. Con mồi sinh trưởng không giới hạn khi vật dữ không kiểm soát nó.
2. Vật dữ sống sót nhờ sự có mặt của con mồi làm thức ăn.
3. Tốc độ ăn thịt phụ thuộc vào xác suất con mồi gặp vật dữ.
4. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vật dữ tỉ lệ thuận với lượng thức ăn kiếm
được.
Từ những giả thiết trên, Volterra đã thiết lập phương trình cho mô hình như sau:





dx(t)
dt
= Ax(t)− Bx(t)y(t),
dy(t)
dt
= −Cy(t) + Dx(t)y(t),
(2.5)
trong đó x(t), y(t) là mật độ quần thể con mồi và vật dữ tại thời điểm t(t ≥ 0),
A(A > 0) tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt vật dữ.
C(C > 0) là tỉ lệ chết thực của quần thể vật dữ khi không có mặt con mồi. B, D là
các hằng số thỏa mãn
B
D
là hiệu suất săn mồi, xy thể hiện xắc suất vật dữ gặp con
mồi.
Mô hình trên đã bỏ qua rất nhiều yếu tố, vì trong thực tế sự tương tác giữa vật

k
) là mật độ động vật ăn thịt trước và sau khi bị xung,
g
k
∈ R là đặc trưng cho hiệu ứng xung tại t
k
. Nếu g
k
> 0 thì mật độ của vật ăn thịt
25

Trích đoạn Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường

---