Một phương pháp vẽ đường phụ
Trong quá trình học toán ở bậc THCS, có lẽ hấp dẫn nhất và khó khăn nhất là việc vượt
qua các bài toán hình học, mà để giải chúng cần phải vẽ thêm các đường phụ. Trong bài
báo này, tôi xin nêu một phương pháp thường dùng để tìm ra các đường phụ cần thiết
khi giải toán hình học : Xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố hình học có trong bài toán
cần giải.
Bài toán 1 : Cho góc xOy. Trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D sao
cho AB = CD. Gọi M và N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh đường thẳng MN
song song với phân giác góc xOy.
Suy luận : Vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua Oz, phân giác góc
xOy.
Gọi C
1
và D
1
là các điểm đối xứng của A và B qua Oz ; E và F là các giao điểm của AC
1
và BD
1
với Oz. Khi đó E và F là trung điểm của AC
1
và BD
1
, và do đó vị trí của MN sẽ
là EF. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh MN // EF là đủ (xem hình 1).
Thật vậy, do AB = CD (gt), AB = C
1
D
1
(tính chất đối xứng) nên CD = C
1

trên nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông BCDE. Tìm tập hợp C, D và tâm hình vuông.
Ta xét trường hợp hình vuông BCDE “nằm ngoài” nửa đường tròn đã cho (trường hợp
hình vuông BCDE nằm trong đường tròn đã cho được xét tương tự, đề nghị các bạn tự
làm lấy xem như bài tập).
Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B. Khi đó hình vuông BCDE sẽ thu lại một điểm
B và các điểm I, D, E đều trùng với B, trong đó I là tâm hình vuông BCDE. Vậy B là
một điểm thuộc các tập hợp cần tìm.
Xét trường hợp C trùng với A. Dựng hình vuông BAD
1
E
1
khi đó D trùng với D
1
, E
trùng với E
1
và I trùng với I
1
(trung điểm của cung AB ). Trước hết, ta tìm tập hợp E. Vì
B và E
1
thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ ngay đến việc thử chứng minh Đ BEE
1
không
đổi. Điều này không khó vì Đ ACB = 90
o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ΔBEE
1

= ΔBCA (c. g. c) => Đ BEE

là hình vuông nên đường tròn đường kính AE
1
cũng là đường tròn đường kính
BD
1
. Chú ý rằng B và D
1
là các vị trí giới hạn của tập hợp cần tìm, ta => tập hợp D là
nửa đường tròn đường kính BD
1
(nửa đường tròn này và điểm A ở về hai nửa mặt
phẳng khác nhau với bờ là đường thẳng BD
1
).
Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần chú ý II
1
là đường trung bình của ΔBDD
1
nên II
1
//
DD
1
=> Đ BII
1
= 90 => tập hợp I là nửa đường tròn đường kính BI
1
(đường tròn này và
A ở về hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là BD
1