I. Đặt vấn đề.
iải toán là việc làm thờng xuyên của ngời học toán, thông qua giải toán học sinh không
những cũng cố và khắc sâu các kiến thức đã học, mà còn có vai trò rất quan trọng trong
việc rèn luyện năng lực t duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải toán học sinh rèn
luyện, phát triển nhiều kỹ năng nh: Kỹ năng phân tích, kỹ năng lập luận, kỹ năng phán đoán,
kỹ năng vận dụng thực tiễn dạy học cho thấy học sinh rất máy móc khi vận dụng các kiến
thức đã học vào việc giải bài tập. Do vậy không phát triển đợc năng lực t duy sáng tạo và các
kỹ năng cho học sinh. Khi gặp các bài toán không vận dụng trực tiếp các kiến thức đã học thì
rất nhiều học sinh lúng túng không tìm đợc phơng pháp giải bài toán đó nh thế nào. Đặc biệt là
trong môn hình học với những giả thiết mà bài toán cho nếu không có tính sáng tạo học sinh
không thể giải quyết đợc bài toán đó. Do vậy khi gặp các bài toán này học sinh phải suy nghĩ
để vẽ thêm các đờng phụ, điểm phụ từ đó giúp học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng
và thuận lợi hơn. Tuy nhiên vấn đề đặt ra là: khi gặp một bài toán học sinh không biết vẽ đờng
phụ nh thế nào do đó rất nhiều học sinh " mò mẫm" để vẽ các đờng phụ nhằm tìm ra lời giải
cho bài toán và đa số là thất bại kết quả bài tóan không đợc giải quyết, một số em khá tìm ra
đợc cách kẽ đờng phụ nhng không hợp lý dẫn đến lời giải dài dòng phức tạp. Với học sinh lớp
7 thì vấn đề trên càng gặp nhiều khó khăn khi các em mới làm quen với phơng pháp suy luận,
phơng pháp chứng minh bài toán hình học. Việc các em vận dụng các kiến thức đã học vào
việc lập luận, chứng minh bài toán hình học đã khó cha nói đến việc các em phải suy nghĩ tìm
cách kẽ đờng phụ rồi mới vận dụng đợc các kiến thức đã học vào để giải quyết bài toán đó.
Đứng trớc khó khăn chung của học sinh trong quá trình giảng dạy hình học lớp 7 tôi đã cố
gắng hớng dẫn các em tìm ra một số phơng pháp " kẻ đờng phụ" trong giải toán. Việc làm đó
đã góp phần rất lớn trong việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh, giúp các em rèn luyện đợc năng
lực t duy sáng tạo khi giải các bài toán hình học. Do đó việc" rèn luện kỹ năng kẻ đờng phụ
trong việc giải toán hình học" là việc làm hết sức khó khăn nhng không thể thiếu của giáo
viên. Với lý
G
do trên tôi mạnh dạn trình bày chuyên đề " Rèn luện kỹ năng kẽ đờng phụ cho học sinh
trong giải toán hình học lớp 7"
II. Giải quyết vấn đề
I. Các bài toán: Chứng minh hai góc bằng nhau.

thể suy nghĩ đến phơng pháp để vẽ đờng phụ nh sau:
Cách vẽ 1: Dựng điểm I nằm trong tam giác sao cho tam giác BIC là tam giác đều. ( Hình
vẽ 1)
Giải: Ta có
ABIABI =
( c.c.c)

0
10==

CAIBAI
(1)
Mặt khác
CIAADC
=
( c.g.c)

= CAIACD
Từ (1), (2)

ACD
=10
0
.
Nh vậy việc kẻ đờng phụ là một việc làm rất quan trọng trong giải toán hình học. Kẻ đờng
phụ đúng giúp chúng ta gikải quyết bài toán một cách nhanh và gọn gàng hơn rất nhiều.
Điều quan trọng nửa là nếu không kẻ đợc đờng phụ thì rất nhiều bài toán không giải quyết
đợc. Sau khi tìm đợc

ACD

AND
Xét
DNC

ta có ND = NC ( cùng bằng AC)
CND

cân tại N mà
0000
40206060 ===

ANDCND
0000
00
10607070
2
40180
===

=

ACDNCD
Cách vẽ 4: Dựng tam giác đều ABK ( K; C cùng phía so với AB ) ( Hình vẽ 4)
Ta có
ACK
cân tại A mà
000
402060 ==

CAK

để tìm cách giải quyết bài toán. Ta có:
0
60=+

DBCABC
là một góc của tam giác đều. Từ đó
giáo viên có thể hớng dẫn học sinh cách vẽ để tạo ra tam giác đều theo các hớng sau:
Cách 1: Dựng tam giác đều BCM ( A; M cùng phía so với BC).
Ta có:
) ( cccACMABM =
0
30==

AMCAMB
Xét
ABM
và
DBC

có







==
==
=

0
80
2
40180
20 ACECAE
BADBABEBDgcgBECBDCBCE =====

) (305080
000
cân tại B
0
00
70
2
40180
=

=

ADB
Cách 3: Dựng tam giác đều ACK ( B; K cùng phía so với AC)
Ta có
ABK
cân tại K, mà
00
8020 ==

ABKBAK
) (305080
000

30
cân tại M
0
120=

BMC
Mặt khác
) ( cccA CMAMB =
) (120
2
120360
0
00
ccgDBMABMAMCAMB ==

==

ABDDBAB =
cân tại B, mà
0
40=

ABD
0
00
70
2
40180
=


=150
0
00000
00
15)6015(9015
2
150180
=+==

=

BAFCAD
0
150) ( ==

AFBcgcAFBADC
và
00000
150)15060(36015 =+==

DFBABF
ABDDBABcgcDFBAFB == ) (
cân tại B mà
0
30=

ABD
0
00
75

ADB
Cách 3: Dựng tam giác đều CDK ( K;B cùng phiá so với AC)
Ta có:

DCB =

KCB ( c.g.c)
(*)KBDB =
Ta có

ADC =

ADK ( c.g.c)

AC = AK; AC = AB
)1(ABAK =
Mặt khác:
)2(60309015
0000
====

KABKADCAD
Từ (1) (2)


ABK là tam giác đều
(**)BABK =
Từ (*) (**)
ABDBADB
=

ABI =

ACI( c.c.c)
0
45==

CAIBAI
do

BIC cân tại I
0000
120)3030(150 =+= BIC
Mặt khác:

ACI có
000000
120)4515(18045;15 =+===

AICCAIACI
Từ đó ta có:
0000
120)120120(360 =+=

AIB
Vậy AIB = DIB = 120
0
(*)
Xét tam giác: AID có




DBIABI




ABD cân tại B.
0
00
75
2
30180
=

=

ABD
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC có AB >AC .Điểm D thuộc AB sao cho BD = AC. Gọi M;N là trung
điểm của BC; AD. Tia MN cắt tia CA tại K. Chứng minh rằng :
2


==
A
MKCBNM
Nhận xét: ĐÂy là bài toán có M;N là trung điểm của BC và AD. Do đó cách vẽ đơng phụ là
tạo ra đờng trung trực của tam giác từ đó tìm cách giải. Đối với bài toán này GV hớng dẫn
h/s cách vẽ đfờng phụ theo các hớng sau:
Cách 1: Gọi I là trung điểm của CD. Xét

IN //KC

(**)

== MNIMKChayINMCKN
Tơng tự: IM//BD

IM // BN


= IMNBNM
( So le trong) ( ***)
Từ (*) (**) ( ***)


= MKCBNM
.
Mặt khác
AKN

cân tại A

2
2


==
BAC
KBACK


Từ (1) (2)
(*)

= MKCBNM
Lập luận nh trên ta chứng minh đợc
AKN
cân tại A


= BACK2
( góc ngoài tam giác)



= BACK
2
1
Từ (*) (**)

2


==
A
MKCBNM
Cách 3: Gọi P là điểm Nằm trên tia đối NC sao cho NC = NP. Nối PA; PD ; PB; DC Xét
BCP

ta có : MN là đờng trung bình


(1)
Lại có

= DPBMKC
( Góc có cạnh tơng ứng song song) (2)
Từ (1) và (2)



= MKCBNM
.
Ta cũng dễ dàng chứng minh đợc
AKN

cân tại A


= BACK2

2


=
BAC
K



2


BDA DABADAB ==
Từ (*) (**)

MHN
cân tại H


= NMHMNH
hay

= KMHBNM
(2)
Từ (1) (2)


= MKCBNM
Lập luận tơng tự nh trên ta cũng chứng minh đợc
AKN
cân tại A do đó
2


==
A
MKCBNM
.
Bài toán 5: Cho góc nhọn xOy trên Ox lấy 2 điểm A;B ( A nằm giữa O và B), trên tia Oy lấy 2
điểm C và D ( C nằm giữa O và D) sao cho AC = CD. Gọi H, K là trung điểm của AC và BD.
Chứng minh rằng HK // với tia phân giác của góc xOy.
Nhận xét: ĐÂy là bài tóan chứng minh đờng thẳng song song thông qua chứng minh hai góc


= OCID
1
(**)
Từ (*)



= OCIxOy
( So le trong) ( ***)
Từ ( **) và (***)


=
1
2 DxOy


2
)2(//2
11
1
1
IDOzDODO ==

Từ (1) (2)

HK //Oz.
Cách vẽ 2: kẽ AA
1

A
1
C = B
1
D (1)
Mặt khác: Ta chứng minh đợc NA = NA
1
; MB = MB
1
. Từ đó ta có NH // A
1
C
NH =
CA
1
2
1
và MK // B
1
D; MK =
DB
1
2
1
(2)
Từ (1) (2)

NH = MK và NH // MK



(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với AB = CD ta cóIH = IK nên
IHK
cân tại I


=
11
KH
Từ (1)

K
1
= D
1
, Từ (2)

H
1
= E. Do K
1
= H
1
nên D
1
= E

OED
cân tại E
Mà


Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từa t/c của tam giác cân, tam giác đều, tam giác
vuông

Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ t/c đờng trung tuyến, trung trực, trung tuyến
ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30
0
của tam giác vuông

Định lý đờng trung bình của một tam giác

T/c đoạn chắn
2. Các bài toán minh họa.
Bài toán 1( Bài tập 9 - SBT Toán 7).
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30
0
thì cạnh góc vuông đói
diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Nhận xét: Đây là bài toán khá đơn giản tuy nhiên không ít h/s gặp lúng túng khi giả bài toán
này. Do vậy khi gặp bài toán có một goác bằng 30
0
hoặc 60
0
thì cách vẽ đờng phụ là tạo ra

30=

ACx
( Cx khác phía so với CB).Cx cắt BA kéo dài tại D ta có
BDC
là tam giác đều

BD = BC (1)
Mặt khác
ADCABC =
(c.g.c)

AB = AD

AB =
2
BD
(2)
Từ (1) (2)

AB =
2
BC
Bài toán 2: (Bài 12 SBT- Toán 7)
Cho
ABC

vuông tại A M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM =
BC
2

2
1
BCAMADBCCDAABC ===
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC chứng minh rằng
AM <
2
ACAB +
Cách vẽ1: Trên tia đối MA lấy điểm D sao cho MA =MD ta có:
CDABDMCAMB
==
Mặt khác AD < AC +CD hay 2AM < AC +AB hay AM <
2
ACAB +
Cách vẽ 2: trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AB = AE. Ta có
CE =2AM(T/c đờng trung bình của tam giác)
Mặt khác CE < AE + AC hay CE < AC + AB
Hay 2AM < AB +AC
2
ACAB
AM
+
<
Cách vẽ 3: Gọi N là trung điểm của AC
Xét tam giác AMN ta có: MN + AN > AM
.
22
1
2
1
AM

Mặt khác CD =
(
2
1
BH
T/c đờng trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) (2)
.
2
1
CECD =
Cách vẽ 4: Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB ta có
)1() ( ANCEcgcEBCACN ==
Mặt khác: CD =
(
2
1
AN
T/c đờng trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) (2)
.
2
1
CECD =
Cách vẽ 5: Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho CD = DK.
Ta có:
) () ( cgcCBECBKcgcBDKADC ==
CE= CK, CD =
.
2

sao cho BA = BE.
Ta có
DEADcgcEBDABD == ) (
,
0
32
1
0
60100 =====

DDDBADBED

Mà
0
4
0
60120 ==

DBDC
Từ đó ta có:
000
80100180) ( ====

DECDKCcgcEDCKDC
BKCKCB =

0
80
cân tại B
.ADBDDKBDBKBC

40
cân tại N, nên NC = ND (***)
Từ (*) (**) (***)
.ADBDBCNCBNBCNCND +=+==
Cách vẽ 3: trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BD, trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AK =
AD. Ta sẽ chứng minh đợc tam giác BKD cân tại K nên KB = KD, mà KB = DC nên KD = DC
do đó
FCADgcgFDCAKD == ) (
ADBDFCBFBC
+=+=
. Vậy BC = BD + AD.
Nhận xét chung: Đối với dạng toán này giáo viên cần chú ý học sinh các trờng hợp đặc biệt
nh: Tam giác cân, tam giác đều, đờng trung bình của tam giác, đờng trung tuyến của tam
giác L u ý liên hệ giữa hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. Kẻ đờng phụ hợp lý để
tạo ra các trờng hợp đặc biệt trên tuỳ vào từng bài toán cụ thể.
C. Kết luận
Với hai dạng toán hình học lớp 7 trên học sinh bắt đầu làm quen với phơng pháp kẻ đ-
ờng phụ nên không khỏi lúng túng. Đối với bài toán tính góc ta cần lu ý góc đặc biệt để tạo ra
tam giác đặc biệt. Đối với bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau ta cần sử dụng t/c đờng
trung bình của tam giác, tam giác cân, tam giác đều để kẻ đờng phụ. Sau khi vận dụng chuyên
đề này vào công tác giảng dạy đặc biệt áp dụng cho đối tợng học sinh khá giỏi tôi thấy kết quả
thu đợc thật đáng mừng. Đa số học sinh bắt đầu biết cách tìm tòi và tìm cách kẻ đờng phụ khi
giải bài toán hình học. Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi chuyên đề này thực sự giúp các em
rèn luyện đợc năng lực t duy và sáng tạo, giúp các em có kỹ năng trong việc giải bài toán hình
học. Điều đáng vui mừng là các em đã biết nhận ra phơng pháp kẻ đờng phụ và phát hiện đợc
nhiều điều thú vị, mới mẽ xung quanh các bài toán điều đó giúp các em có ý thức hơn, say mê
và yêu thích môn hình học hơn.
Trong chuyên đề này tôi trình bày một số gợi ý khi kẻ đờng phụ cho bài toán hình học
lớp 7, chắc chắn còn gặp nhiều thiếu sót kính mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến
để đề tài của tôi hoàn thiện hơn.